【全程复习方略】高考数学二轮复习 专题辅导与训练 解答题规范训练（四）.doc

【全程复习方略】2015高考数学二轮复习 专题辅导与训练 解答题规范训练（四）1.(2014浙江高考)如图,在四棱锥a-bcde中,平面abc平面bcde;cde=bed=90,ab=cd=2,de=be=1,ac=2.(1)证明:ac平面bcde.(2)求直线ae与平面abc所成的角的正切值.【解析】(1)连接bd,在直角梯形bcde中,de=be=1,cd=2,所以bd=bc=2.由ac=2,ab=2,得ac2+bc2=ab2,所以acbc,又平面abc平面bcde,平面abc平面bcde=bc,所以ac平面bcde.(2)过点e作emcb交cb的延长线于点m,连接am.又平面abc平面bcde,所以em平面acb.所以eam是直线ae与平面abc所成的角.在rtbem中,eb=1,ebm=45,所以em=22=mb.在rtacm中,am=cm2+ac2=2+222+(2)2=262.在rtaem中,taneam=emam=22262=1313.【加固训练】(2014烟台模拟)在四棱锥v-abcd中,底面abcd是正方形,侧面vad是正三角形,平面vad底面abcd.(1)如果p为线段vc的中点,求证:va平面pbd.(2)如果正方形abcd的边长为2,求三棱锥a-vbd的体积.【解析】(1)连接ac与bd交于点o,连接op,因为abcd是正方形,所以oa=oc,又因为pv=pc,所以opva,又因为po平面pbd,va平面pbd,所以va平面pbd.(2)在平面vad内,过点v作vhad,因为平面vad平面abcd.所以vh平面abcd,所以va-vbd=vv-abd=13sabdvh=131222322=233.2.(2014南昌模拟)如图所示的几何体abcdfe中,abc,dfe都是等边三角形,且所在平面平行,四边形bced是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面abc.(1)求几何体abcdfe的体积.(2)证明:平面ade平面bcf.【解析】(1)取bc的中点o,ed的中点g,连接ao,of,fg,ag.因为aobc,且平面bced平面abc,所以ao平面bced,同理fg平面bced,因为ao=fg=3,所以vabcdfe=13432=833.(2)由(1)知aofg,ao=fg,所以四边形aofg为平行四边形,故agof,又debc,所以平面ade平面bcf.【加固训练】(2014昆明模拟)如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,d,e分别为cc1,ad的中点,f为bb1上的点,且b1f=3bf.(1)证明:ef平面abc.(2)若ac=22,cc1=2,bc=2,acb=3,求三棱锥f-abd的体积.【解析】(1)取线段cd的中点h,并连接eh,fh,则ehac,c1h=3hc,因为b1f=3bf,所以fhbc.因为ehfh=h,bcac=c,所以平面hef平面abc,因为ef平面hef,所以ef平面abc.(2)已知ac=22,bc=2,acb=3,由余弦定理知ab2=ac2+bc2-2acbccosacb,解得ab=6,而ab2+bc2=ac2,所以abbc.因为abbb1,bb1bc=b,所以ab平面bfd.vf-abd=va-bfd=13122126=36.3.(2014济南模拟)如图,四棱锥e-abcd中,面abe面abcd,底面abcd是直角梯形,侧面abe是等腰直角三角形,且abcd,abbc,ab=2cd=2bc=2,eaeb.(1)判断ab与de的位置关系.(2)求三棱锥c-bde的体积.(3)若点f是线段ea上一点,当ec平面fbd时,求ef的长.【解析】(1)取ab中点o,连接eo,do,因为eb=ea,所以eoab.因为四边形abcd为直角梯形,ab=2cd=2bc,abbc,所以四边形obcd为正方形,所以abod.所以ab平面eod.所以abed.(2)由eoab,面abe面abcd易得eo平面abcd,所以,vc-bde=ve-cbd=1312111=16.(3)连接ac,bd交于点m,面ace面fbd=fm.因为ec平面fbd,所以ecfm.在梯形abcd中,有dmc与bma相似,可得ma=2mc,所以af=2fe.所以,ef=13ea=23.【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点(1)不要忽视直观猜想的作用:本题(1)判断ab与de的位置关系,直观上看不可能平行,应是垂直关系,沿此思路创造条件即可.(2)重视“等体积转换”:此转换仅限于同一图形中顶点与底面的转变,否则易出错.(3)注意平行关系的等价转换:本题(3)中线面平行线线平行,从而确定出f的位置,否则问题无法求解.4.直三棱柱abc-a1b1c1中,ab=5,ac=4,bc=3,aa1=4,d是ab的中点.(1)求证:acb1c.(2)求证:ac1平面b1cd.【证明】(1)在abc中,因为ab=5,ac=4,bc=3,所以acbc.因为直三棱柱abc-a1b1c1,所以cc1ac.因为bccc1=c,所以ac平面bb1c1c.又b1c平面bb1c1c,所以acb1c.(2)连接bc1,交b1c于e,连接de,因为直三棱柱abc-a1b1c1,所以侧面bb1c1c为矩形,且e为bc1中点.又d是ab的中点,所以de为abc1的中位线,所以deac1,因为de平面b1cd,ac1平面b1cd,所以ac1平面b1cd.【加固训练】(2014西安模拟)如图,在四棱锥s-abcd中,底面abcd是矩形,sa底面abcd,sa=ad,点m是sd的中点,ansc且交sc于点n.(1)求证:sb平面acm.(2)求证:平面sac平面amn.【证明】(1)连接bd,交ac于点o,连接mo,因为abcd为矩形,所以o为bd中点,又m为sd中点,所以mosb.因为mo平面acm,sb平面acm,所以sb平面acm.(2)因为sa平面abcd,所以sacd,因为abcd为矩形,所以cdad,且saad=a,所以cd平面sad,所以cdam.因为sa=ad,m为sd的中点,所以amsd,且cdsd=d,所以am平面scd,所以amsc,又因为scan,且anam=a,所以sc平面amn,因为sc平面sac,所以平面sac平面amn.5.(2014长沙模拟)某粮仓是如图所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面abcd是矩形,ab=16米,ad=4米,腰梁ae,bf,cf,de分别与相交的底梁所成角均为60.(1)请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”,并说明理由.(2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可储存多少立方米粮食?【解析】(1)ef与ad,ef与bc,de与bf,ae与cf.理由:由已知,有efab,因为abad,所以efad.同理,有efbc.过点e作ekfb交ab于点k,则dek为异面直线de与fb所成的角,因为de=fb=4,ak=4,dk=42,所以dek=90,即debf,同理aecf.(2)过点e分别作emab于点m,encd于点n,连接mn,则ab平面emn,所以平面abcd平面emn,过点e作eomn于点o,则eo平面abcd.由题意知,ae=de=ad=4.am=dn=4cos60=2,em=en=23,所以o为mn中