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文档简介

第3讲 圆的方程分层训练a级基础达标演练(时间:30分钟满分:60分)一、填空题(每小题5分,共30分)1已知点a(1,1),b(1,1),则以线段ab为直径的圆的方程是_解析ab的中点坐标为(0,0),ab2,圆的方程为x2y22.答案x2y222(2012广州检测二)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为_解析设圆心坐标为(0,b),则由题意知1,解得b2,故圆的方程为x2(y2)21.答案x2(y2)213圆(x2)2y25关于直线yx对称的圆的方程为_解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0,2),所以所求圆的方程为x2(y2)25.答案x2(y2)254点p(4,2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是_解析设圆上任一点为q(x0,y0),pq的中点为m(x,y),则解得,因为点q在圆x2y24上,所以xy4,即(2x4)2(2y2)24,即(x2)2(y1)21.答案(x2)2(y1)215已知点m是直线3x4y20上的动点,点n为圆(x1)2(y1)21上的动点,则mn的最小值是_解析圆心(1,1)到点m的距离的最小值为点(1,1)到直线的距离d,故点n到点m的距离的最小值为d1.答案6经过三点a(1,12),b(7,10),c(9,2)的圆的标准方程为_解析法一设圆的一般方程为x2y2dxeyf0,则解得d2,e4,f95,所求圆的方程为x2y22x4y950,即圆的标准方程为:(x1)2(y2)2100.法二由a(1,12),b(7,10),得a、b的中点坐标为(4,11),kab,则ab的中垂线方程为:3xy10.同理得ac的中垂线方程为xy30联立,得即圆心坐标为(1,2),半径r10.所求圆的标准方程为:(x1)2(y2)2100.答案(x1)2(y2)2100二、解答题(每小题15分,共30分)7求与x轴相切,圆心在直线3xy0上,且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程解法一设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2,则圆心(a,b)到直线xy0的距离为,r22()2,即2r2(ab)214,由于所求的圆与x轴相切,r2b2.又因为所求圆心在直线3xy0上,3ab0.联立,解得a1,b3,r29或a1,b3,r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.法二设所求的圆的方程是x2y2dxeyf0,圆心为,半径为.令y0,得x2dxf0,由圆与x轴相切,得0,即d24f.又圆心到直线xy0的距离为.由已知,得2()2r2,即(de)2562(d2e24f)又圆心在直线3xy0上,3de0.联立,解得d2,e6,f1或d2,e6,f1.故所求圆的方程是x2y22x6y10或x2y22x6y10.8(2010连云港模拟)已知实数x,y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值;(2)求yx的最大值和最小值解(1)原方程可化为(x2)2y23,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆,的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设k,即ykx.当直线ykx与圆相切时,斜率k取得最大值或最小值,此时,解得k.所以的最大值为,最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距,当直线yxb与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时,解得b2.所以yx的最大值为2,最小值为2.分层训练b级创新能力提升1若圆心在x轴上、半径为的圆c位于y轴左侧,且与直线x2y0相切,则圆c的方程是_解析设圆心为(a,0)(a0)因为直线x2y0与圆相切,所以,即,解得a5.所以圆c的方程为(x5)2y25.答案(x5)2y252若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1,则半径r的取值范围是_解析因为圆心(3,5)到直线4x3y20的距离为5,所以当半径r4时,圆上有1个点到直线4x3y20的距离等于1,当半径r6时,圆上有3个点到直线4x3y20的距离等于1,所以圆上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1时,4r6.答案(4,6)3已知圆c的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称直线4x3y20与圆c相交于a、b两点,且ab6,则圆c的方程为_解析抛物线y24x,焦点为f(1,0)圆心c(0,1),c到直线4x3y20的距离d1,且圆的半径r满足r2123210.圆的方程为x2(y1)210.答案x2(y1)2104(2012盐城调研)已知点p(a,b)关于直线l的对称点为p(b1,a1),则圆c:x2y26x2y0关于直线l对称的圆c的方程为_解析l是线段pp的垂直平分线,其方程为yx,即xy10,设圆c:(x3)2(y1)210关于直线l对称的圆c的方程为(xa)2(yb)210,则点(3,1)与(a,b)关于直线l对称,于是由解得所以圆c:(x2)2(y2)210.答案(x2)2(y2)2105(2011江门调研)已知直线l:x4与x轴相交于点m,p是平面上的动点,满足pmpo(o是坐标原点)(1)求动点p的轨迹c的方程;(2)过直线l上一点d(dm)作曲线c的切线,切点为e,与x轴相交点为f,若,求切线de的方程解(1)依题意,知m(4,0),设p(x,y)(x0且x4),由pmpo,得kpmkpo1,即1,整理得,动点p的轨迹c的方程为(x2)2y24(x0且x4)(2)de、dm都是圆(x2)2y24的切线,dedm.,df2de2dm,dfm.设c(2,0),在cef中,cef,cfe,ce2,cf4,根据题意取f(2,0)切线de的倾斜角或,切线de的斜率k或,切线de的方程为y(x2)6(2012苏锡常镇一模)已知圆c通过不同的三点p(m,0),q(2,0),r(0,1),且cp的斜率为1.(1)试求圆c的方程;(2)过原点o作两条互相垂直的直线l1,l2,且l1交圆c于e,f两点,l2交圆c于g,h两点,求四边形egfh面积的最大值解(1)设圆的方程为x2y2dxeyf0,则c点的坐标为,且pc的斜率为1,所以1.因为圆c通过不同的三点p(m,0

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