四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修22.ppt

第一章导数及其应用第6课时函数的单调性与导数 对于函数y x3 3x 如何判断单调性呢 你能画出该函数的图象吗 定义法是解决函数单调性问题的最根本的方法 但定义法较烦琐 那该如何解决呢 第6课时函数的单调性与导数 第6课时函数的单调性与导数 第6课时函数的单调性与导数 第6课时函数的单调性与导数 回顾3 复合函数的求导步骤如果函数f u u x 有导数 那么 f u x f u u x 第一步 分层 从外向内分解成基本函数直到中间变量 第二步 层层求导 将分解所得的基本函数进行求导 第三步 作积还原 将各层基本函数的导数相乘 并将中间变量还原为原来的自变量 第6课时函数的单调性与导数 预学1 增函数与减函数一般地 设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间d上是单调递增函数 如图 1 所示 第6课时函数的单调性与导数 如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么就说函数f x 在区间d上是单调递减函数 如图 2 所示 第6课时函数的单调性与导数 第6课时函数的单调性与导数 预学2 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间m上是单调递增函数或是单调递减函数 就说这个函数在这个区间m上具有单调性 区间m称为单调区间 议一议 写出函数y cosx的单调区间 解析 函数y cosx在 2k 2k k z 上单调递减 在 2k 2k k z 上单调递增 第6课时函数的单调性与导数 预学3 函数的单调性与其导函数值的正负关系对于函数y f x 如果在某个区间 a b 内f x 0 那么f x 在该区间内单调递增 如果在某个区间 a b 内f x 0 那么f x 在该区间内单调递减 第6课时函数的单调性与导数 议一议 1 f x 0与f x 为增函数有怎样的关系 2 f x 0与f x 为增函数有怎样的关系 解析 1 f x 0能推出f x 为增函数 但反之不成立 例如 函数f x x3在r上单调递增 但f x 3x2 0 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 第6课时函数的单调性与导数 2 f x 为增函数 一定可以推出f x 0 但反之不一定成立 f x 0 即为f x 0或f x 0 当函数在某个区间内恒有f x 0时 则f x 为常数 函数不具有单调性 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 第6课时函数的单调性与导数 预学4 求可导函数单调区间的一般步骤根据导数与函数单调性的关系 在函数定义域的某个区间 a b 内求函数单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 解不等式f x 0或f x 0 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递减 4 写出单调区间 第6课时函数的单调性与导数 想一想 函数y x3 3x的单调区间是 答案 增区间是 1 和 1 减区间是 1 1 第6课时函数的单调性与导数 1 求函数的单调区间例1 求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 方法指导 先求f x 再解不等式f x 0和f x 0 即可得到函数f x 的单调递增区间和单调递减区间 第6课时函数的单调性与导数 解析 由题可知 f x 2x3 6x2 7 6x2 12x 令f x 0 解得x 2或x 0 所以当x 0 或x 2 时 f x 0 函数f x 是增函数 令f x 0 解得0 x 2 所以当x 0 2 时 f x 0 函数f x 是减函数 综上所述 函数f x 2x3 6x2 7的单调递增区间为 0 和 2 单调递减区间为 0 2 第6课时函数的单调性与导数 第6课时函数的单调性与导数 2 函数的变化快慢与导数的关系例2如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 第6课时函数的单调性与导数 方法指导 根据导数与函数增长快慢的关系来找出对应的函数关系图象 解析 1 b 2 a 3 d 4 c 第6课时函数的单调性与导数 变式训练2 已知函数f x 的导函数f x ax2 bx c的图象如图所示 则函数f x 的图象可能是 第6课时函数的单调性与导数 解析 观察导函数f x 的图象可知 当x 0或x x1时 导函数f x 0 即函数f x 在 0 和 x1 上单调递减 当0 x x1时 导函数f x 0 即函数f x 在 0 x1 上单调递增 故选d 答案 d 第6课时函数的单调性与导数 3 含有参数的函数单调性问题例3 设函数f x 1 1 a x x2 x3 其中a 0 讨论函数f x 在其定义域上的单调性 方法指导 先求导函数f x 1 a 2x 3x2 再根据x的取值范围讨论导函数在 0 和 0 的符号即可 第6课时函数的单调性与导数 第6课时函数的单调性与导数 第6课时函数的单调性与导数 1 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x 0 4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间 第6课时函数的单调性与导数 2 通过函数图象 不仅可以看出函数的增减趋势 还可以看出函数增减的快慢 从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后 我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象 反之也可行 一般地 如果一个函数在某一区间上导数的绝对值越大 说明函数在这个区间内的变化越快 这时函数的图象就越 陡峭 反之 函数的图象就 平缓 一些 第6课时函数的单调性与导数 3 利用导数判断一些与参数有关的函数的单调性时 要注意对参数的分类讨论 第6课时函数的单调性与导数 设函数f x emx x2 mx 证明 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 解析 f x m emx 1 2x 若m 0 则当x 0 时 emx 1 0 f x 0 当x 0 时 em