3[1].1 微分中值定理及其应用.doc

数学分析教案3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：2学时 一、 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有 .则，使得. 2.Lagrange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则，使得. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. 推论2 函数和在区间I上可导且推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有(证) 但是, 不存在时, 却未必有 不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 在闭区间 上可导, 且 ( 证 )Th ( Darboux ) 设函数 在区间 上可导且 . 若 为介于与 之间的任一实数, 则 设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )3.Cauchy中值定理: Th 3 设函数 和 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 和 在内不同时为零, 又 则在 内至少存在一点 使 . 证 分析引出辅助函数 . 验证 在 上满足Rolle定理的条件, 必有 , 因为否则就有 .这与条件“ 和 在 内不同时为零”矛盾. Cauchy中值定理的几何意义. （二）中值定理的简单应用: 1. Rolle中值定理的应用例1 设函数在区间上连续,在内可导,且有 .试证明: . 提示：设例2 设函数在区间上连续,在内可导,且.试证明:，使得. 例3 设函数在区间上连续,在内可导,对,试证,使得提示：设例4 已知函数具有二阶导数,且 试证在区间内至少存在一点例5 证明方程 在 内有实根. 例6 证明方程 在 内有实根. 练习 设函数在区间上连续,在内可导,且, 试证明(1);(2) 对任意实数,必存在. 提示：(2), 广义Rolle中值定理：设函数在可微，存在且等于，则存在，使得. 例7 设函数在上连续可微,证明存在一点,使得. 练习 设函数在上可微, 试证,使得.2.Lagrange中值定理的应用例8 设是可微函数, 导函数严格单调增加,若,试证对一切,有.(不得直接利用凸函数的性质)3.Cauchy中值定理的应用例1 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 则 .练习 设函数 在区间 上连续, 在 内可导, 则 使得(三).Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设在区间 上恒有 ( 或 , 则对 上的任意个点 , 有Jensen不等式: ( 或 ,且等号当且仅当 时成立.证 令 , 把 表为点 处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意 即得所证.对具体的函数套用Jensen不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例2 证明: 对 有不等式 .例3 证明均值不等式: 对 , 有均值不等式 .证 先证不等式 . 取 .在 内严格上凸, 由Jensen不等式, 有 .由 .对 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.例4 证明: 对 , 有不等式 . ( 平方根平均值 )例5 设 ，证明 .解 取 , 应用Jensen不等式.Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅 荆昌汉 文: “凸(凹)函数定理在不等式证明中的应用”,数学通讯1980.4. P39. 例6 在 中, 求证 .解 考虑函数 在区间 内凹, 由Jensen不等式, 有. 例7 已知