【创新设计】高考数学一轮总复习 8.7 证明平行与垂直 证明平行与垂直题组训练 理 苏教版(1).doc

第7讲 立体几何中的向量方法(二) 求空间角基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1平面的一个法向量为n(1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为_解析y轴的方向向量为m(0,1,0)，设y轴与平面所成的角为，则sin |cosm，n|，cosm，n，sin ，.答案2. 如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是棱cd，cc1的中点，则异面直线a1m与dn所成的角的大小是_ 解析以d为原点，分别以da，dc，dd1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设ab1，则d(0,0,0)，n，m，a1(1,0,1)，1，10110，a1m与dn所成的角的大小是90.答案903在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为_解析以a为原点建系，设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，(0,1，1)，. 设平面a1ed的法向量为n1(1，y，z)，则n1(1,2,2)，平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2，故锐二面角的余弦值为.答案4正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且，n为b1b的中点，则|为_解析以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(a,0,0)，c1(0，a，a)，n.设m(x，y，z)，点m在ac1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得m，| a.答案a5在正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于_解析以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2) 设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一个法向量为n(2，2,1)设cd与平面bdc1所成的角为，则sin |cosn，|.答案6. 过正方形abcd的顶点a，引pa平面abcd.若paba，则平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是_ 解析法一建立如图1所示的空间直角坐标系，不难求出平面apb与平面pcd的法向量分别为n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面abp与平面cdp所成二面角的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.法二将其补成正方体如图2，不难发现平面abp和平面cdp所成的二面角就是平面abqp和平面cdpq所成的二面角，其大小为45.答案457在正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，则ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为_解析建立如图所示的空间直角坐标系，设ab2，则c1(，1,0)，a(0,0，2)，(，1，2)，平面bb1c1c的一个法向量为n(1,0,0)所以ac1与平面bb1c1c所成角的正弦值为.答案8已知o点为空间直角坐标系的原点，向量(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，且点q在直线op上运动，当取得最小值时，的坐标是_解析点q在直线op上，设点q(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)，(1)(2)(2)(1)(32)(22)62161062.当时，取得最小值.此时.答案二、解答题9(2013江苏卷)如图，在直三棱柱a1b1c1abc中，abac，abac2，a1a4，点d是bc的中点 (1)求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；(2)求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值解(1)以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(0,2,0)，d(1,1,0)，a1(0,0,4)，c1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为.(2)设平面adc1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0.取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面adc1的一个法向量取平面aa1b的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面adc1与平面aba1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值为.10. (2014广州质检)如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，点e在线段pc上，pc平面bde. (1)证明：bd平面pac；(2)若pa1，ad2，求二面角bpca的正切值(1)证明pa平面abcd，bd平面abcd，pabd.同理由pc平面bde，可证得pcbd.又papcp，bd平面pac.(2)解如图，分别以射线ab，ad，ap为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系 由(1)知bd平面pac，又ac平面pac，bdac.故矩形abcd为正方形，abbccdad2.a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)(2,0，1)，(0,2,0)，(2,2,0)设平面pbc的一个法向量为n(x，y，z)，则即取x1得n(1,0,2)bd平面pac，(2,2,0)为平面pac的一个法向量cosn，.设二面角bpca的平面角为，由图知0，cos ，sin .tan 3，即二面角bpca的正切值为3.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1. 如图，正方形acde与等腰直角三角形acb所在的平面互相垂直，且acbc2，acb90，f，g分别是线段ae，bc的中点则ad与gf所成的角的余弦值为_ 解析如图，以c为原点建立空间直角坐标系cxyz，a(0,2,0)，b(2,0,0)，d(0,0,2)，g(1,0,0)，f(0,2,1)，(0，2,2)，(1,2，1)， |2，|，2，cos，.直线ad与gf所成角的余弦值为.答案2在四面体pabc中，pa，pb，pc两两垂直，设papbpca，则点p到平面abc的距离为_解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系pxyz，则p(0,0,0)，a(a，0,0)，b(0，a,0)，c(0,0，a)过点p作ph平面abc，交平面abc于点h，则ph的长即为点p到平面abc的距离papbpc，h为abc的外心又abc为正三角形，h为abc的重心，可得h点的坐标为.pha.答案a3在正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面上的射影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac所成的角是_解析如图，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.设odsooaoboca.则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p.则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面pac的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取n(0,1,1)，则cos，n，n60，直线bc与平面pac所成的角为906030.答案30二、解答题4(2013北京卷改编)如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5. (1)求证：aa1平面abc；(2)求二面角a1bc1b1的余弦值；(3)在线段bc1上是否存在点d，使得ada1b？若存在，试求出的值(1)证明在正方形aa1c1c中，a1aac.又平面abc平面aa1c1c，且平面abc平面aa1c1cac，aa1平面abc.(2)解由(1)知aa1ac，aa1ab，由题意知，在abc中，ac4，ab3，bc5，bc2ac2ab2，abac.以a为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系axyz.a1(0,0,4)，b(0,3,0)，c1(4,0,4)，b1(0,3,4)，于是(4,0,0)，(0,3，4)，(4，3,0)，(0,0,4)设平面a1bc1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面b1bc1的法向量n2(x2，y2，z2)取向量n1(0,4,3)，由取向量n2(3,