【全程复习方略】（福建专用）高中数学 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式训练 理 新人教A版选修45.doc

【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式训练 理 新人教a版选修4-51.已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.2.已知x,y,z均为正数，求证:3.(2012潮州模拟)若实数x、y、m满足|x-m|y-m|，则称x比y接近m.(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范围;(2)对任意两个不相等的正数a、b，求证:a2b+ab2比a3+b3接近2ab.4.(2012锦州模拟)已知a0，求证:5.已知a，b，c均为正数，证明：并确定a，b，c为何值时，等号成立.6.已知数列an满足(1)计算出a2、a3、a4;(2)猜想数列an通项公式an,并用数学归纳法进行证明.7.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nn+).(1)求数列an的通项;(2)证明:(nn+).8.(2012洛阳模拟)已知数列an、bn满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1，数列bn的前n项和为sn.(1)求数列bn的通项公式;(2)设tn=s2n-sn，求证:tn+1tn;(3)求证:对任意的nn+有成立.9.已知a,b,c为三角形的三条边,求证:也可以构成一个三角形.10.已知a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an, nn+.(1)求b1、b2、b3的值;(2)设cn=bnbn+1，sn为数列cn的前n项和，求证：sn17n;(3)求证:答案解析1.【证明】因为a,b是正实数,所以a2b+a+b2=3ab0(当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立);同理:ab2+a2+b=3ab0(当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时，等号成立);所以:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2(当且仅当a=b=1时，等号成立);因为:ab，所以:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2.2.【解题指南】由于故可考虑利用基本不等式求解.【证明】x,y,z均为正数,同理可得当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得3.【解析】(1)x2-1比3接近0,|x2-1|3，解得-2x2,x的取值范围为(-2,2);(2)对任意两个不相等的正数a、b,有因为所以即a2b+ab2比a3+b3接近2ab4.【证明】因为a0，所以为了证明只需证明即只需证明即即只需证明只需证明即因为当且仅当a=1时，等号成立.所以5.【解析】方法一：因为a、b、c均为正数，所以 所以 故又 所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时，式和式等号成立.当且仅当时，式等号成立.即当且仅当时，原式等号成立.方法二：因为a，b，c均为正数，所以a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ac，所以a2+b2+c2ab+bc+ac. 同理 故 所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时，式和式等号成立.当且仅当a=b=c，(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时，式等号成立.即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立.6.【解析】(1)(2)由(1)知分子是3,分母是以5为首项,6为公差的等差数列.猜想数列an通项公式:用数学归纳法证明如下:当n=1时,由题意可知命题成立;假设当n=k(k1,kn)时命题成立,即那么，当n=k+1时，也就说，当n=k+1时命题也成立.综上所述，数列an的通项公式为7.【解析】(1)an+1=2an+1(nn+),an+1+1=2(an+1),数列an+1是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.an+1=2n,即an=2n-1(nn+).(2)k=1,2,3,n. (nn+).8.【解析】(1)由bn=an-1得an=bn+1代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1整理得bn-bn+1=bnbn+1，bn0,否则an=1，与a1=2矛盾,从而得b1=a1-1=1，数列是首项为1，公差为1的等差数列.=n,即 (2)方法一:tn+1tn.方法二:2n+12n+2，tn+1tn.(3)用数学归纳法证明:当n=1时, 不等式成立;假设当n=k(k1，kn+)时，不等式成立，即那么当n=k+1时 当n=k+1时,不等式成立.由知对任意的nn+不等式成立.9.【证明】设f(x)= x0,+).则f(x)在0,+)上为单调增函数,事实上设0x1x2,则因为a，b，c为三角形的三条边,于是a+bc.由得即同理可证: 由,知以为边可以构成一个三角形.10.【解析】(1)因为a1=1,a2=4,a3=4a2+a1=17,a4=72,所以b1=4,b2=b3=(2)由an+2=4an+1+a