八年级数学下册 1.2.1 勾股定理教学课件 （新版）湘教版.ppt

八年级数学 勾股定理 毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家 数学家 天文学家 相传2500 年前 一次 毕达哥拉斯去朋友家作客 在宴席上 其他的宾客都在尽情欢乐 高谈阔论 只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来 原来 朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的 黑白相间 非常美观大方 主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪 就想过去问他 谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子 站起来 大笑着跑回家去了 同学们 我们也来观察下面图中的地面 看看你能发现什么 是否也和大哲学家有同样的发现呢 1 观察图1 1正方形a中含有个小方格 即a的面积是个单位面积 正方形b的面积是个单位面积 正方形c的面积是个单位面积 16 16 9 25 正方形a b与c三者的面积存在什么关系呢 a b c 图1 1 图中每个小方格代表一个单位面积 一 探究 图2 图3 4 9 13 9 25 34 sa sb sc 两直角边的平方和等于斜边的平方 探究 你会求出图形的面积吗 a c b 如果直角三角形边长为 以直角边斜边分别向外做正方形 分析猜想 a b c sa sb sc 正方形a b c的面积用a b c如何表示 a2 b2 c2 方法一 思考 大正方形面积怎么表示 推理验证 2ab b2 2ab a2 a2 b2 a2 b2 c2 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 c2 4 b a 2 c2 4 b a 2 方法二 推理验证 a b b c 1 2 a a b c2 b2 a2 c2 4 ab a2 b2 4 ab a2 b2 c2 推理验证 方法三 对比两个图形 你能直接观察验证出勾股定理吗 两幅图中彩色的四个直角三角形总面积呢 提示 图中的两个大正方形面积相等吗 空白部分的面积呢 推理验证 方法四 a2 b2 c2 总统证法 推理验证 方法五 s梯形 a b a b a2 2ab b2 a2 ab b2s梯形 2 ab c2 ab c2 s梯形 s梯形 a2 ab b2 ab c2 a2 b2 c2 青出 华罗庚 青朱出入图 推理验证 方法六 无字证明 a b c 无字证明 推理验证 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 a2 b2 c2 a c b 勾 股 弦 常用的勾股数 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 勾股定理的用途 勾股定理是直角三角形独有的性质 它揭示了直角三角形三条边之间的美妙关系 因此 直角三角形中 已知任意两条边长 就可以用求出第三边 在中国古代 人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾 下半部分称为 股 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为 勾 较长的直角边称为 股 斜边称为 弦 勾股世界 两千多年前 古希腊有个哥拉 斯学派 他们首先发现了勾股定理 因此 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 年希腊曾经发行了一枚纪念票 定理 为了纪念毕达哥拉斯学派 1955 勾股世界 国家之一 早在三千多年前 国家之一 早在三千多年前 国家之一 早在三千多年前 国家之一 早在三千多年前 国家之一 早在三千多年前 国家之一 早在三千多年前 国家之一 早在三千多年前 国家之一 早在三千多年前 两千多年前 古希腊有个毕达哥拉斯学派 他们首先发现了勾股定理 因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理 为了纪念毕达哥拉斯学派 1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票 我国是最早了解勾股定理的国家之一 早在三千多年前 周朝数学家商高就提出 将一根直尺折成一个直角 如果勾等于三 股等于四 那么弦就等于五 即 勾三 股四 弦五 它被记载于我国古代著名的数学著作 周髀算经 中 这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的 被称为 赵爽弦图 赵爽弦图 表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智 它是我国古代数学的骄傲 因此 这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽 勾股定理的各种表达式 在rt abc中 c 90 a b c的对边分别为a b c 则 c2 a2 b2a2 c2 b2b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 b2 c2 a2 c a b 归纳 在rt 中已知两边求第三边 例1 求出下列直角三角形中未知边的长度 解 1 在rt abc中 由勾股定理得 ab2 ac2 bc2 x2 81 1600 x2 1681 x2 92 402 x 41 x 0 x2 72 252 x2 252 72 x2 576 x 24 2 在rt abc中 由勾股定理 ab2 ac2 bc2 x 0 a c b 知识应用 归纳 在rt 中已知两边求第三边 你能又快又准确吗 1 求下列直角三角形中未知边的长2 求下图中未知数x y的值 3 4 x x 24 26 36 64 x 25 169 y 小试牛刀 x 5 x 10 x 10 y 12 3 在rt abc中 c 90 若a 5 b 12 则c 若a 15 c 25 则b 13 20 4 在rt abc中 a b c分别为三边长 则下列关系中正确的是 a a2 b2 c2b a2 c2 b2c b2 c2 a2d 以上都有可能 d 小试牛刀 说一说 如右图 在等腰三角形abc中 已知ab ac 13厘米 bc 10厘米 1 你能算出bc边上的高ad的长吗 2 abc的面积是多少呢 解 1 在 abc中ab ac ad是bc边上的高 所以bd bc 等腰三角形底边上的中线又是底边上的高 又因为bc 10厘米 所以bd 5厘米 在rt abd中由勾股定理得 即 解得ad 12厘米 s abc bc ad 10 12 60 平方厘米 bd2 ad2 ab2 52 ad2 132 竞技场 1 在直角三角形中 两条直角边分别为a b 斜边为c 则c2 a2 b2 2 在rt abc中 c 90 若a 4 b 3 则c 若c 13 b 5 则a 若c 17 a 8 则b 5 12 15 一填空题 基础巩固 4 等边三角形的边长为12 则它的高为 5 在直角三角形中 如果有两边为3 4 那么另一边为 5或 一个长方形的长是宽的2倍 其对角线的长是5 那么它的宽是 a b c d 二选择题 如果直角三角形的一个锐角为30度 斜边长是2 那么直角三角形的其它两边长是 a1 b1 3c1 d1 5 如图 在rt abc中 c 90 b 45 ac 1 则ab a2 b1 c d a c b a b c 4 放学以后 小红和小颖从学校分手 分别沿着东南方向和西南方向回家 若小红和小颖行走的速度都是40米 分 小红用15分钟到家 小颖用20分钟到家 小红和小颖家的距离为 a 600米 b 800米 c 1000米 d 不能确定 5 直角三角形两直角边分别为5厘米 12厘米 那么斜边上的高是 a 6厘米 b 8厘米 c 80 13厘米 d 60 13厘米 c d 颗粒归仓 1 这节课我的收获 2 我最感兴趣的地方是 3 我想进一步研究的问题是 检测与评价 a 1 abc中 c 90 若a 3cm b 4cm 则c cm 若a 12cm c 13cm 则b cm 若c 16cm b 6cm 则a cm 2 判断题 1 abc的两边ab 5 ac 12 则bc 13 2 abc的a 6 b 8 则c 10 1 在rt abc中 b 90 a 15 c 20 求b b 2 abc中 c 90 若a b 3 4 c 15cm 求a和b的长度 3 解答题 c 5 b 5 a 2 错 错 b 25 a 9 b 12 1 已知 abc中 c 90 bc a ac b ab c已知 a 1 b 2 求c 已知 a 15 c 17 求b 已知 a b 求c 4 已知 c 34 a b 8 15 求a b 课堂作业 2 等腰三角形底边上的高为8 周长为32 求这个三角形的面积 3 等腰三角形底边上的高为8 周长为32 求这个三角形的面积 8 d a b c 解 设这个三角形为abc 高为ad 设ab为x 则bc为 32 2x bd是 16 x 由勾股定理得 x2 16 x 2 82 即x2 256 32x x2 64 x 10 s abc bc ad 2 2 6 8 2 48 复习 回顾勾股定理的内容及证明方法 第二课时 选一选 1 已知 abc的三边分别是a b c 若 b 90 则有关系式 a a2 b2 c2 b a2 c2 b2 c a2 b2 c2 d b2 c2 a2 b 2 在 abc中 c 900 1 若a 5 b 12 则c 2 若c 4 b 2 则a 3 在 abc中 c 900 bc a ac b ab c若a 9 b 12 求c若c 34 a b 8 15 求a b 复习巩固 13 1 飞机在空中水平飞行 某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处 过了20秒 飞机距离这个男孩5000米 飞机每小时飞行多少千米 4000 5000 试一试 c 2 如图所示是一个长方形零件的平面图 尺寸如图所示 求两孔中心a b之间的距离 单位 毫米 试一试 3 如图在 abc中 acb 90 cd ab d为垂足 ac 2 1cm bc 2 8cm 求 abc的面积 斜边ab的长 斜边ab上的高cd的长 试一试 例 如图 为得到池塘两岸a点和b点间的距离 观测者在c点设桩 使 abc为直角三角形 并测得ac为100米 bc为80米 求a b两点间的距离是多少 a b c 解 如图 根据题意得 t abc中 90 ac 100米 bc 80米 由勾股定理得 ab bc ac ab2 ac2 bc2 1002 802 602 ab 60 米 答 a b两点间的距离是60米 三 应用定理巩固新知 某楼房三楼失火 消防队员赶来救火 了解到每层楼高2米 消防队员取来7米长的云梯 如果梯子的底部离墙基的距离是2 5米 请问消防队能否进入三楼灭火 应用举例 解 如图 在rt abc中 c 90 ac 6米 bc 2 5米 则ab 6 5因为7米大于6 5米所以消防队能进入三楼灭火 小明的妈妈买了一部29英寸 74厘米 的电视机 小明量了电视机的屏幕后 发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽 他觉得一定是售货员搞错了 你能解释这是为什么吗 售货员没搞错 议一议 荧屏对角线大约为74厘米 46 58 试一试 有一个水池 水面是一个边长为10尺的正方形 在水池正中央有一根新生的芦苇 它高出水面1尺 如果把这根芦苇拉向岸边 它的顶端恰好到达岸边的水面 请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 5尺 1尺 水池 我怎么走会最近呢 有一个圆柱 它的高等于12厘米 底面半径等于3厘米 在圆柱下底面上的a点有一只蚂蚁 它想从点a爬到点b 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 的值取3 高12cm b a 长18cm 的值取3 ab2 92 122 81 144 225 ab 15 cm 蚂蚁爬行的最短路程是15厘米 152 如图 大风将一根木制旗杆吹裂 随时都可能倒下 十分危急 接警后 119 迅速赶到现场 并决定从断裂处将旗杆折断 现在需要划出一个安全警戒区域 那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗 议一议 9m 24m d a 2 蚂蚁沿图中的折线从a点爬到d点 一共爬了多少厘米 小方格的边长为1厘米 g f e 5 13 10 2 以直角三角形三边为边作等边三角形 这3个等边三角形的面积之间有什么关系 知识延伸 1 如图 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的边长为7cm 则正方形a b c d的面积之和为 cm2 49 知识拓展 2 如图 一个2 5米长的梯子ab 斜着靠在竖直的墙ao上 这时ao的距离为2 4米 求梯子的底端b距墙角o多少米 算一算 底端滑动的距离近似值是多少 结果保留两位小数 1 做一个长 宽 高分别为50厘米 40厘米 30厘米的木箱 一根长为70厘米的木棒能否放入 为什么 试用今天学过的知识说明 1 本节课我们学习了什么 3 会利用勾股定理解决实际问题 课堂小结 勾股定理 2 利用勾股定理 已知直角三角形 的某两边长 会根据条件求另一边 2 如图 在等腰三角形abc中 已知ab ac 10厘米 bc 12厘米 则 abc的面积是 平方厘米 1 在 abc中 c 90 直角边为a和b 斜边为c 若a 15 c 25 则b 3 在一个直角三角形中 两边长分别为2 4 则第三边的长为 4 如图 学校有一个旗杆 现用一个测角器在离旗杆底端c的不远处找了一点b 使此时测得顶端a的仰角为60度 再用皮尺测得bc之间的距离为a 由此请你求出旗杆的高度ac 4 练习巩固 测一测 5 如图 已知长方形abcd中ab 8cm bc 10cm 在边cd上取一点e 将 ade折叠使点d恰好落在bc边上的点f 求ce的长 20 48 ce 3 1 如图 abc中ab 20cmac 13cmad bc于d且ad 12cm求bc的长及s abc 2 如图 abc中cd ab于d 若ab 5cd 2 3 bcd 30 求ac的长 第一题 第二题 作业 3 一高为2 5米的木梯 架在高为2 4米的墙上 如图 这时梯脚与墙的距离是多少 湖的两端有a 两点 从与 a方向成直角的bc方向上的点c测得ca 130米 cb 120米 则ab为 a 50米b 120米c 100米d 130米 130 120 a 甲 乙两位探险者到沙漠进行探险 某日早晨8 00甲先出发 他以6千米 小时的速度向东行走 1小时后乙出发 他以5千米 小时的速度向北行进 上午10 00 甲 乙二人相距多远 东 北 甲 乙 我们有 46 b 58 a 46 58 c c2 a2 b2 462 582 5480 而742 5476 由勾股定理得 小明的妈妈买了一部29英寸 约74厘米 的电视机 小明量了电视机的屏幕后 发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽 他觉得一定是售货员搞错了 你同意他的想法吗 你能解释这是为什么吗 想一想 荧屏对角线大约为74厘米 售货员没搞错 竞赛场 1 如图 1 是一个边长4厘米的正方形 两条对角线ac与bd相交于o 观察此图回答下列问题 1 线段ac有多长呢 2 图中有多少个直角三角形 2 有一棵树较高 如图2 无法直接量出它的高度 现在给你一个能测仰角的仪器和一根皮尺 你能测出这棵树的高度吗 图 1 图 2 练一练 1 如图 根据以下数学情境 你可以提出多少个数学问题 你能解决所提出的问题吗 2 若正方形的面积为2cm2 则它的对角线长是 3 一个直角三角形的三边为三个连续偶数 则它的三边长分别为 4 在 abc中 c 90 1 若a 5 b 12 则c 2 若a 15 c 25 则b 3 若c 61 b 60 则a 4 若a b 3 4 c 10 则a b 5 在直角 abc中 a 5 c 13 则 abc的面积s 6 在直角 abc中 c 90 c 20 b 15 则a 1 下图中的三角形是直角三角形 其余是正方形 求下列图中字母所表示的正方形的面积 625 144 想一想 1 求下列图中表示边的未知数x y z的值 81 144 x y z 做一做 做一做 p 625 400 2 6 x p的面积 x 225 b a c ab ac bc 25 15 20 比一比看看谁算得快 2 求下列直角三角形中未知边的长 可用勾股定理建立方程 方法小结 8 x 17 16 20 x 12 5 x 做一做 如图 一个高3米 宽4米的大门 需在相对角的顶点间加一个加固木条 则木条的长为 a 3米b 4米c 5米d 6米 c 判断正误 1求下列图中表示边的未知数x y z的值 81 144 y z 3 5 考一考 225 5 4 x 2直角三角形的两直角边为5 12 则三角形的周长为 3在 abc中 c 90 如果c 10 a 6 那么 abc的面积为 30 24 例1 在 abc中 c 90 ac 4bc 3求ab ac 8bc 6求ab ac 50bc 12求ab ac 10bc 24求ab c2 a2 b2 设计意图 前后照应 解决了数学实例中的游戏问题 让学生感知用勾股定理解决直角三角形中已知两边如何求第三边的问题 课堂练习 设计意图 巩固新的基础知识 培养多向思维能力 1在rt abc中 c 90 若a 5b 12则c 若b 15c 20则c 若a b 3 4c 10则a b 若 a 60 ac 2 3则ab bc 3 应用新知 例1 在rt abc中 c 90 bc a ac b ab c 1 若a 8 b 6 求c的长 2 若c 20 b 12 求a的长 用一用 从上一个例题可归纳 在直角三角形中已知两边长 可求第三边的长 3 应用新知 用一用 4 练习巩固 小组竞赛 每组给100分的基分 每胜一次加10分 看哪组能夺冠 竞赛题分 抢答题 限时题 合作题 抢答题 先举手者回答 对了给该组加10分 错或不答扣10分 求出下列直角三角形中未知边x的长度 练一练 欢迎光临指导 一 情境引入 会标中央的图案是赵爽弦图 它与 勾股定理 有关 数学家曾建议用 勾股定理 的图来作为与 外星人 联系的信号 2002年世界数学家大会在我国北京召开 下图是本届数学家大会的会标 1 口答 求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 已知直角三角形两边 求第三边 知识应用 师生互动 1 四人一组 准备的4个全等的直角三角形 要求直角边一长一短 分别标记为a b c a b c 2 发挥集体智慧 将4个全等的直角三角形拼奏成一个正方形 两种拼法 3 分别用两种方法求正方形的面积 并化简 4 你们发现了a b c三者之间存在着什么样的等量关系 5 正方形a b c用a b c如何表示 探究活动 sa sb sc 两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积 3 请同学们拿出准备好的8个全等的直角三角形 3个正方形 按要求拼成2个大正方形 大正方形的边长都是a b a c a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c b a 甲 乙 图形的拼接 4 设问 计算甲中大正方形面积为 乙中大正方形面积为 图甲 图乙中两个大正方形的面积相等吗 答案是 原因是 请同学们想一想 两种不同方法求出的结果有什么关系呢 答案 如果相等 那么我们能得到三者之间有什么关系式成立呢 a c a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c b a 甲 乙 a a a a b b b b c c c c c 请同学们还想一想 如果只用图乙来证明这个公式 你行吗 乙 得出结论 到此 我们通过实践验证 可以得到所有直角三角形都具有的性质是 用公式表示 直角三角形两直角边a b的平方 和等于斜边c的平方 公式的实质就是两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的用途 勾股定理是直角三角形独有的性质 它揭示了直角三角形三条边之间的美妙关系 因此 直角三角形中 已知任意两条边长 就可以用求出第三边 问题一 填空 1 abc中 ac 6 bc 8 求ab 结果 原因 2 rt abc中 c ac 6 bc 8 求ab 结果 原因 15 36 x x y 40 30 y a 289 64 面积a 50 50 s 距离s 问题二 生活实践 如图 有一等腰三角形铁架abc ab ac 13米 bc 10米 你能算出bc边上的高ad有多长吗 1 会查找 查找资料 了解勾股定理其他的证法 2 会联系 如果一个 abc的两边为ac 6cm bc 8cm 你能知道第三条边的准确长度吗 如果又已知边ac bc的夹角为 那么第三条边的长度是一个取值范围还是一个准确长度呢 如果是已知ac bc的夹角为 那么第三条边的长度是多少呢 3 会思考 有一个长宽高分别为40 30 50cm的木箱将一根长为70cm的小木棒 能否藏入此木箱内 请你用几天学的公式去说明 参见模型 勾股定理直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方 a2 b2 c2 c b a a b