山东省德州市跃华学校高三数学上学期12月月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省德州市跃华学校高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i是虚数单位，复数z=（x21）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）a1b1c1d22已知全集u=0，1，2，3，4，集合a=1，2，3，b=2，4，则（ua）b为（）a4bc0，2，4d1，33“nn*，2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d即不充分也不必要条件4若y=f（x）既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y=f（x）（）a既是周期函数，又是奇函数b既是周期函数，又是偶函数c不是周期函数，但是奇函数d不是周期函数，但是偶函数5设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）a3b2c1d06已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）abcd7过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为（）a2x+y3=0b2xy3=0c4xy3=0d4x+y3=08已知函数f（x）=x2+1的定义域为a，b（ab），值域为1，5，则在平面直角坐标系内，点（a，b）的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（）a8b6c4d29设f1，f2是双曲线=1（a0，b0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点p，使（）=0（o为坐标原点），且|=|，则双曲线的离心率为（）ab +1cd10设函数的零点都在区间0，5上，则函数与函数的图象的交点的横坐标为正整数时实数a的取值个数为（）a3b4c5d无穷个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知为第二象限的角，则tan2=12某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8若用分层抽样抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为13函数f（x）=|x2011|+|x2012|+|x2013|（xr）的最小值为14如图，将边长为1cm的正方形abcd的四边沿bc所在直线l向右滚动（无滑动），当正方形滚动一周时，正方形的顶点a所经过的路线的长度为cm15设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0t24下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y5.07.55.02.55.07.55.02.55.0经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=h+asin（x+）的图象最能近似表示表中数据间对应关系的函数是三、解答题：本大题共6小题共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知sin2a=1cos2a（1）求角a的值；（2）若，求b的值17在某社区举办的有奖知识问答比赛中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙二人都回答错的概率是，乙、丙二人都回答对的概率是（）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；（）设乙、丙二人中回答对该题的人数为x，求x的分布列和数学期望18某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2a5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元（1）求分公司经营该产品一年的利润l（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润l（x）最大，并求出l（x）的最大值参考公式：（cax+b）=aeax+b（a、b为常数）19已知数列an中，a1=1，an的前n项和sn满足2sn=an+1（1）求数列an的通项公式；（2）若存在nn*，使得，求实数的最大值20已知向量，（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，f（x）=xexf（x）（）求k的值及f（x）的单调区间；（）已知函数g（x）=x2+2ax（a为正实数），若对于任意x20，1，总存在x1（0，+），使得g（x2）f（x1），求实数a的取值范围21已知椭圆c： +=1（ab0），o：x2+y2=b2，点a，f分别是椭圆c的左顶点和左焦点，点p是o上的动点（1）若p（1，），pa是o的切线，求椭圆c的方程；（2）是否存在这样的椭圆c，使得是常数？如果存在，求c的离心率，如果不存在，说明理由2015-2016学年山东省德州市跃华学校高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i是虚数单位，复数z=（x21）+（x+1）i是纯虚数，则实数x的值为（）a1b1c1d2【考点】复数的基本概念【专题】计算题【分析】因为x是实数，所以复数z的实部是x21，虚部是x+1，直接由实部等于0，虚部不等于0求解x的值【解答】解：由i是纯虚数，得，解得x=1故选b【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的充要条件，复数为纯虚数，当且仅当实部等于0且虚部不等于0，是基础题2已知全集u=0，1，2，3，4，集合a=1，2，3，b=2，4，则（ua）b为（）a4bc0，2，4d1，3【考点】交、并、补集的混合运算【专题】函数的性质及应用【分析】由条件利用补集的定义求得cua），再根据两个集合的交集的定义求得cua）b的结果【解答】解：已知全集u=0，1，2，3，4，集合a=1，2，3，b=2，4，则（cua）=0，4，cua）b=4，故选a【点评】本题主要考查求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题3“nn*，2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由2an+1=an+an+2，可得an+2an+1=an+1an，可得数列an为等差数列；若数列an为等差数列，易得2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案【解答】解：由2an+1=an+an+2，可得an+2an+1=an+1an，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列an为等差数列，反之，若数列an为等差数列，易得2an+1=an+an+2，故“nn*，2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的充要条件，故选c【点评】本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题4若y=f（x）既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y=f（x）（）a既是周期函数，又是奇函数b既是周期函数，又是偶函数c不是周期函数，但是奇函数d不是周期函数，但是偶函数【考点】导数的运算；函数奇偶性的性质；函数的周期性【专题】导数的概念及应用【分析】利用导数的定义及周期函数的定义可以证明周期函数的导数仍是周期函数，利用奇函数的概念及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数【解答】解：若y=f（x）是周期函数，设其周期为t，则=f（x+t）所以，周期函数的导数仍是周期函数；若y=f（x）是奇函数，则f（x）=f（x）所以f（x）=f（x），即f（x）=f（x）所以奇函数的导数是偶函数故选b【点评】本题考查了导数的基本概念，考查了函数的周期性与函数的奇偶性，是基础的概念题5设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）a3b2c1d0【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，通过平移即可求z的最小值为【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点a时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大为6即x+y=6经过点b时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小由得，即a（3，3），直线y=k过a，k=3由，解得，即b（6，3）此时z的最小值为z=6+3=3，故选：a【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法6已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）abcd【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】令，作出图象，根据图象可求出的最大值、最小值【解答】解：令，如图所示：则，又，所以点c在以点d为圆心、半径为1的圆上，易知点c与o、d共线时达到最值，最大值为+1，最小值为1，所以的取值范围为1， +1故选a【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具7过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为a，b，则直线ab的方程为（）a2x+y3=0b2xy3=0c4xy3=0d4x+y3=0【考点】圆的切线方程；直线的一般式方程【专题】直线与圆【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除b、d，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x1）2+y2=1的两条切线，切点分别为a，b，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然b、d选项不过（1，1），b、d不满足题意；另一个切点的坐标在（1，1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项c不满足，a满足故选a【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习8已知函数f（x）=x2+1的定义域为a，b（ab），值域为1，5，则在平面直角坐标系内，点（a，b）的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（）a8b6c4d2【考点】二次函数的图象；二次函数的性质【专题】计算题【分析】对于函数f（x）=x2+1而言，当x=2时，y=5，从而结合题意得出a，b的取值范围点（a，b）的运动轨迹是两条线段，与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，从而得出结果【解答】解：对于函数f（x）=x2+1，当x=2时，y=5故根据题意得a，b的取值范围为：2a0且b=2或a=2且0b2点（a，b）的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形面积为4故选c【点评】本小题主要考查二次函数的图象、二次函数的性质、轨迹等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题9设f1，f2是双曲线=1（a0，b0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点p，使（）=0（o为坐标原点），且|=|，则双曲线的离心率为（）ab +1cd【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】取pf2的中点a，利用=2，可得，从而可得pf1pf2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论【解答】解：取pf2的中点a，则=2（）=0，2=0o是f1f2的中点oapf1，pf1pf2，|pf1|=|pf2|，2a=|pf1|pf2|=（1）|pf2|，|pf1|2+|pf2|2=4c2，c=|pf2|，e=故选b【点评】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，利用向量确定pf1pf2是关键10设函数的零点都在区间0，5上，则函数与函数的图象的交点的横坐标为正整数时实数a的取值个数为（）a3b4c5d无穷个【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】分析：由题意根据函数f（x）=x4ax（a0）的零点都在区间0，5上可得a的范围，然后然后再进行判断【解答】解：函数f（x）=x4ax（a0）的零点都在区间0，5上，又f（x）=x4ax=x（x3a）令f（x）=0，x=0，或x=a125由可得a=令f（x）=（x0），则f（x）=0恒成立f（x）在（0，+）上单调递增，在（，0）上单调递增且f（1）=f（1）=0当x=2，3，4，5时满足题意故选b【点评】此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间0，5上的值域，是一道好题，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知为第二象限的角，则tan2=【考点】二倍角的正弦；三角函数值的符号【分析】先求出tan的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案【解答】解：因为为第二象限的角，又，所以，故答案为：【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能12某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8若用分层抽样抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为1【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用甲组中的个体数乘以此概率，即得甲组应抽取的城市数【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，故甲组中应抽取的城市数为4=1，故答案为 1【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题13函数f（x）=|x2011|+|x2012|+|x2013|（xr）的最小值为2【考点】带绝对值的函数【专题】数形结合【分析】首先分析题目求函数f（x）=|x2011|+|x2012|+|x2013|（xr）的最小值，可以分析它的几何意义：在数轴上点x到点2011的距离加上点x到点2012的距离加上点x到点2013的距离分析得当x在2012的时候，取最小值，即可得到答案【解答】解：在数轴上，设2011、2012、2013、x所对应的点分别是a、b、c、p，则函数f（x）=|x2011|+|x2012|+|x2013|（xr）的含义是p到a的距离、p到b的距离与p到c的距离的和，分析得到，当p在b的时候，它们的距离和为线段ac的长度，此时最小即函数f（x）=|x2011|+|x2012|+|x2013|（xr）的最小值为：|20122011|+|20122012|+|20122013|=2故答案为：2【点评】此题主要考查y=|xa|+|xb|+|xc|，此种类型的函数的最小值的求法，对于此种函数可以分析其几何意义，然后再求得最小值，难度一般14如图，将边长为1cm的正方形abcd的四边沿bc所在直线l向右滚动（无滑动），当正方形滚动一周时，正方形的顶点a所经过的路线的长度为cm【考点】弧长公式【专题】计算题；解三角形【分析】根据题意，顶点a所经过的路线弧长分为四段：第一段以对角线为半径，圆心角为；第二段以边长为半径，圆心角为；第三段a点为圆心，位置不动；第四段以边长为半径，圆心角为利用弧长公式计算可得答案【解答】解：正方形abcd的边长ab=1cm，对角线ac=cm，根据题意，滚动一周a点所经过的路程是：s=+21=cm即当正方形滚动一周时，正方形的顶点a所经过的路线的长度为（）cm故答案为：【点评】本题给出实际应用问题，求正方形滚动一周时点a所经过的路线的长度着重考查了弧长公式和正方形的性质等知识，属于中档题15设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0t24下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y5.07.55.02.55.07.55.02.55.0经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=h+asin（x+）的图象最能近似表示表中数据间对应关系的函数是y=5.0+2.5sint【考点】在实际问题中建立三角函数模型【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】根据函数的最大最小值的差，算出2a=7.52.5=5，从而得到a=2.5，可得h=7.52.5=5.0由函数的两个最大值之间的差为12，结合周期公式算出=，最后根据f（3）=7.5为函数的最大值，可算出=0，由此即可解出所求函数关系式【解答】解：根据题意，得f（3）=f（15）=7.5，为函数的最大值；f（9）=f（21）=2.5，为函数的最小值函数的周期t=153=12，可得=12，得=2a=7.52.5=5，可得a=2.5，h=7.52.5=5.0f（3）=5.0+2.5sin（3+）=7.5，可得+=+2k（kz）取k=0，得=0因此，所求函数的关系式为y=5.0+2.5sint故答案为：y=5.0+2.5sint【点评】本题给出实际应用问题，求其中的近似表示表中数据间对应关系的函数表达式着重考查了三角函数的图象与性质和函数解析式的求法等知识，属于中档题三、解答题：本大题共6小题共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知sin2a=1cos2a（1）求角a的值；（2）若，求b的值【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）abc中，由条件利用二倍角公式求得cosa=sina，即 tana=，由此求得 a 的值（2）由条件，以及a=，利用正弦定理，求得b的值【解答】解：（1）在abc中， sin2a=1cos2a， 2sinacosa=2sin2a， cosa=sina，tana=，a=（2），由正弦定理可得，由此求得b=【点评】本题主要考查正弦定理的应用，二倍角公式，根据三角函数的值求角，属于中档题17在某社区举办的有奖知识问答比赛中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙二人都回答错的概率是，乙、丙二人都回答对的概率是（）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；（）设乙、丙二人中回答对该题的人数为x，求x的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式【专题】概率与统计【分析】（）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件a、b、c，则，且有，解之可得；（）由题意，x=0，1，2，分别可得所对应的概率，可得x的分布列，由期望的定义可得期望【解答】解：（）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件a、b、c，则，且有，故，解得， （）由题意，x=0，1，2，所以随机变量x的分布列为： x 01 2 p 【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，涉及相互独立事件的概率乘法公式，属中档题18某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元（a为常数，2a5）的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为（e为自然对数的底数）万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元（1）求分公司经营该产品一年的利润l（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润l（x）最大，并求出l（x）的最大值参考公式：（cax+b）=aeax+b（a、b为常数）【考点】函数模型的选择与应用【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，代入可得k值，进而根据利润=单件利润销售量得到该产品一年的利润l（x）万元与每件产品的售价x元的函数关系式；（2）由（1）中所得函数的解析式，求导后分析函数的单调性，进而分析出该产品一年的利润l（x）的最大值【解答】解：（1）由题意，该产品一年的销售量为y=将x=40，y=500代入得k=500e40故该产品一年的销售量为y=500e40x2分故l（x）=（x30a）y=500（x30a）e40x（35x41）4分（2）由（1）得，l（x）=500e40x（x30a）e40x=500e40x（31+ax），（35x41）5分当2a4时，l（x）500e40x（31+435）=0，当且仅当a=4，x=35时取等号故l（x）在35，41上单调递减故l（x）的最大值为l（35）=500（5a）e58分当4a5时，l（x）035x31+a，l（x）031+ax41故l（x）在35，31+a上单调递增，在31+a，41上单调递减故l（x）的最大值为l（31+a）=500e9a8分综上所述，当2a4时，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500（5a）e5万元；当4a5时，每件产品的售价为（31+a）元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9a万元；【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，其中求出函数的解析式是解答（1）的关键，利用导数法分析函数的单调性是解答（2）的关键19已知数列an中，a1=1，an的前n项和sn满足2sn=an+1（1）求数列an的通项公式；（2）若存在nn*，使得，求实数的最大值【考点】数列递推式；数列的函数特性【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（1）由题意利用可得an与an1之间到递推关系，结合等比数列到通项公式可求an（2）令，然后进行判断数列bn的单调性，然后由已知可得， max，可求【解答】解：（1）由题意可得，当n2时，2sn1=an，2sn=an+1两式相减可得，2an=an+1an即an+1=3ana2=2a1=2an是从第二项开始到等比数列，公比q=3n2时， =23n2（2）令则n2时，bn+1bn=当n2时，bn+1bnbn是从第二项开始的单调递减数列而，由可得， max=3的最大值为3【点评】本题主要考查两利用数列到递推公式求解数列到通项公式及等比数列到通项公式到应用，数列到单调性在数列到最值项求解中到应用，属于数列知识的简单应用20已知向量，（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，f（x）=xexf（x）（）求k的值及f（x）的单调区间；（）已知函数g（x）=x2+2ax（a为正实数），若对于任意x20，1，总存在x1（0，+），使得g（x2）f（x1），求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调