高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 三角函数的周期性课件 苏教版必修4.ppt

1 3 1三角函数的周期性 第1章 1 3三角函数的图象和性质 学习目标1 了解周期函数 周期 最小正周期的定义 2 理解函数y sinx y cosx y tanx都是周期函数 都存在最小正周期 3 会求函数y asin x 及y acos x 的周期 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一周期函数 思考 单摆运动 时钟的圆周运动 四季变化等 都具有周期性变化的规律 对于正弦 余弦函数是否也具有周期性 请说明你的理由 答案由单位圆中的三角函数线可知 正弦 余弦函数值的变化呈现出周期现象 每当角增加 或减少 2 所得角的终边与原来角的终边相同 故两角的正弦 余弦函数值也分别相同 即有sin 2 x sinx cos 2 x cosx 故正弦函数和余弦函数也具有周期性 答案 梳理 1 周期函数的定义一般地 对于函数f x 如果存在一个t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 2 最小正周期对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个 那么这个最小的正数就叫做f x 的最小正周期 最小的正数 非零的常数 f x t f x 知识点二正弦函数 余弦函数 正切函数的周期 思考 6 是正弦函数y sinx x r 的一个周期吗 答案是的 由sin 6 x sinx恒成立 根据周期函数的定义 可知6 是正弦函数y sinx x r 的一个周期 答案 梳理 1 正弦函数 余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数 2k k z且k 0 都是它们的周期 它们的最小正周期都是2 2 正切函数的周期正切函数是周期函数 最小正周期是 3 函数y asin x 和y acos x 的周期一般地 函数y asin x 和y acos x 其中a 为常数 且a 0 0 的周期t 题型探究 例1求下列函数的周期 类型一求三角函数的周期 解答 3 y sinx 解由y sinx的周期为2 可猜想y sinx 的周期应为 验证 sin x sinx sinx 由周期函数的定义知y sinx 的周期是 解答 反思与感悟 求三角函数的周期 通常有三种方法 1 定义法 2 公式法 对y asin x 或y acos x a 是常数 且a 0 0 有t 3 观察法 图象法 答案 解析 4 2 类型二利用周期求函数值 解答 反思与感悟 1 利用函数的周期性 可以把x nt n z 的函数值转化为x的函数值 2 利用函数性质 将所求转化为可求的x的函数值 从而可解决求值问题 解答 解 f x 是周期函数 且最小正周期为 f x 是偶函数 类型三函数周期性的综合应用 例3设f x 是r上的奇函数 f x 2 f x 当0 x 1时 f x x 求f 7 的值 解 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 的周期为4 又f x 是奇函数 f 7 f 8 1 f 1 f 1 又当0 x 1时 f x x f 7 f 1 1 解答 引申探究将例3中的条件f x 2 f x 改为 f x 的图象关于x 1对称 其余条件不变 求f 7 的值 解函数f x 为奇函数 则f x f x 又函数f x 的图象关于x 1对称 则f 2 x f x f x f 4 x f 2 x 2 f 2 x f x f x 是以4为周期的周期函数 从而得f 7 f 2 4 1 f 1 f 1 1 解答 反思与感悟 1 解答此类题目的关键是利用化归思想 借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上 代入求解便可 2 如果一个函数是周期函数 倘若要研究该函数的有关性质 结合周期函数的定义可知 完全可以只研究该函数一个周期上的特征 再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质 跟踪训练3设函数f x x r 是以2为周期的函数 且x 0 2 时 f x x 1 2 1 求f 3 解 函数f x x r 是以2为周期的函数 且x 0 2 时 f x x 1 2 f 3 f 3 2 f 1 1 1 2 0 解答 2 当x 2 4 时 求f x 的解析式 解 f x 的周期为2 当x 2 4 时有f x f x 2 又 x 2 0 2 f x 2 x 2 1 2 x 3 2 f x x 3 2 即x 2 4 时 f x x 3 2 解答 当堂训练 1 2 3 4 1 下列说法中 正确的是 填序号 因为sin x sinx 所以 是函数y sinx的一个周期 因为tan 2 x tanx 所以2 是函数y tanx的最小正周期 解析根据周期函数的定义容易知道 均是错误的 同时 是正确的 对于 我们只能得出2 是函数y tanx的一个周期 但不是最小正周期 答案 解析 1 2 3 4 答案 解析 8 1 2 3 4 答案 解析 1 2 3 4 4 求下列函数的最小正周期 解答 1 2 3 4 解答 规律与方法 1 函数周期性的理解 1 对于 f x t f x 是定义域内的恒等式 即对定义域内任意一个x x t仍在定义域内且等式成立 2 周期函数的周期不是惟一的 如果t是函数f x 的周期 那么kt k z k 0 也一定是函数的周期 3 并不是所有周期函数都有最小正周期 如常数函数f x c没有最小正周期 2 求三角函数的周期 通常有三种方法 1 定义法 2 公式法 对y a