创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题一 函数与导数、不等式 第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题课件 文.ppt

第3讲导数与函数的单调性 极值 最值问题 高考定位常以指数 对数式为载体 考查函数单调性的求法或讨论 以及考查函数极值 最值的求法 综合考查与范围有关的问题 真题感悟 2016 山东卷 设f x xlnx ax2 2a 1 x a r 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 2 由 1 知 f 1 0 当a 0时 f x 单调递增 所以当x 0 1 时 f x 0 f x 单调递减 当x 1 时 f x 0 f x 单调递增 所以f x 在x 1处取得极小值 不合题意 考点整合 1 导数与函数的单调性 1 函数单调性的判定方法 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则y f x 在该区间为增函数 如果f x 0 则y f x 在该区间为减函数 2 函数单调性问题包括 求函数的单调区间 常常通过求导 转化为解方程或不等式 常用到分类讨论思想 利用单调性证明不等式或比较大小 常用构造函数法 2 极值的判别方法当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号 而不是f x 0 此外 函数不可导的点也可能是函数的极值点 而且极值是一个局部概念 极值的大小关系是不确定的 即有可能极大值比极小值小 3 闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数 一定有最大值和最小值 其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者 最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者 热点一利用导数研究函数的单调性 微题型1 求解含参函数的单调区间 探究提高讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况 大多数情况下 这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论 在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的 千万不要忽视了定义域的限制 微题型2 已知函数的单调区间求参数范围 探究提高已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立的理论求解 应注意参数的取值是f x 不恒等于0的参数的范围 当a 0时 2ax 1 0 若x 0 1 则f x 0 若x 1 则f x 0 所以函数f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 热点二利用导数研究函数的极值 例2 设函数f x ln x 1 a x2 x 其中a r 讨论函数f x 极值点的个数 并说明理由 探究提高极值点的个数 一般是使f x 0方程根的个数 一般情况下导函数若可以化成二次函数 我们可以利用判别式研究 若不是 我们可以借助导函数的性质及图象研究 训练2 设函数f x ax3 2x2 x c 1 当a 1 且函数图象过 0 1 时 求函数的极小值 2 若f x 在r上无极值点 求a的取值范围 热点三利用导数研究函数的最值 例3 2016 武汉二模 设函数f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 1 讨论f x 在其定义域上的单调性 2 当x 0 1 时 求f x 取得最大值和最小值时的x的值 当xx2时 f x 0 故f x 在 x1 和 x2 内单调递减 在 x1 x2 内单调递增 2 因为a 0 所以x10 当a 4时 x2 1 由 1 知 f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在x 0和x 1处分别取得最小值和最大值 探究提高含参数的函数的极值 最值 问题常在以下情况下需要分类讨论 1 导数为零时自变量的大小不确定需要讨论 2 导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论 3 端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论 4 参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论 1 如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个 这些单调区间不能用 连接 而只能用逗号或 和 字隔开 2 可导函数在闭区间 a b 上的最值 就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值 3 可导函数极值的理解 1 函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定 也有可能极小值大于极大值 2 对于可导函数f x f x 在x x0处的导数f x0 0 是 f x 在x x0处取得极值 的必要不充分条件 3 注意导函数的图象与原函数图象的关系 导函数由正变负的零点是原函数的极大值点 导函数由负变正的零点是原函数的极小值点 4 求函数的单调区间时 若函数的导函数中含有带参数的有理因式 因式根的个数 大小 根是否在定义域内可能都与参数有关 则需对参数进行分类讨论