广东省揭阳市高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程课件 新人教A版选修21.ppt

曲线与方程 教学目标 1 知识与能力 会求各种曲线的方程2 过程与方法 会用直接法 相关点法 定义法求曲线的方程3 情感态度与价值观 培养合作探讨 勇于创新的精神 渗透事物之间等价转化的辩证唯物主义观点重点 会用相关点法求曲线的轨迹方程难点 灵活运用各种方法求轨迹方程 典例分析 题型一直接法求曲线方程 例1 已知点f 1 0 直线l x 1 p为坐标平面上的动点 过p作直线l的垂线 垂足为点q 且求动点p的轨迹方程c 学后反思当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时 只要将这种关系 翻译 成含x y的等式就能得到曲线的轨迹方程 这种求轨迹方程的方法称之为直接法 分析设p点坐标为 x y 再表示出q点 的坐标 直接代入满足的条件求p点轨迹方程 解 设动点p x y 则q 1 y 由 得 x 1 0 2 y x 1 y 2 y 化简得c 举一反三1 已知动点p到定点f 1 0 和直线x 3的距离之和等于4 求点p的轨迹方程 解析 设p x y 则 1 当x 3时 方程变为 即 化简 得 2 当x 3时 方程变为 即化简 得故所求的点p的轨迹方程是 0 x 3 3 x 4 题型二利用定义求曲线方程 例2 已知圆 和圆 动圆m同时与圆及圆相外切 求动圆圆心m的轨迹方程 分析设圆半径 圆半径 动圆m半径r 则由两圆外切性得 定值 0 故可考虑用双曲线定义求轨迹 解设动圆m与圆及圆分别外切于点a和点b 根据两圆外切的充要条件 得 ma mb 即这表明动点m到两定点 的距离的差是常数2 根据双曲线的定义 动点m的轨迹为双曲线的左支 点m到的距离大 到的距离小 其中a 1 c 3 则 设点m的坐标为 x y 则其轨迹方程为 x 1 学后反思解决本题的关键是找到动点m满足的条件 对于两圆相切问题 自然考虑圆心距与半径的关系 当判断出动点的轨迹是双曲线的一支 且可求出a b时 则直接写出其标准方程 这种求曲线方程的方法称为定义法 举一反三2 如图 已知线段ab 4 动圆o 与线段ab切于点c 且ac bc 过点a b分别作圆o 的切线 两切线相交于p 且p o 均在ab同侧 建立适当坐标系 当o 位置变化时 求动点p的轨迹e的方程 解析 以线段ab的中点为原点 ab所在直线为x轴 建立平面直角坐标系 则a 2 0 b 2 0 设p x y 由已知 得pa pb ac bc 2 题型三用相关点法求轨迹方程 例3 已知长为的线段ab的两个端点a b分别在x轴 y轴上滑动 p是ab上一点 且求点p的轨迹方程 分析由a b两点分别在x轴 y轴上 且 得p点的坐标可以用a b两点的坐标表示出来 而 ab 故可求得a b坐标满足的关系式 再把p点的坐标代入所求的关系式即可得到p点的轨迹方程 解设a x0 0 b 0 y0 p x y 因为又 所以 即 因为ab 即所以化简得 故点p的轨迹方程为 学后反思对涉及较多点之间的关系问题 可先设出它们各自的坐标 并充分利用题设建立它们之间的相关关系 再对它们进行转化和化简 最后求出所求动点坐标所满足的方程 这种根据已知动点的轨迹方程 求另外一点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法 举一反三3 点p是圆上的动点 o是坐标原点 求线段op的中点q的轨迹 解析 设 q x y 则 是圆上的动点 即 题型四用参数法求轨迹方程 例4 14分 设椭圆方程为 过点m 0 1 的直线l交椭圆于点a b o是坐标原点 l上的动点p满足当l绕点m旋转时 求动点p的轨迹方程 分析设出直线l的方程 和a b两点的坐标 并将直线l方程与椭圆方程联立 求出 由可表示出点p坐标 再用消参法求轨迹方程 解直线l过点m 0 1 当l的斜率存在时 设其斜率为k 则l的方程为y kx 1 1 设 由题设可得点a b的坐标 是方程组 的解 将 代入 并化简 得 4 则 8 于是 10 设点p的坐标为 x y 则消去参数k 得 y 0 12 当直线l的斜率不存在时 可得a b的中点坐标为原点 0 0 也满足方程 所以点p的轨迹方程为 14 学后反思本题运用了参数法求轨迹 当动点p的坐标x y之间的直接关系不易建立时 可适当地选取中间变量t 并用t表示动点的坐标x y 从而得到动点轨迹的参数方程消去参数t 便可得到动点p的轨迹方程 其中应注意方程的等价性和参数t与动点p x y 关系的密切性 举一反三4 过抛物线的顶点o引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于a b两点 求线段ab的中点p的轨迹方程 解析 由题意知 两直线的斜率都存在 设直线oa的斜率为k 则oa y kx ob 由得同理由得设p x y 则 由 2 2 得即故线段ab的中点p的轨迹方程为 易错警示 例 过点p 0 2 的直线l交抛物线于a b两点 求以oa ob为邻边的平行四边形oamb的顶点m的轨迹方程 错解如右图 设m x y 直线l的方程为y 2 kx 即y kx 2 由消去y 得 错解分析直线l与抛物线交于不同的两点a b 则l的斜率一定存在且受有两个交点的限制 故应由此确定k的取值范围 错解中忽视了k的取值范围 导致错误 四边形oamb为平行四边形 消去k 得 点m的轨迹方程为 正解设m x y 直线l的方程为y 2 kx 即y kx 2 k 0 由消去y 得 又四边形oamb为平行四边形 消去k 得又l与抛物线交于不同两点a b 解得且k 0 又 y0 综上 m点的轨迹方程为 y0 想一想 今天在课堂上你学到了什么 求曲线的方程常用的几种方法 1 直接法 2 定义法 3 相关点法 4 参数法 作业 已知点q是曲线上的动点 点a的坐标为 1 0 求线段qa的中点p的轨迹方程 2 若直线y kx b交抛物线于a b两点 已知 ab 线段ab的中点纵坐标等于 5 求k b的值 3 如图 矩形abcd的两条对角线相交于点m 2 0 ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 点t 1 1 在ad边所在直线上 1 求ad边所在直线的方程 2 求矩形abcd外接圆的方程 考点演练 1 已知点q是曲线上的动点 点a的坐标为 1 0 求线段qa的中点p的轨迹方程 解析 设p x y q x0 y0 则由中点坐标公式 得解得 点q在曲线上 化简得 2 若直线y kx b交抛物线于a b两点 已知 ab 线段ab的中点纵坐标等于 5 求k b的值 解析 由得设 则 又 即 由 得 代入 得 或 k 2 b 3或k b 经检验均符合要求 3 如图 矩形abcd的两条对角线相交于点m 2 0 ab边所在直线的方程为x 3y 6 0 点t 1 1 在ad边所在直线上 1 求ad边所在直线的方程 2 求矩形abcd外接圆的方程 解析 1 ab边所在