山东省新泰市高考数学二轮复习 热点八 计数原理 概率与统计练习 理（含解析）.doc

数学热点八 计数原理 概率与统计【考点精要】考点一. 概率的有关概念及等可能事件的概率. 如：从1，2，3，4，5中随机选取一个数a，从1，2，3中随机选取一个数b,则ba的概率是 . 考点二. 几何概型. 主要考查几何概型的长度. 如：在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).a. b. c. d.考点三. 相互独立事件同时发生的概率，以及有关概率的计算. 如：两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（b）a. b. c. d. 考点四. 排列组合. 考查排列组合的相关知识，重点考查两个原理. 如：某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )a. 36种 b. 42种 c. 48种 d. 54种考点五. 用样本的平均数、方差或标准差来估计总体的平均数、方差或标准差. 如：样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若样本的平均值为1，则样本方差为 . 考点六. 考查分层抽样、随机抽样、系统抽样等，掌握各种抽样的特征与方法. 如：一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )a. 12,24,15,9 b. 9,12,12,7 c. 8,15,12,5 d. 8,16,10,6考点七. 中位数、茎叶图的相关知识及频率分布直方图. 考查频率分布直方图的基础知识，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率. 如：将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图. 若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 . 考点八. 离散型随机变量的分布列与数学期望. 如：设s是不等式的解集，整数，记使得“成立的有序数组”为事件a,（1）试列举a包含的基本事件；（2）记，求的分布列及数学期望. ( )巧点妙拨1.排列与组合 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.2.二项式系数的性质（1）在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即(r=0,1,2,n).（2）所有二项式系数和等于，即.3.概率（1）基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化（3）注意理解互斥事件与对立事件发生的条件. （4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个【典题对应】例1. （2014 山东7）为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )a. b. c. d. 命题意图：本题主要考查频率分布直方图的相关知识，尤其是频率域图中纵坐标、小矩形的面积的关系. 解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4答案：c名师坐堂：频率分布直方图中，应明确所有矩形的面积之和为1，掌握频率、频数、中数、众数的关系. 例2. （2014 山东18）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（i）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（ii）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.命题意图：本题考查概率在实际生活中的应用，考查期望的应用. 解析：（i）设恰有一次的落点在乙上这一事件为（ii） 012346.名师坐堂：求数学期望的关键是要分清的情况，在每一中情况下的概率要分清是何种概率. 例3.（2013山东10）用0,1，9十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为( )a. 243 b. 252 c. 261 d. 279命题意图:本题主要考查排列数公式的应用，会用枚举法进行分类. 解析：所有三位数共有900个，无重复数字的有.所以选b.名师坐堂：与数字有关的问题若是多少位数应首先明确数字是否允许重复，切记最高位数字不能为0. 例4（2013山东理19）甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是. 假设各局比赛结果相互独立. （）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分. 求乙队得分的分布列和数学期望. 命题意图:本题主要考查相互独立事件的概率、分布列、数学期望. 能够求出在不同条件下的事件的概率. 解析：（）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件 ，由题意，各局比赛结果相互独立，故，.所以，甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为，以3：2胜利的概率为.（）记“乙队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以，由题意，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，又 ，所以的分布列为0123因此.名师坐堂：求解概率的题目判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次实验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了次. 例6(2011山东理7) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为a. 63.6万元 b. 65.5万元 c. 67.7万元 d. 72.0万元命题意图：本题主要考查线性回归方程、平均数的相关知识. 解析：由表可计算，因为点在回归直线，且为9.4，所以，解得，故回归方程为，令得，选b. 名师坐堂：线性回归方程是新课程的内容，因线性回归方程的公式较为复杂，往往会被忽视，尤其是也在线性回归方程上，应注意灵活应用. 例5（2012山东理19） 现有甲、乙两个靶. 某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分. 该射手每次射击的结果相互独立. 假设该射手完成以上三次射击. （）求该射手恰好命中一次得的概率；（）求该射手的总得分x的分布列及数学期望ex.命题意图：本题主要考查独立重复实验、二项分布以及数学期望与分布列. 重在考查学生对于独立重复试验模型的理解与应用. 解析：（）；（）,x012345pex=0+1+2+3+4+5=.名师坐堂：对于独立重复试验应注意运用，同时注意x的取值，注意验证p的所有之和是否为1.【命题趋向】1每一年都有对概率的考查，题目背景均来源与现实生活，如文科2009年以轿车的分配与使用为背景，2010年以随机取球为背景，2011年以教师支教选派为背景，20121年以取卡片为背景，2013年以身高为背景，理科2009年以投篮为背景，2010年以知识竞赛答题为背景，2011年围棋赛为背景，2012年以射击比赛为背景，2013年以球队比赛为背景. 2015年以乒乓球赛为背景，这些背景材料均来源生活但有不陌生，今后生活中的诸如高考志愿选择、污染治理、物价涨幅、社会保障、课程选择、质量抽测、住房保障等都可作为背景用来考查概率.2. 从近几年考查的题目来看，理科每年都有对数学期望的考查，今后仍将保持高概率进行考查，但就形式的发展来看，直方图、频率分布表等一些平时疏忽的知识点也将登上高考的舞台. 近几年考查主要是随机事件的概率、对立事件的概率、相互独立事件的概率，主要在古典概型上着墨，几何概型考查较少，只在2009年进行考查，今后也会在小题中予以体现，应引起重视.3. 二项分布是高中概率中最重要的概率分布，是近年高考非常注重的一个考点二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又是在相同的条件之下重复发生要记住二项分布概率模型的这个特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况【直击高考】1. 将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )a. 6种 b. 9种c. 11种 d. 23种2. 三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有( )a. 6种 b. 8种 c. 0种 d. 12种3. 用0,1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，其中5的倍数有( )个. a. 206 b. 106 c. 216 d. 3264. 已知集合m=-1，0，1，n=2，3，4，5，映射，当xm时，为奇数，则这样的映射的个数是( )a. 20 b. 18 c. 32 d. 245. 通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )a.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”b. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”c. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”d. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”6. 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为( )a b c d 7. abcd为长方形，ab2，bc1，o为ab的中点，在长方形abcd内随机取一点，取到的点到o的距离大于1的概率为( )a. b. c. d. 8从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是_. 9. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.10. 某班有学生36人，血型分别为a型12人,b型10人,ab型8人,o型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.11. 在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，有什么方法最有说服力( )a.平均数与方差 b.回归直线方程 c.独立性实验 d.概率 12. 为2010年上海世博会挑选志愿者，大会组委会决定从上海某高级中学中选拔部分学生参加，该高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：高一高二高三女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.（）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？（）已知求高三年级女生比男生多的概率.数学热点八 计数原理 概率与统计1. 解析：解法一（采用“分步”方法）：完成这件事分三个步骤。第一步：任取一个数字，按规定填入方格，有3种不同填法；第二步：取与填入数字的格子编号相同的数字，按规定填入方格，仍有3种不同填法；第三步：将剩下的两个数字按规定填入两个格子，只有1种填法；于是，由分步计数原理得，共有n=331=9种不同填法。解法二：（采用“列举”方法）：从编号为1的方格内的填数入手进行分类。第一类：编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法： 2413 2143 2341第二类：编号1的方格内填数字3，也有3种不同填法： 3142 3412 3421第三类：编号为1的方格内填数字4，仍有3种不同填法： 4123 4312 4321于是由分类计数原理得共有n=3+3+3=9种不同填法，应选b解法三（间接法）：将上述4个数字填入4个方格，每格填一个数，共有n1=4321=24种不同填法，其中不合条件的是(1)4个数字与4个格子的编号均相同的填法有1种；(2)恰有两个数字与格子编号相同的填法有6种；(3)恰有1个数字与格子编号相同的填法有8种；因此，有数字与格子编号相同的填法共有n2=1+6+8=15种，于是可知，符合条件的填法为24-15=9种。2.解析：（枚举法）该题新颖，要在考试短时间内迅速获得答案，考虑互传次数不多，所得选择的答案数字也不大，只要按题意一一列举即可。3. 解析：五位数是5的倍数，只要个位数字是0或5即可，容易求得答案为c。关于数的整除个数的性质： 被2整除的：个位数为偶数； 被3整除的：各个位数上的数字之和被3整除； 被6整除的：3的倍数且为偶数； 被4整除的：末两位数能被4整除；被8整除的：末三位数能被8整除； 25的倍数：末两位数为25的倍数； 5的倍数：个位数是0，5；9的倍数：各个位数上的数字之和为9的倍数.4. 解析：由映射定义知，当xm时， 当xm时，这里的x可以是奇数也可以是偶数，但 必须为奇数，因此，对m中x的对应情况逐一分析，分步考察：第一步，考察x=-1的象，当x=-1时， ，此时 可取n中任一数值，即m中的元素-1与n中的元素有4种对应方法；第二步，考察x=0的象，当x=0时， 为奇数，故 只有2种取法（ =3或 =5），即m中的元素0与n中的元素有2种对应方法；第三步，考察x=1的象，当x=1时， 为奇数，故 可为奇数也可为偶数, 可取n中任一数值，即m中的元素1与n中的元素有4种对应方法，于是由分步计数原理可