分数的运算技巧.doc

专题十一 分数的运算技巧知识概要分数计算是小学数学的重要组成部分，也是数学竞赛的重要内容之一。1分数加、减法的意义和整数加、减法的意义相同，分数的加法就是把两个数合并成一个数的运算；分数的减法就是已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。2同分母的分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分数相加减，先通分，再按照同分母分数的加减法的法则进行计算。3分数乘以整数与整数乘法的意义相同；一个数乘以分数也就是求一个数的几分之几是多少。分数的乘法运算法则，用分子相乘，积做分子，分母相乘，积作分母。带分数相乘时，先将带分数化成假分数，然后相乘。4乘积为1的两个数互为倒数。5分数除法的意义，与整数除法相同。分数除法的运算法则：一个数除以分数，就等于乘以它的倒数。6分数计算同整数计算一样，既有知识要求又有能力要求。法则、定理、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键在于掌握运算技巧。分数计算的算序与整数计算的报算序相同，先括号内，再括号外，先乘除，后加减。对应复杂的分数运算题，常用的方法和技巧是通分、约分、凑整、分解、分拆等。常用的计算公式1等差数列求和。给出一个等差数列：通项公式：=+（n1）d =（n1）d 利用通项公式可以求出等差数列中的任何一项。求和公式：S=（）n2 求项数公式：n=d+12求连续自然数平方和公式.3求连续自然数立方和公式.4等比数列公式.=5平方差公式a2b2=(ab)(ab)6二次开方公式a464=(a2) 24 (a2) 24基本训练 (一)1直接写出得数2计算，能简算的要简算3解方程4在（ ）里填上合适的数5解决实际问题（1）食堂第一周烧煤吨，第二周比第一周少烧吨，第二周烧了多少吨？（2）一段布，做上衣用去，做裤子用去，还剩下几分之几？（3）有一项工程甲做要15天完成，乙做要10天完成，两人合作一天共做全部工程的几分之几？（4）一堂40分钟的体育课，做准备活动用了小时，老师示范用了小时，其余时间学生自由活动。学生自由活动时间是多少小时？（5）小明从家去学校，已经行了千米，已经行的路程比剩下的少千米。小明从家到学校共有多少千米？(二)1填空题（1）（2）（3）一个正方形的边长是米，它的周长是（ ）米，面积是（ ）平方米。（4）一个正方体的棱长是米，表面积是（ ）平方米。（5）学校买来新书240本，分给五年级。这里是把（ ）看作单位“1”，（ ）=（ ）。（6）一根钢材长米，若用去米，还剩（ ）米。（7）（ ）=（ ）1.5=+（ ）=1（8）甲数是720，乙数是甲数的，丙数是乙数的倍，丙数是（ ）。（9）一批零件计划8天完成，平均每天完成这批零件的（ ），5天完成这批零件的（ ）。（10）一辆汽车每分钟行千米，20分钟行（ ）千米，一小时行（ ）千米。2计算题(三)1填空题（1）与（ ）互倒数，9的倒数是（ ），（ ）与互为倒数，（ ）是的倒数，1的倒数是（ ），（ ）没有倒数，最小质数的倒数是（ ），0.25的倒数是（ ）。（2）小时=（ ）分，千克=（ ）克，米的是（ ）米。（3）（ ）=（ ）=（ ）（ ）=（ ）+=（ ）=1。（4）一堆沙土重吨，用去了，用去了（ ）吨，还剩总数的。（5）下图是一堆图片，如果将其中的涂成红色，那就需要涂红（ ）个图片；如果拿走4个图片，将剩下图片的涂成红色，那么就需要涂红（ ）个图片。2判断题（1）两个数相乘，当一个因数比1小时，积一定比另一个因数大。（ ）（2）因为ab=1，所有a和b互为倒数。（ ）（3）的倒数是。（ ）（4）任何自然数都有一个倒数。（ ）（5）真分数的倒数一定大约1.。（ ）（6）假分数的倒数一定是真分数。（ ）（7）两根绳子，甲截去它的，乙截去，剩下第二根比较长。（ ）（8）。（ ）(四)1计算题2填空题（1）两个因数的积是，已知一个因数是4，另一个因数是（ ）。（2）把米长的铁丝平均分成6段，每段长（ ）米，每段长度是全长的（ ），两段长度是1米的（ ）。（3）50人的是35人，米是（ ）米的，（ ）米是20米的，（ ）的是千米，千克是千克的（ ）。（4）甲数的相当于乙数（甲数不等于0），则甲数（ ）乙数。（5）一根电线长5米，如果用去，还剩全长的（ ），如用去米，还剩（ ）米。（6）苹果树的棵数相当于梨树的，是把（ ）看做单位“1”的量，若苹果树有120棵，梨树有（ ）棵；若已知梨树有120棵，苹果树有（ ）棵。3选择题（1）一台粉碎机，小时粉碎石料立方米，求粉碎1立方米石料需多少小时的算式是（ ）（2）当a是大于1 的自然数时，在下列各数中，结果最大的是（ ）（3）甲是乙的，则甲比乙少（ ）（4）两个真分数的积与他们的商相比（ ） A. 积大 B. 商大 C. 一样大 D. 无法确定(五)1计算题、2填空题（1）三台播种机小时播种公顷，一台播种机一小时播种（ ）公顷。（2）一个三角形的面积是平方米，底是米，它的高是（ ）米。（3）一篇论文，小王3小时用电脑输入了，照这样计算，他8小时可以输入，还有没有输入。（4）一筐苹果，吃了一些后，还剩下，正好是7.5千克，这筐苹果原来重（ ）千克。（5）水结成冰之后，体积增加。132升的水结成冰后，体积增加（ ）升；（ ）升水结成冰之后，体积增加了5升。（6）安徒生童话原价24元，现价比原价便宜了4元，原价比现价高。3根据题意列式计算（1）一个数的是，这个数的是多少？（2）8个的和除以，商是多少？（3）甲的与乙的相等，已知乙是，求甲是多少？提高训练(一)1填空题（1）的分数单位与的分数单位相差（ ）。（2）这个分数加上（ ）个与它相同的分数单位后，结果是最小的一位数，去掉（ ）个与它相同的分数单位后结果是。（3）在里，当x是（ ）时，它的分数单位是；当x是（ ）时，它的分数值是；当x是（ ）时，它的值是；当x是（ ）时，它的值是0.（4）一堆煤12吨，用去了总数的，还剩下这堆煤的；如果用去了吨，还剩下（ ）吨；如果用去4吨，用去了这堆煤的。（5）分母是12 的所有真分数的和是（ ）。（6）分母是6的最简真分数的和是（ ）。2判断题（1）分子是0的分数等于0。（ ）（2）一袋大米5千克，吃了千米，还剩。（ ）（3）吨煤和一堆煤的相等。（ ）3按规律写出各式的结果（1）（2）4解决实际问题（1）一根竹竿垂直插入水中，入水部分长米，露出水面米。这根竹竿长多少米？（2）甲、乙、丙三人分一筐苹果。甲分得重量是乙的，丙分得的重量是乙的2倍。三人各得这筐苹果的几分之几？（3）有两桶汽油，甲桶里的汽油比乙桶多5千克。如果从甲桶倒入乙桶千克，这时甲桶里的汽油比乙桶还多多少千克？(二)1判断题（1）（2）一个自然数乘真分数，所得的积一定小于这个自然数。（3）a和b都不为0，如果a=b,那么a0,那么y和y+比，（ ）比较大。2应用题（1）有两箱苹果，如果从第一箱取出千克放入第二箱，这时两箱苹果重量相等。第一箱比第二箱重多少千克？（2）小明第一天看了一本书的，第二天看的相当于第一天的，小明两天有没有看完这本书？为什么？（3）小明看一本620页的书，第一天看了全书的，第二天看了31页，两天共看了全书的几分之几？（4）小明倒了杯牛奶，先喝了，接着加满咖啡，又喝了这杯的，再加满咖啡，最后把这杯饮料全部喝完，那么小明喝的牛奶多还是咖啡多？（5）六年级三个班学生共同植树，一班植树80棵，二班植树的棵数是一班的，三班植树的棵数比二班的还多7棵，三班植树多少棵？（6）乒乓球从20米的高空落下，约能弹起的高度是落下的高度的，这个乒乓球第二次下落后又弹起多少米？至少弹几次后它的弹起高度不足0.5米？3怎样简便就怎样算（1） （2）（3） （4）(四)1填空题（1）一台榨油机小时榨油6吨。这台榨油机1小时榨油（ ）吨；榨1吨油要用（ ）小时。（2）一辆小轿车每行6千米耗油千克汽油，10千克汽油可以行驶（ ）千米，行1千米要耗油（ ）千克。（3）甲数比乙数多，乙数比甲数少（ ），乙数是甲、乙两数和的（ ）。（4）一根绳子长6米，第一次剪去它的，第二次剪去米，还剩（ ）米。2解方程3比较大小4应用题（1）已知三角形的面积是平方米，高是米，求底是多少米？（2）一本故事书240页，小红4天看了全书的，他平均每天看多少页？她一共要几天才能看完？（3）运一批面粉，第一次运走全部的，第二次运走全部的，两次共运了85吨，这批面粉共有多少吨？（4）学校买来科技书147本，少年文艺的等于科技书的，少年文艺多少本？(五)1计算题（能简算的要简算） 2应用题（1）一个梯形的高是米，它的面积是平方米，这个梯形的上底是，下底是多少米？（2）运输队运一批面粉，第一次运走全部的，第二次运走全部的，两次共运了45吨，这批面粉共有多少吨？（3）图书馆有故事书800本，科技书的本数是故事书的，又是连环画的，连环画有多少本？（4）一桶油倒出一部分后，剩下，剩下的5天用完，平均每天用千克，这桶油原来有多少千克？（5）有一批货物，运出，又运进30吨，这时仓库里的货物正好是原来的，原来有货物多少吨？拓展训练(一)1填空题（1）甲、乙两杯水，甲杯有水千克，如果倒给乙杯千克水，两杯水同样多，两杯水共（ ）千克。（2）有三个数，第一个数是，其他两个数依次比前一个数少。这三个数的和是（ ）。（3）一个分数，它的分数单位是，如果改为以作为单位，则分数单位的个数比原来增加了6个。这个分数原来是（ ）。（4）月月从飞机的轩窗向外看去，看见了部分海岛，部分白云，以及不大的一块海域，假定白云占窗口的一半，它遮住了岛的，因此岛在窗口画面上只占。那么，被白云遮住的那部分海洋占画面的（ ）。（5）已知a，b是自然数，a与b各是（ ）。（6）有红、黄、蓝三根彩棒，红棒比黄棒长米，蓝棒比黄棒短米，红棒与蓝棒相差（ ）米；如果蓝棒比黄棒长米，红棒与蓝棒相差（ ）米。（7）2根据下列各数排列的规律，补上所缺的数3用简便算法计算下面各题(二)1填空题（1）已知a=b=c1，把a,b,c按大到小的顺序排列起来是：（ ）（ ）（ ）（2）甲、乙、丙三人共修一段水泥路，甲一天修了米，乙一天修的比甲多，丙一天修的比甲少米，丙一天修（ ）米。2计算题（1）（2）计算 （3）（4）计算（5）计算(三)1计算题（1） （2）（3）（4）已知，那么A比B大，还是比B小？（5）把化简后，整数部分是几？(6)2应用题（1）有两列火车，甲车长150米，每秒行驶25米，乙车长度比甲车少，每秒行20米，现在两车相向而行，从相遇到相离要几秒钟？（2）一个平行四边形，底边长21分米，高是15分米，如果它的底和高都减少，面积减少多少平方分米？（3）一个圆的直径是12厘米，若半径延长，面积是原来的多少倍？（4）数字2008，一次剪去它的，那么第二次减去余下的，第三次减去第二次余下的,以此类推，一直到2007次减去上次余下的，其结果是多少？(四)1计算题2应用题（1）括号中可填写的整数有哪些？（2）仓库里有一批货物，运出后，又运进20吨，这时仓库里的货物正好是原来的，仓库里原来有货物多少吨？（3）某人在一次选举中，需的选票才能当选，计算的选票后，他得到的选票已达到当选票数的，问他还需要得到剩下选票的几分之几才能当选？（4）如果是一个非0的自然数，那么与谁比较大？为什么？（5）如果+=+=+，那么（+）=。(五)1计算题 2脱式计算题4.5316.2 37356335 20052005 10.10.340.560.78 1(31)0.728 22.9375. 3应用题（1）一根钢管，用去它的还剩9米，若用去它的，还剩多少米。（2）一根电线，用去全长的还多4米，这时剩下的比用去的多10米，这根电线原来多少米？（3）一条鱼的重量等于它的加上千克，这条鱼多少千克？（4）五年级一共有三个班，（1）班人数占全年级的，（3）班人数比（2）班多，如果（3）班调走4人后和（2）班人数一样多，求五年级共有多少学生？（5）姐妹倆养兔子100只，姐姐养的比妹妹养的多16只，求姐姐、妹妹各养兔子多少只？(六)裂项法巧算知识要点：有些若干个分数之和的计算题，如果用通分的方法来解答，显得既繁又难，也很不容易求出正确答案，我们可以运用裂项法，把一个分数分裂为两个分数之差，这样算式中除首尾两项之外，其余各分数均加减相消，可巧妙求出整个算式的和。裂项公式：=- 变化1 =a(-)变化2 =(-)1 基本题型训练. 2变化一：扩缩倍变形 3变化二：整形计算 4分组计算135791113155变化三：裂项知识的扩展 竞赛训练(一)一填空题1计算2计算3计算4计算5计算6计算7计算8计算9计算10计算二解答题1计算2计算3计算449(二)一、填空题1计算2计算3计算4计算5计算6计算7有30个数：1.67，1.67+。如果取每个数的整数部分，并将这些数相加，那么其和是_.8计算9计算10计算二解答题1求下列所有分母不超过30的真分数的和2计算3(三)一填空题1计算2计算34计算5计算6计算7已知8 计算9按一定规律排这一串数：这些数的总和=_.10和式计算简化后得到一个最简分数，分母与分子之差为_.二解答题1计算 2计算3计算4计算5计算计算训练= = 12= 3= = = 5= = = 4= 2= 13= = 3= 2=36= = 56= 5= = 18= = 26= 24= = = = = 8= =15= = = 14= 1= 4= 31.95= = = 27=3= = 8= 3= 6= 0= 6.30.07= 26= = 1258=6= = = 6= =4= 0.5= = 100= 88= 4= 12= 254= 10=4= = 60= = 12=8= 11= 10= = = = 0= 60.5= 5=8.44.2= = 2= = 5= 1= 12= 1= = 28=0= = = = 245= = = = 1= 9=6= 12= = = 4+1= 63= 0= += = 1- 2- 16+ =0.75= + = 2 - = 1= = = = 5= = = = = 6= 3= = = 1= += += = += = += += = += += 1= += = - = + = + = 2 - = 1 30= = 12 1= 1= 48= = 16= = 5 7 = 6 = = 12= 5= 0= = = 0.15 = = 3= = = 20= = = 3.6= = = （21）= ()18= 13= （）= 15 = （） 12= 4 = 26 = 1= 35= 5 - - = 1 - + = = 5 - - = = = 0.125= 1 - + =2711= 101= = + + + = = （）45= = 347= +5= = = = = = = 综合训练一、填空题1、计算:8+98+998+9998+99998=_.2、在947后面添上三个不同的数字,组成一个被2、3、5同时整除的最小的六位数,这个数是_.3、请给出5个质数,把它们按从小到大的顺序排列起来,使每相邻的两个数都相差6._.4、有两张同样大小的长方形纸片,长10厘米,宽3厘米,把它们按图所示的方法叠合贴在一起,贴好后所成的“十”字图形,它的周长是_,面积是_.5、100个3连乘的积减去5,所得的差的个位数字是_.6、图中共有_个三角形.7、用一个小数减去末位数字不为零的整数,如果给整数添上一个小数点,使它变成小数,差就增加154.44, 这个整数是_.8、根据下边竖式中给出的数,在各个小方框内填上合适的数,使这个多位数乘法竖式完整.那么,乘积为_. 5 3 0 2 5 0 5 09、某公园的门票是每人10元,30人以上(含30人)可以买团体票,按7折优惠,即每人7元.最少_人时买团体票比买普通票便宜.10、两个自然数、的最大公约数是14,最小公倍数是280,它们的和+是_.二、解答题11、已知图中三角形的面积为1998平方厘米,是平行四边形面积的3倍.那么,图中阴影部分的面积是多少?12、小明上学期期末考试,数学、语文、英语三科的平均成绩是92分.如果不算数学成绩两科平均成绩比三科的平均成绩低2分,而英语成绩比语文成绩高3分,小明这三科考试成绩各是多少?13、若自然数都是素数,那么,14、五位同学各自从不同的途径打听到中南地区小学五年级通讯赛获得第一名的那位同学的情况（具体列表如下）：打听到:打听到:打听到:打听到:打听到:姓李,是女同学,年龄13岁,广东人姓张,是男同学,年龄11岁,湖南人姓陈,是女同学,年龄13岁,广东人姓黄,是男同学,年龄11岁,广西人姓张,是男同学,年龄12岁,广东人实际上获得第一名的那位同学姓什么、性别、年龄、哪里人这四项情况真的在上表中已有,而五位同学所打听到的情况,每人都仅有一项是正确的.请你据此推断这位获第一名的同学?参考答案基本训练（一）11、1；2、3、2、0；3、7.2；45、4、24、2、2、2；5吨、小时、千米；（二）1（1）、4、700、150；（2）、=、；（3）、；（4）；（5）新书本数、新书本数、五年级分得的数量；（6）；（7）、1.5、；（8）160；（9）、；（10）、50；2、6、1、；（三）1（1）、4、1、0、4；（2）36、625、9；3、；（4）、；（5）9、6；2错、对、错、错、对、对、错、错；（四）1、20、150、12、3；2（1）；（2）、；（3）、16、；（4）；（5）、；（6）梨树的棵树、150、96；3（1）A；（2）C；（3）A；（4）B（五）12、；2.（1）；（2）；（3）、；（4）30；（5）12、55；（6）；3（1）；（2）；（3）8；提高训练（一）1（1）；（2）4、2；（3）2、1、3、0；（4）、；（5）；（6）1；2（1）对；（2）错；（3）错；3（1）、；（2）、；4（1）1米；（2）、；（3）；（二）一对；错；错；对；对；二 A、D、A、B；三（1）27人、162人；（2）66棵；（三）1（1）1/6；（2）低；（3）25/32；（4）y+5/6； 2（1）3/5千克；（2）10/11；（3）23/60；（4）牛奶多；（5）77棵；（6）3.2米、第五次；33/10、6、5、2/35；（四）一（1）8、1/8；（2）1/10；（3）1/6、5/11；（4）2.5；二（1）56/45；（2）26/45；（3）56/75；（4）30/11；三（1）（2）（3）;四（1）27/5米；（2）6天；（3）180吨；（4）140本；（五）16、5/4、1/12、12、25/9、7/15；2（1）1/2米；（2）63吨；（3）1250本；（4）6千克；（5）200吨；拓展训练（一）一（1）4/5；（2）15/8；（3）24；（4）5/12；（5）12和4；（6）1/2、3/10；（7）12、6、24、12、8、80、20、8、16；二（1）1/16、1/32、1/64；（2）3、；（3）14、；（4）16、32；（5）4/3、1/4；三2/5、994.5、2