【创新设计】高考数学一轮复习 第9章 直线的方程配套文档 理 苏教版.DOC

第九章解析几何初步第1讲直线的方程84考点梳理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.倾斜角的范围为0，180)(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan ，倾斜角是90的直线斜率不存在过两点的直线的斜率公式经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.2直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含垂直于坐标轴的直线截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式axbyc0(a、b不能同时为0)所有直线都适用3.过p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线方程(1)若x1x2，且y1y2时，方程为.(2)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1.(3)若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1.4线段的中点坐标公式若点p1、p2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段p1p2的中点m的坐标为(x，y)，则此公式为线段p1p2的中点坐标公式【助学微博】一个复习指导高考中本节内容考查斜率、倾斜角等基本概念和直线方程的求解，求直线的方程要以待定系数法为主，也要熟练掌握直线的方程几种形式的互化两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论考点自测1直线xya0(a为常数)的倾斜角为_解析直线的斜率为ktan ，60.答案602已知直线l经过点p(2,5)，且斜率为.则直线l的方程为_解析由y5(x2)，得3x4y140.答案3x4y1403若点a(4,3)，b(5，a)，c(6,5)三点共线，则a的值为_解析kac1，kaba3.由于a、b、c三点共线，所以a31，即a4.答案44若abc三个顶点坐标为a(0,3)，b(3，1)，c(1,3)，则bc边上的中线所在的直线方程为_解析bc边的中点为d(2,1)，由两点式，得，即xy30.答案xy305直线l过点a(1,2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍且截距不为零，则其方程为_解析设直线l在y轴上截距为b，则它在x轴上截距为2b.方程可设为1，将点a的坐标代入，得1，解得b，所以方程为1.答案x2y50考向一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)(2012南京29中联考)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是_(2)若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_解析(1)由题意得tan sin 1,1，又0，)，0或.(2)由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l的倾斜角的取值范围为.答案(1)(2)方法总结 求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数ytan 的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法【训练1】 (2012启东中学4月考)设直线l经过点p(3,4)，圆c的方程为(x1)2(y1)24.(1)若直线l经过圆c的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆c交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围解(1)由已知得直线l经过的定点是p(3,4)，而c的圆心是c(1，1)，所以，当直线l经过圆c的圆心时，直线l的斜率为k.(2)由题意，设直线l的普通方程为y4k(x3)，即kxy43k0.又直线l与圆c：(x1)2(y1)24交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即.所以直线l的斜率的取值范围是.考向二直线方程的类型及其求法【例2】 (1)求过点a(2,1)，倾斜角是直线l1：3x4y50的倾斜角一半的直线l的方程；(2)(2013南京调研一)如图，射线oa、ob分别与x轴正半轴成45和30角，过点p(1,0)作直线ab分别交oa、ob于a、b两点，当ab的中点c恰好落在直线yx上时，求直线ab的方程解(1)设直线l和l1的倾斜角分别为、，则，又tan ，则，解得tan 3或tan (舍去)由点斜式得y13(x2)，即3xy50.(2)由题意可得koatan 451，kobtan(18030)，所以直线loayx，lobyx.设a(m，m)，b(n，n)，所以ab的中点c，由点c在yx上，且a、p、b三点共线得解得m，所以a(，)又p(1,0)，所以kabkap.所以laby(x1)，即直线ab的方程为(3)x2y30.方法总结 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况【训练2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点p(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点a(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的；(3)过点a(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于b点且ab5.解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(3,2)，1，a5，l的方程为xy50，综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点a(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)过点a(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得b点坐标为(1,4)，此时ab5，即x1为所求设过a(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得两直线交点为(k2，否则与已知直线平行)则b点坐标为.由已知2252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.考向三直线方程的应用【例3】为了绿化城市，拟在矩形区域abcd内建一个矩形草坪(如图)，另外efa内部有一文物保护区不能占用，经测量ab100 m，bc80 m，ae30 m，af20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？解建立如图所示的直角坐标系，则e(30,0)，f(0，20)，所以线段ef的方程为1(0x30)在线段ef上取点p(m，n)，作pqbc于点q，prcd于点r，设矩形pqcr的面积为s，则spqpr(100m)(80n)又1，所以n20.所以s(100m)(m5)2(0m30)所以当m5时，s有最大值，这时51.故当草坪矩形的两边在bc、cd上，一个顶点在线段ef上，且这个顶点分ef成51时，草坪面积最大方法总结 求直线方程最常用的方法是待定系数法若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式，也可以设截距式注意在利用基本不等式求最值时，斜率k的符号【训练3】 已知直线l：kxy2k0(kr)(1)证明：直线l恒过第一象限；(2)若直线l交x，y轴正半轴于a，b两点，求abo的面积的最小值及此时直线l的方程(1)证明直线方程可整理为y2k(x1)直线l过第一象限内定点(1,2)，故直线l恒过第一象限(2)解在kxy2k0中，令x0，得y2k；令y0，得x1.由题意，得k0，所以sabo(2k)(44)4，当且仅当k(kb0)的左、右顶点分别为a，b，点p在椭圆上且异于a，b两点，o为坐标原点(1)若直线ap与bp的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|ap|oa|，证明直线op的斜率k满足|k|.审题与转化 第一步：(1)设p(x0，y0)，由p点在椭圆上可列一个等式，由直线ap与bp的斜率之积为再列一个等式，两式联立可得a、b的关系式，从而求得e；(2)设p(x0，kx0)，利用p在椭圆上和已知条件|ap|oa|可得k、a、b的等式，用放缩法得k的不等式求得范围规范解答 第二步：(1)设点p的坐标为(x0，y0)由题意，有1，由a(a,0)，b(a,0)，得kap，kbp.由kapkbp，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，椭圆的离心率e(2)证明依题意，直线op的方程为ykx，设点p的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|ap|oa|，a(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00，而x00，x0，代入，整理得(1k2)24k224.ab0，(1k2)24k24，即k214，k23，|k|.反思与回顾 第三步：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力圆锥曲线题目综合性强、难度大，应考策略是理解曲线与方程的本质，加强运算能力的培养高考经典题组训练1(2012浙江卷改编)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件解析若两直线平行，则a(a1)2，即a2a20，a1或2，故a1是两直线平行的充分不必要条件答案充分不必要2(2012天津卷)已知函数y的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_解析y由图知0k1时，倾斜角逐渐增大，到过点(1,2)时，倾斜角最大，k4，即当1k4时两函数图象恰有两个交点答案(0,1)(1,4)3(2011安徽卷)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号)存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点；直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；存在恰经过一个整点的直线解析令yx，满足，故正确；若k，b，yx过整点(1,0)，故错误；设ykx是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1kx1，y2kx2，两式相减得y1y2k(x1x2)，则点(x1x2，y1y2)也在直线ykx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上、下平移ykx，可得对于直线ykxb也成立，正确；当x，y为整数时，yx还是整数，故直线yx不经过任何整点，即当k，b为有理数时，并不能保证直线l：ykxb过无穷多个整点，故错误；直线yx恰过一个整点，正确答案4(2009北京卷改编)点p在直线l：yx1上，若存在过p的直线交抛物线yx2于a、b两点，且|pa|ab|，则称点p为“a点”那么下列结论中正确的是_(填序号)直线l上的所有点都是“a点”；直线l上仅有有限个点是“a点”；直线l上的所有点都不是“a点”；直线l上有无穷多个点(但不是所有的点)是“a点”解析分别作出直线l：yx1及抛物线yx2.如图，取直线l上任一点p都存在过点p的直线(直线可绕p点任意旋转)交抛物线yx2于a，b两点，则|ab|的取值范围是(0，)，那么一定存在一个值，使得|pa|ab|.故填.答案分层训练a级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1若经过两点a(4,2y1)，b(2，3)的直线的倾斜角为，则y_.解析由y2，得y2tan 1.y3.答案32过点a(0,2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为_解析设所求直线的倾斜角为，则sin ，tan ，所求直线方程为yx2，即为3x4y80或3x4y80.答案3x4y80或3x4y803(2012佛山一检)已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则a_.解析由题意得a2，解得a2或a1.答案2或14若过点m(2，m)，n(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为_解析kmn1，m1.答案15(2011苏州模拟)直线3x4yk0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k_.解析令x0，得y；令y0，得x.则有2，所以k24.答案246设直线l的方程为xycos 30(r)，则直线l的倾斜角的范围是_解析当cos 0时，方程变为x30，其倾斜角为；当cos 0时，由直线方程可得斜率k.cos 1,1且cos 0，k(，11，)tan (，11，)，又0，)，.综上知，倾斜角的范围是.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7(2012西安模拟)设直线l的方程为(a1)xy2a0(ar)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等a2，方程即为3xy0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a2，即a11，a0，方程即为xy20.综上，l的方程为3xy0或xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，或a1.综上可知a的取值范围是(，18已知直线l过点p(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于a、b两点，如右图所示，求abo的面积的最小值及此时直线l的方程解设a(a,0)，b(0，b)，(a0，b0)，则直线l的方程为1，l过点p(3,2)，1.12 ，即ab24.saboab12.当且仅当，即a6，b4，abo的面积最小，最小值为12.此时直线l的方程为：1.即2x3y120.分层训练b级创新能力提升1不论m取何值，直线(m1)xy2m10，恒过定点_解析把直线方程(m1)xy2m10，整理得：(x2)m(xy1)0则得答案(2,3)2(2011金陵中学模拟)若直线(2t3)x2yt0不经过第二象限，则t的取值范围是_解析直线方程可化为：yx，由题意，得解得0t.答案0t3(2012无锡模拟)经过点p(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，则截距之和最小时直线的方程为_解析设方程为1(a0，b0)，将(1,4)代入得1，ab(ab)59，当且仅当b2a，即a3，b6时，截距之和最小，所以直线方程为1，即2xy60.答案2xy604(2011南通调研)在平面直角坐标系xoy中，设点p(x1，y1)，q(x2，y2)，定义：d(p，q)|x1x2|y1y2|.已知点b(1,0)，点m为直线x2y20上的动点，则使d(b，m)取最小值时点m的坐标是_解析设m(x0，y0)，则x02y020，d(b，m)|x01|y0|x01|所以当x01时，d(b，m)取最小值，此时y0，所以m.答案5已知abc中，a(1，4)，b(6,6)，c(2,0)求：(1)abc中平行于bc边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)bc边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程解(1)平行于bc边的中位线就是ab、ac中点的连线因为线段ab、ac中点坐标为，所以这条直线的方程为，整理得，6x8y130，化为截距式方程为1.(2)因为bc边上的中点为(2,3)，所以bc边上的中线所在直线的方程为，即7xy110，化为截距式方程为1.6(2011上海卷)已知平面上的线段l及点p，任取l上一点q，线段pq长度的最小值称为点p到线段l的距离，记作d(p，l)(1)求点p(1,1)到线段l：xy30(3x5)的距离d(p，l)；(2)设l是长为2的线段，求点的集合dp|d(p，l)1所表示的图形面积；(3)写出到两条线段l1，l2距离相等的点的集合p|d(p，l1)d(p，l2)，其中l1ab，l2cd，a，b，c，d是下列三组点中的一组对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分a(1,3)，b(1,0)，c(1,3)，d(1,0)a(1,3)，b(1,0)，c(1,3)，d(1，2)a(0,1)，b(0,0)，c(0,0)，d(2,0)解(1)设q(x，x3)是线段l：xy30(3x5)上一点，则pq (3x5)，当x3时，d(p，l)pqmin.(2)设线段l的端点分别为a，b，以直线ab为x轴，ab的中点为原点建立直角坐标系，则a(1,0)，b(1,0)，点集d由如下曲线围成l1：y1(|x|1)，l2：y1(|x|1)，c1：(x1)2y21(x1)，c2：(x1)2y21(x1)，其面积为s4.(3)a(1,3)，b(1,0)，c(1,3)，d(1,0)，如图，(x，y)|x0a(1,3)，b(1,0)，c(1,3)，d(1，2)如图所示(x，y)|x0，y0(x，y)|y24x，2y1a(0,1)，b(0,0)，c(0,0)，d(2,0)如图所示(x，y)|x0，y0(x，y)|yx,0x1(x，y)|x22y1,12.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第2讲两条直线的位置关系考点梳理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1l2k1k21.如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直2两直线相交交点：直线l1：a1xb1yc10和l2：a2xb2yc20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3三种距离公式(1)平面上的两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)间的距离公式p1p2.特别地，原点o(0,0)与任一点p(x，y)的距离op.(2)点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d.(3)两条平行线axbyc10与axbyc20间的距离为d.【助学微博】一个复习指导本节内容若单独命题，则主要考查两条直线的位置关系(特别是平行与垂直)的判定、两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离：主观题主要在知识的交汇点处命题，全面考查基本概念和基本能力考点自测1原点到直线x2y50的距离d_.解析d.答案2过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是_解析所求直线与直线x2y20平行，所求直线斜率k，又直线过点(1,0)，故直线方程为x2y10.答案x2y103(2012无锡期末考试)已知集合p(x，y)|xy0，q(x，y)|xy2，则pq_.解析由解得所以pq(1，1)答案(1，1)4(2012南京学情调研)已知直线l经过点p(2,1)，且与直线2x3y10垂直，则l的方程是_解析由题意，直线l的斜率为，所以方程为y1(x2)，即3x2y40.答案3x2y405已知直线l：xy10，l1：2xy20.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是_解析l1与l2关于l对称，则l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上又易知(0，2)为l1上一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则得即(1,0)、(1，1)为l2上两点，可得l2方程为x2y10.答案x2y10考向一两条直线平行与垂直【例1】 已知直线l1：xa2y10和直线l2：(a21)xby30(a，br)(1)若l1l2，求b的取值范围；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解(1)因为l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a22，因为a20，所以b0.又因为a213，所以b6.故b的取值范围是(，6)(6,0(2)因为l1l2，所以(a21)a2b0，显然a0，所以aba，|ab|2，当且仅当a1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.方法总结 (1)若直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则：直线l1l2的充要条件是k1k21.设l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20.则：l1l2a1a2b1b20.(2)注意转化与化归思想的应用【训练1】 已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1l2；(3)l1l2；(4)l1，l2重合解(1)由已知13m(m2)，即m22m30，解得m1且m3.故当m1且m3时，l1与l2相交(2)当1(m2)m30，即m时，l1l2.(3)当13m(m2)且12m6(m2)或m2m36，即m1时，l1l2.(4)当13m(m2)且12m6(m2)，即m3时，l1与l2重合考向二两直线的交点【例2】 (2011江苏卷)如图，在平面直角坐标系xoy中，m，n分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p，a两点，其中点p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c.连接ac，并延长交椭圆于点b.设直线pa的斜率为k.(1)当直线pa平分线段mn时，求k的值；(2)当k2时，求点p到直线ab的距离d；(3)对任意的k0，求证：papb.(1)解由椭圆方程可知a2，b，故m(2,0)，n(0，)，所以线段mn中点的坐标为.由于直线pa平分线段mn，故直线pa过线段mn的中点，又直线pa过坐标原点，所以k.(2)解直线pa的方程为y2x，代入椭圆方程得1，解得x，因此p，a.于是c，直线ac的斜率为1，故直线ab的方程为xy0.因此，d.(3)证明设p(x1，y1)，b(x2，y2)，则x10，x20，x1x2，a(x1，y1)，c(x1,0)设直线pb，ab的斜率分别为k1，k2.因为c在直线ab上，所以k2.从而k1k12k1k212110.因此k1k1，所以papb.方法总结 运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线axbyc0平行的直线系方程是：axbym0(mr且mc)；(2)与直线axbyc0垂直的直线系方程是bxaym0(mr)；(3)过直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)，但不包括l2.【训练2】 直线l被两条直线l1：4xy30和l2：3x5y50截得的线段的中点为p(1,2)，求直线l的方程解法一设直线l与l1的交点为a(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为b(2x0,4y0)，并且满足即解得因此直线l的方程为，即3xy10.法二设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由得x.由得x.则2，解得k3.因此所求直线方程为y23(x1)，即3xy10.法三两直线l1和l2的方程为(4xy3)(3x5y5)0将上述方程中(x，y)换成(2x,4y)整理可得l1与l2关于(1,2)对称图形的方程：(4xy1)(3x5y31)0.整理得3xy10.考向三距离公式的应用【例3】 (2013栟茶高级中学调研)已知过点a(1,1)且斜率为m(m0)的直线l与x，y轴分别交于p，q两点，分别过p，q作直线2xy0的垂线，垂足分别为r，s，求四边形prsq的面积的最小值解设直线l方程为y1m(x1)，则p，q(0,1m)，pr和qs的方程分别为x2y0和x2y2(m1)0.prqs，|rs|.|pr|，|qs|，且四边形prsq为直角梯形，s四边形prsq22，四边形prsq的面积的最小值为.方法总结 用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离【训练3】 已知直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程解l1l2，或(1)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程写成4x8y20.，解得n22或n18.所以，所求直线的方程为2x4y110，或2x4y90.(2)当m4时，直线l1的方程为4x8yn0，把l2的方程改写为4x8y20，解得n18或n22.所以，所求直线的方程为2x4y90，或2x4y110.考向四对称问题【例4】 在平面直角坐标系中，已知矩形abcd，ab2，bc1，ab、ad边分别在x轴、y轴的正半轴上，a点与坐标原点重合将矩形折叠，使a点落在线段dc上若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程解(1)当k0时，此时a点与d点重合，折痕所在的直线方程为y.(2)当k0时，将矩形折叠后a点落在线段cd上的点为g(a,1)，所以a与g关于折痕所在的直线对称，有kagk1，k1ak.故g点坐标为g(k,1)，从而折痕所在的直线与ag的交点坐标(线段ag的中点)为m.折痕所在的直线方程为yk，即ykx.k0时，y；k0时，ykx.方法总结 (1)点关于点的对称点p(x0，y0)关于点a(a，b)的对称点为p (2ax0，2by0)(2)点关于直线的对称设点p(x0，y0)关于直线ykxb的对称点p(x，y)，则有可求出p(x，y)【训练4】 已知abc的顶点a的坐标为(1,2)，xy10是一条角平分线所在的直线方程，5x7y160是一条中线所在的直线方程，求bc边所在的直线方程解顶点a不在直线xy10和5x7y160上不妨设xy10是角b平分线所在直线方程，5x7y160是bc边上中线所在的直线方程设a(1,2)关于直线xy10的对称点为a1(x1，y1)，则由题意，得a1在bc上，且即解得x13，y10，所以a1(3,0)设b，则有x2y210，且ab的中点d在直线5x7y160上，所以有57160，即5x27y2130，联立解得x23，y24，所以b(3,4)所以边bc所在的直线方程为y(x3)，即2x3y60.热点突破22两直线位置关系问题的求解策略从近三年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制【示例】 (2011安徽卷)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上审题与转化 第一步：(1)用反证法；(2)证明交点在椭圆上，可求出交点再验证或用交轨法规范解答 第二步：(1)假设l1与l2不相交，则l1l2，从而k1k2，代入k1k220，得k20，此方程无实数解，从而k1k2，即l1与l2相交(2)法一由方程组解得交点p(x，y)坐标为从而2x2y22221，所以点p在椭圆上，法二由l1与l2交点p的坐标(x，y)满足得x0，从而代入k1k220，得20，即2x2y21.所以点p在椭圆上反思与回顾 第三步：求两动直线交点的轨迹方程叫做交轨法高考经典题组训练1(2009安徽卷)直线l过点(1,2)且与斜率为的直线垂直，则l的方程是_解析可得l的斜率为，l：y2(x1)，即3x2y10.答案3x2y102(2010上海卷改编)已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是_解析由l1l2，得(k3)(2)2(k3)(4k)0，即k28k150，解得k3或k5.答案3或53(2008全国卷)若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是15；30；45；60；75.其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号)解析记直线m的倾斜角是.由题意知直线l1、l2间的距离等于.又直线m被直线l1、l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于，直线m与直线l1的夹角是30，又直线l1的倾斜角是45，因此15或75，故正确答案的序号是.答案4(2008全国卷改编)若直线1，通过点m(cos ，sin )，则下列结论：a2b21；a2b21；1；1，其中所有正确的序号是_解析由题意，得直线1与圆x2y21有公共点，所以1，即1.答案5.(2008江苏卷)如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形abc的顶点分别为a(0，a)，b(b,0)，c(c,0)；点p(0，p)为线段ao上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p为非零常数设直线bp、cp分别与边ac、ab交于点e、f.某同学已正确求得直线oe的方程：xy0，请你完成直线of的方程：(_)xy0.解析画草图，由对称性可猜想填.由截距式可得直线ab：1，直线cp：1，两式相减得xy0，显然直线ab与cp的交点f满足此方程，又原点o也满足此方程，故为所求直线of的方程答案分层训练a级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1(2012扬州调研)“直线：x(a1)y10与直线：ax2y20垂直”的充要条件是_解析由a2(a1)0，得a.答案a2(2012泰州模拟)若三条直线xy10,2xy80和ax3y50共有三个不同的交点，则实数a满足的条件是_解析当三条直线交于一点时，a；当xy10与ax3y50平行时，a3；当2xy80与ax3y50平行时，a6.故a满足的条件是a且a6且a3.答案a且a6且a33过点a(1,2)且与原点距离最大的直线方程为_解析所求直线过点a且与oa垂直时满足条件，此时koa2，故求直线的斜率为，所以直线方程为y2(x1)，即x2y50.答案x2y504已知点a(1，2)，b(m,2)，且线段ab的垂直平分线的方程是x2y20，则实数m的值是_解析由已知条件可知线段ab的中点在直线x2y20上，把中点坐标代入直线方程，解得m3.答案35(2011南通、扬州、泰州二模)若直线ax2y20与直线x(a3)y10平行，则实数a的值为_解析由两直线平行的条件得a(a3)2，解得a1或2，经检验，a2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1.答案16已知1(a0，b0)，点(0，b)到直线x2ya0的距离的最小值为_解析点(0，b)到直线x2ya0的距离为d(a2b)(32)，当a22b2且abab，即a1，b时取等号答案二、解答题(每小题15分，共30分)7已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且直线l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)l1l2，a(a1)b0.又直线l1过点(3，1)，3ab40.故a2，b2.(2)直线l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.故a2，b2或a，b2.8过点p(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点p平分，求直线l的方程解设l1与l的交点为a(a,82a)，则由题意知，点a关于点p的对称点b(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，a4，即点a(4,0)在直线l上，又l过点p(0,1)所以直线l的方程为x4y40.分层训练b级创新能力提升1(2012苏州二模)若三条直线l1：4xy4，l2：mxy0，l3：2x3my4不能围成三角形，则实数m的取值最多有_个解析三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点若l1l2，则m4；若l1l3，则m；若l2l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m1或，故实数m的取值最多有4个答案42(2012绍兴模拟)已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_解析由题意知直线l1，l2恒过定点p(2,4)，直线l1的纵截距为4k，直线l2的横截距为2k22，所以四边形的面积s2(4k)4(2k22)4k2k8，故面积最小时，k.答案3在abc中，已知角a，b，c所对的边依次为a，b，c，且2lg(sin b)lg(sin a)lg(sin c)，则两条直线l1：xsin2aysin aa与l2：xsin2bysin cc的位置关系是_解析已知2lg(sin b)lg(sin a)lg(sin c)，可得sin2bsin asin c，故，又，所以两直线重合答案重合4. (2012南通二模)如图，函数f(x)x的定义域为(0，)设点p是函数图象上任一点，过点p分别作直线yx和y轴的垂线，垂足分别为m，n.(1)证明：pmpn为定值；(2)o为坐标原点，求四边形ompn面积的最小值(1)证明设p(x00)则pnx0，pm，因此pmpn1.(2)解直线pm的方程为yx0(xx0)，即yx2x0.解方程组得xyx0，s四边形ompnsnposopmpnonpmomx01，当且仅当x0，即x01时等号成立，因此四边形ompn的最小值为1.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.第3讲圆的方程考点梳理1圆的标准方程(1)方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为x2y2r2.2圆的一般方程方程x2y2dxeyf0可变形为22，故有：(1)当d2e24f0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；(2)当d2e24f0时，方程表示一个点；(3)当d2e24f0时，方程不表示任何图形3p(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系(1)若(x0a)2(y0b)2r2，则点p在圆外；(2)若(x0a)2(y0b)2r2，则点p在圆上；(3)若(x0a)2(y0b)2r2，则点p在圆内4确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r