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考点31 空间向量及其运算一、填空题1.（2012四川高考文科14）与（2012四川高考理科14）相同如图，在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成的角的大小是_.【解题指南】建立空间直角坐标系，先求两直线的方向向量所成的角，再求两直线所成的角.【解析】设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，,异面直线与所成的角的大小为.【答案】二、解答题2.（2012四川高考理科17）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；（2）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望.【解析】（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件c,那么解得（2）由题意，所以，随机变量的概率分布列为：0123p故随机变量的数学期望e=.3.（2012重庆高考文科20）如图,在直三棱柱中,为的中点.(1)求异面直线和的距离;(2)若,求二面角的平面角的余弦值.【解析】(1)如图,因为,为的中点.故.又直三棱柱中,平面,故,所以异面直线和的距离为.(2)方法一:因,故平面,从而,故为所求的二面角的平面角.因是在平面上的射影,又已知,由三垂线定理的逆定理得,从而都与互余,因此，所以，因此，得，从而所以在中，由余弦定理得.方法二：如图，过作交于点，在直三棱柱中，由（1）知两两垂直.以为原点,射线分别为轴,轴,轴的正半轴建立空间直角坐标系.设直三棱柱的高为,则，从而，由得,即,得故,，设平面的法向量,则,，即取,得.设平面的
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