【全程复习方略】高中数学 1.3.1 二项式定理课时提升作业（八）新人教A版选修23.doc

课时提升作业(八)二项式定理一、选择题(每小题3分,共18分)1.若实数a=2-2,则a10-2a9+22a8-+210=()a.32b.-32c.1 024d.512【解析】选a.由题意得a10-2c101a9+22c102a8-+210=(a-2)10,又a=2-2,所以原式=(2-2-2)10=32.2.(2014济宁高二检测)若x-1xn展开式的第4项为含x3的项,则n等于()a.8b.9c.10d.11【解析】选b.tk+1=cnkxn-k-1xk=cnk(-1)kxn-2k,k0,1,2,n,因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.3.(2013江西高考)x2-2x35展开式中的常数项为()a.80b.-80c.40d.-40【解析】选c.展开式的通项公式为tk+1=c5k(x2)5-k-2x3k=c5k(-2)kx10-5k.由10-5k=0,得k=2,所以常数项为t2+1=c52(-2)2=40.4.(2014杭州高二检测)对于二项式1x+x3n(nn*),有以下四种判断:存在nn*,展开式中有常数项;对任意nn*,展开式中没有常数项;对任意nn*,展开式中没有x的一次项;存在nn*,展开式中有x的一次项.其中正确的是()a.与b.与c.与d.与【解析】选d.二项式1x+x3n的展开式的通项公式为tk+1=cnkx4k-n,由通项公式可知,当n=4k(kn*)和n=4k-1(kn*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.5.在2x2-1x5的二项展开式中,x的系数为()a.10b.-10c.40d.-40【解析】选d.2x2-1x5的展开式的通项为tr+1=c5r(2x2)5-r-1xr=c5r25-r(-1)rx10-3r,令10-3r=1,得r=3,所以t4=c5322(-1)3x=-40x.所以x的系数是-40.【误区警示】本题易把二项式系数等同于项的系数而错选a.6.(2014湖北高考)若二项式2x+ax7的展开式中1x3的系数是84,则实数a=()a.2b.34c.1d.24【解题指南】考查二项式定理的通项公式.【解析】选c.因为tr+1=c7r(2x)7-raxr=c7r27-rarx7-2r,令7-2r=-3,得r=5,所以c7522a5=84,解得a=1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.若x+1xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为.【解析】根据已知条件可知cn2=cn6,所以n=8,因为x+1x8展开式的通项公式为tr+1=c8rx8-2r,令8-2r=-2,则r=5.所以c85=56即为所求.答案:568.(2014唐山高二检测)二项式x2+1x9的展开式中整式项共有项(用数字作答).【解析】由tr+1=c9r(x2)9-r1xr=c9rx18-3r,依题意需使18-3r为整数.故18-3r0,r6,即r=0,1,2,3,4,5,6共7项.答案:79.233除以9的余数是.【解析】233=811=(9-1)11=c110911-c111910+c11299-+c11109-c1111,因为除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.答案:8【一题多解】233=23023=6458=8(63+1)5=8(c50635+c51634+c52633+c53632+c5463+c55)=8(635+5634+10633+10632+563)+8,因为括号内的各项都是9的倍数.所以233除以9所得的余数是8.答案:8三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014淄博高二检测)在2x-1x6的展开式中,求:(1)第3项的二项式系数及系数.(2)含x2的项.【解析】(1)第3项的二项式系数为c62=15,又t3=c62(2x)4-1x2=24c62x,所以第3项的系数为24c62=240.(2)tk+1=c6k(2x)6-k-1xk=(-1)k26-kc6kx3-k,令3-k=2,得k=1.所以含x2的项为第2项,且t2=-192x2.11.在(1-x2)20的展开式中,如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等,(1)求r的值.(2)写出展开式中的第4r项和第r+2项.【解析】(1)第4r项和第r+2项的二项式系数分别是c204r-1和c20r+1,因为c204r-1=c20r+1,所以4r-1=r+1或4r-1+r+1=20,解得r=4或r=23.所以r=4.(2)t4r=t16=c2015(-x2)15=-15504x30,tr+2=t6=c205(-x2)5=-15504x10.一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2012安徽高考)(x2+2)1x2-15的展开式的常数项是()a.-3b.-2c.2d.3【解题指南】由多项式乘法的运算法则知,展开式中的常数项由两部分构成,前一个因式取x2时,后一个因式必须含1x2,前一个因式取2时,后一个因式必须为常数.【解析】选d.第一个因式取x2,第二个因式取含1x2的项得:1c54(-1)4=5;第一个因式取2,第二个因式取(-1)5得:2(-1)5=-2,展开式的常数项是5+(-2)=3.【变式训练】(1-x)41-x3的展开式中x2的系数是()a.-6b.-3c.0d.3【解析】选a.因为(1-x)3的有理项为1和3x,故要出现x2,需从(1-x)4因式中找x2项和x项,即c42x2和-c41x,所以x2项为c42x21-c41x3x=-6x2.2.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是()a.1.23b.1.34c.1.33d.1.24【解析】选b.(1.05)6=(1+0.05)6=c60+c610.05+c620.052+c630.053+c660.056=1+0.3+0.0375+0.0025+1.562510-81.34.3.(2014萍乡高二检测)若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy0,则x的取值范围是()a.-,15b.45,+c.-,-45d.(1,+)【解析】选d.二项式(x+y)9的展开式的通项是tr+1=c9rx9-ryr.依题意有c91x9-1yc92x9-2y2,x+y=1,xy0,即x8(1-x)-4x7(1-x)20,x(1-x)1,即x的取值范围是(1,+).4.(2013陕西高考)设函数f(x)=x-1x6,x0时,f(f(x)表达式的展开式中常数项为()a.-20b.20c.-15d.15【解题指南】由x的取值确定函数表达式,再由二项展开式的通项确定展开式中的常数项.【解析】选a.当x0时,f(f(x)=-x+1x6=1x-x6的展开式中,常数项为c631x3(-x)3=-20.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014成都高二检测)在(x+43y)20的展开式中,系数为有理数的项共有项.【解析】因为tr+1=3r4c20rx20-ryr(r=0,1,2,20)的系数为有理数,所以r=0,4,8,12,16,20,共6项.答案:66.(2014山东高考)若ax2+bx6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.【解题指南】本题考查了二项式定理,基本不等式的应用,可先写出已知式子二项展开式的通项,然后利用基本不等式求出最值.【解析】将ax2+bx6展开,得到tr+1=c6ra6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3.由c63a3b3=20,得ab=1,所以a2+b22ab=2.答案:2三、解答题(每小题13分,共26分)7.已知xx+13xn的展开式中,前三项的二项式系数之和为37.(1)求x的整数次幂的项.(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数,并证明你的结论.【解题指南】(1)根据前三项的二项式系数之和为37,求出n;再利用二项式展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为整数得到x的整数次幂的项.(2)根据二项展开式中间项的二项式系数最大,再利用组合数公式证明.【解析】(1)xx+13xn展开式的前三项的二项式系数之和为cn0+cn1+cn2=37,解得n=8.所以xx+13xn=xx+13x8的展开式的通项为tr+1=c8r(xx)8-r13xr=c8rx12-11r6.当r=0,6时,x的指数为整数.所以x的整数次幂的项有x12,28x.(2)展开式共有9项,根据展开式中间项的二项式系数最大,故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.证明如下:因为展开式第5项的二项式系数为c84=87651234=70.展开式第4项的二项式系数为c83,展开式第6项的二项式系数为c85,因为c85=c83=876123=5670.故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.8.已知在12x2-1xn的展开式中,第9项为常数项,求:(1)n的值.(2)展开式中x5的系数.(3)含x的整数次幂的项的个数.【解析】二项展开式的通项为tk+1=cnk12x2n-k-1xk=(-1)k12n-kcnkx2n-52k.(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-52k=0,解得n=10.(2)令2n-52k=5,得k=25(2n-5)=6,所以x5的系数为(-1)6124c106=1058.(3)要使2n-52k,即40-5k2为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.【拓展延伸】已知展开式中某些项(或系数)求其他问题的思路及技巧(1)根据给定的条件和通项公式,建立方程来确定指数.(2)根据所求的指数,再求所求解的项.(3)为减少计算中的错误,宜将根式化为分数指数幂.【变式训练】在3x-123xn的展开式中,已知第6项为常数项.(1)求n.(2)求含x2项的系数.(3)求展开式中所有的有理项.【解析】通项为tr+1=cnrxn-r3-12rx-r3=cnr-12rxn-2r3,(1)因为第6项为常数项,所以r=5