【创新设计】高考数学一轮复习 第五章 第1讲 平面向量的概念及线性运算知识点 新人教A版 .doc

第1讲 平面向量的概念及线性运算最新考纲1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义知 识 梳 理1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同()(2)若ab，bc，则ac.()(3)向量与向量是共线向量，则a，b，c，d四点在一条直线上()(4)若ab，则r使ba.()2(2015东北三省四市联考)在四边形abcd中，若，则四边形abcd一定是()a矩形 b菱形c正方形 d平行四边形解析依题意得，因此bcad，且bcad，四边形abcd是平行四边形，故选d.答案d3(2014新课标全国卷)设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则()a. b. c. d. 解析设a，b，则ba，ab，从而(ab)，故选a.答案a4设a与b是两个不共线向量，且向量ab与2ab共线，则_解析由题意知，abk(2ab)，则有所以k，.答案5(人教a必修4p92a12改编)已知abcd的对角线ac和bd相交于o，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析如图，ba，ab.答案baab考点一平面向量的有关概念【例1】 给出下列命题：若|a|b|，则ab；若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()a b c d解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又a，b，c，d是不共线的四点，四边形abcd为平行四边形；反之，若四边形abcd为平行四边形，则|，且，方向相同，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当b0时，a，c可能不平行综上所述，正确命题的序号是.答案a规律方法(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量【训练1】 给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0 (为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()a1 b2 c3 d4解析错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当a0时，不论为何值，a0.错误当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量答案c考点二平面向量的线性运算【例2】 (1)在abc中，ab边的高为cd，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()a.ab b.abc.ab d.ab(2)如图，在平行四边形abcd中，对角线ac与bd交于点o，则_解析(1)ab0，acb90，ab，cd，bd，ad，adbd41.()ab.(2)因为abcd为平行四边形，所以2，已知，故2.答案(1)d(2)2规律方法(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果【训练2】 (1)如图所示，已知ab是圆o的直径，点c，d是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()aab b.abcab d.ab(2)如图，d，e，f分别是abc的边ab，bc，ca的中点，则()a.0b.0c.0d.0解析(1)连接cd，由点c，d是半圆弧的三等分点，得cdab且a，所以ba.(2)由题意知：，而0，0.答案(1)d(2)a考点三共线向量定理的应用【例3】 设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线(1)证明ab，2a8b，3(ab)2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点b，a，b，d三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.规律方法(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线【训练3】 (1)已知向量i与j不共线，且imj，nij.若a，b，d三点共线，则实数m，n应该满足的条件是()amn1 bmn1cmn1 dmn1(2)(2014南京模拟)如图，经过oab的重心g的直线与oa，ob分别交于点p，q，设m，n，m，nr，则的值为_解析(1)由a，b，d共线可设，于是有imj(nij)nij.又i，j不共线，因此即有mn1.(2)设a，b，由题意知()(ab)，nbma，ab，由p，g，q三点共线得，存在实数，使得，即nbmaab，从而消去得3.答案(1)c(2)3微型专题方程思想在平面向量的线性运算中的应用数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧【例4】 如图所示，在abo中，ad与bc相交于点m，设a，b.试用a和b表示向量.点拨(1)既然能用a，b表示，那我们不妨设出manb.(2)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解解设manb，则manba(m1)anb.ab.又a，m，d三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.消去t得m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又c，m，b三点共线，与共线存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得4mn1.由得m，n，ab.点评(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)如本题易忽视a，m，d三点共线和b，m，c三点共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.思想方法1向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论2对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合3要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置易错防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是()a一条线段 b一段圆弧 c两个孤立点 d一个圆 解析由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆答案d2设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()aa与a的方向相反 ba与2a的方向相同c|a|a| d|a|a解析对于a，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反，b正确；对于c，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于d，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小答案b3设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()aab babca2b dab且|a|b|解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选项易知c满足题意答案c4(2014福州质量检测)在abc中，2，a，b，c，则下列等式成立的是()ac2ba bc2abcc dc解析依题意得2()，ba，故选d.答案d5在abc中，m为边bc上任意一点，n为am的中点，则的值为()a. b. c. d1 解析m为bc上任意一点，可设x y (xy1)n为am的中点，x y ，(xy).答案a二、填空题6向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：a，b，c共线；a，b，d共线；b，c，d共线；a，c，d共线，其中所有正确结论的序号为_解析由4e12e22，且与不共线，可得a，c，d共线，且b不在此直线上答案7在abcd中，a，b，3，m为bc的中点，则_(用a，b表示)解析由3，得43 3(ab)，ab，所以(ab)ab.答案ab8设a，b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若a，b，d三点共线，则实数p的值为_解析2ab，又a，b，d三点共线，存在实数，使，即p1.答案1三、解答题9已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数，使向量dab与c共线？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在这样的实数，只要2，就能使d与c共线10.在abc中，e，f分别为ac，ab的中点，be与cf相交于g点，设a，b，试用a，b表示.解()()(1)(1)ab.又m ()(1m)a(1m)b，解得m，ab.能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知点o，a，b不在同一条直线上，点p为该平面上一点，且22，则()a点p在线段ab上b点p在线段ab的反向延长线上c点p在线段ab的延长线上d点p不在直线ab上解析因为22，所以2，所以点p在线段ab的反向延长线上，故选b.答案b12o是平面上一定点，a，b，c是平面上不共线的三个点，动点p满足：，0，)，则p的轨迹一定通过abc的 ()a外心 b内心 c重心 d垂心解析作bac的平分线ad.，(0，)，.p的轨迹一定通过abc的内心答案b13若点o是abc所在平面内的一点，且满足|2|，则abc的形状为_解析2，|.故a，b，c为矩形的三个顶点，abc为直角三角形答案直角三角形14若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？解设a，tb，(ab)，ab，tba.要使a，b，c三点共线，只需，即ab(tba)tba.又a与b为不共线的非零向量，有 当t时，三向量终点在同一直线上.第2讲 平面向量基本定理及坐标表示最新考纲1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件知 识 梳 理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在abc中，向量，的夹角为abc.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()2(2014北京卷)已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab()a(5，7) b(5，9)c(3，7) d(3，9)解析2ab(4，8)(1，1)(5，7)答案a3已知向量a(1，m)，b(m，2)，若ab，则实数m等于()a b. c或 d0 解析由ab，得12m20，所以m22，即m.答案c4(人教a必修4p101a3改编)已知abcd的顶点a(1，2)，b(3，1)，c(5，6)，则顶点d的坐标为_解析设d(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案(1，5)5在平面直角坐标系中，o为坐标原点，a、b、c三点满足，则_解析，()，.答案考点一平面向量基本定理的应用【例1】 (1)在abc中，点d在边ab上，cd平分acb.若a，b，|a|1，|b|2，则()a.ab b.abc.ab d.ab(2)设d，e分别是abc的边ab，bc上的点，adab，bebc.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析(1)法一因为cd平分acb，由角平分线定理，得2，所以2.深度思考角平分线定理你知道吗？若知道的话可结合平面向量基本定理解决；若不知道的话可用特殊三角形解决，不妨试试所以()ab.法二(特殊值法)构造直角三角形，令cb1，ca2，ab，则dcb30，所以bd.故，a(ba)ab.(2)()，所以1，2，即12.答案(1)b(2)规律方法(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决【训练1】 (2014长沙模拟)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_解析如图，过点d作dfab于f，设abac1，则bcde.deb60，bddesin 60.由dbf45，得dfbf.，x1，y.答案1考点二平面向量的坐标运算【例2】 (1)(2014北京海淀区模拟)已知平面向量a(1，1)，b(1，1)，则向量ab()a(2，1) b(2，1) c(1，0) d(1，2)(2)在平行四边形abcd中，ac为一条对角线，若(2，4)，(1，3)，则()a(2，4) b(3，5) c(3，5) d(2，4)解析(1)因为a，b，所以ab(1，2)(2)由题意得()2(1，3)2(2，4)(3，5)答案(1)d(2)b规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则【训练2】(1)(2014揭阳二模)已知点a(1，5)和向量a(2，3)，若3a，则点b的坐标为()a(7，4) b(7，14) c(5，4) d(5，14)(2)在abc中，点p在bc上，且2，点q是ac的中点，若(4，3)，(1，5)，则等于()a(2，7) b(6，21)c(2，7) d(6，21)解析(1)设点b的坐标为(x，y)，则(x1，y5)由3a，得解得(2)33(2)63(6，30)(12，9)(6，21)答案(1)d(2)b考点三向量共线的坐标表示【例3】 平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐标解(1)akc(34k，2k)，2ba(5，2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(2)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2，4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5，3)规律方法(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；若ab(a0)，则ba.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解【训练3】 (1)已知梯形abcd，其中abcd，且dc2ab，三个顶点a(1，2)，b(2，1)，c(4，2)，则点d的坐标为_(2)已知向量a(3，1)，b(1，3)，c(k，7)，若(ac)b，则k_解析(1)在梯形abcd中，dc2ab，abcd，2 .设点d的坐标为(x，y)，则(4，2)(x，y)(4x，2y)，(2，1)(1，2)(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，解得故点d的坐标为(2，4)(2)依题意得ac(3k，6)，由(ac)b，得63(3k)，解得k5.答案(1)(2，4)(2)5思想方法1对平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式，是向量线性运算知识的延伸2向量共线的作用向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标表示为x1y2x2y10.易错防范1要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标.2向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014福建卷)在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是 ()ae1(0，0)，e2(1，2)be1(1，2)，e2(5，2)ce1(3，5)，e2(6，10)de1(2，3)，e2(2，3)解析由题意知，a选项中e10，c，d选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选b.答案b2(2014沈阳质量监测)已知在abcd中，(2，8)，(3，4)，对角线ac与bd相交于点m，则()a. b.c. d.解析因为在abcd中，有，所以()(1，12)，故选b.答案b3(2014青岛质量检测)已知向量a(1，2)，b(3，m)，mr，则“m6”是“a(ab)”的()a充要条件 b充分不必要条件c必要不充分条件 d既不充分也不必要条件解析由题意得ab(2，2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6，则“m6”是“a(ab)”的充要条件，故选a.答案a4已知a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)，则c等于()aab b.abcab dab解析设cab，(1，2)(1，1)(1，1)，cab.答案b5.如图，在oab中，p为线段ab上的一点，xy，且2 ，则 ()ax，y bx，ycx，y dx，y解析由题意知，又2，所以()，所以x，y.答案a二、填空题6已知向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_解析因为a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，所以u(1，2)2(x，1)(2x1，4)，v2(1，2)(x，1)(2x，3)又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.答案7若三点a(2，2)，b(a，0)，c(0，b)(ab0)共线，则的值为_解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案8.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，r)，则_解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则a(1，1)，b(6，2)，c(5，1)，a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)cab，(1，3)(1，1)(6，2)，即61，23，解得2，4.答案4三、解答题9已知a(2，4)，b(3，1)，c(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求m，n的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设o为坐标原点，3c，3c(3，24)(3，4)(0，20)，m(0，20)又2b，2b(12，6)(3，4)(9，2)，n(9，2)(9，18)10如图，在平行四边形abcd中，m，n分别为dc，bc的中点，已知c，d，试用c，d表示，.解法一设a，b，则ad，bc.将代入，得ad，adc(2dc)，将代入，得bc(2dc)(2cd)(2dc)，(2cd)法二设a，b.因m，n分别为cd，bc的中点，所以b，a，因而即(2dc)，(2cd)能力提升题组(建议用时：25分钟)11在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角c的大小为()a30 b60 c90 d120 解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，整理得b2a2c2ab，由余弦定理得cos c，又0c180，c60.答案b12在平面直角坐标系xoy中，已知a(1，0)，b(0，1)，c为坐标平面内第一象限内一点且aoc，且|oc|2，若 ，则()a2 b. c2 d4 解析因为|oc|2，aoc，所以c(，)，又 ，所以(，)(1，0)(0，1)(，)，所以，2.答案a13已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若点a，b，c能构成三角形，则实数m满足的条件是_解析由题意得(3，1)，(2m，1m)，若a，b，c能构成三角形，则，不共线，则3(1m)1(2m)，解得m.答案m14.如图，已知点a(1，0)，b(0，2)，c(1，2)，求以a，b，c为顶点的平行四边形的第四个顶点d的坐标解如图所示，以a，b，c为顶点的平行四边形可以有三种情况：abcd；adbc；abdc.设d的坐标为(x，y)，若是abcd，则由，得(0，2)(1，0)(1，2)(x，y)，即(1，2)(1x，2y)，x0，y4.d点的坐标为(0，4)(如图中所示的d1)若是adbc，由，得(0，2)(1，2)(x，y)(1，0)，即(1，4)(x1，y)，解得x2，y4.d点的坐标为(2，4)(如图中所示的d2)若是abdc，则由，得(0，2)(1，0)(x，y)(1，2)，即(1，2)(x1，y2)解得x2，y0.d点的坐标为(2，0)(如图中所示的d3)，以a，b，c为顶点的平行四边形的第四个顶点d的坐标为(0，4)或(2，4)或(2，0).第3讲 平面向量的数量积最新考纲1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系知 识 梳 理1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos_ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos_，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0.(2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| .3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩ppt展示(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是.()(4)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(5)abac(a0)，则bc.()2(2014新课标全国卷)设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab()a1 b2 c3 d5 解析|ab|，a22abb210.又|ab|，a22abb26.由，得4ab4，即ab1，故选a.答案a3(2014重庆卷)已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k()a b0 c3 d.解析因为2a3b(2k3，6)，由(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3，选c.答案c4(2014新课标全国卷)已知a，b，c为圆o上的三点，若()，则与的夹角为_解析由()可知o为bc的中点，即bc为圆o的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以bac90，所以与的夹角为90.答案905(人教a必修4p104例1改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为：|b|cos 4cos 1202.答案2考点一平面向量的数量积【例1】 (1)(2014重庆卷)已知向量a与b的夹角为60，且a(2，6)，|b|，则ab_(2)已知正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点，则的值为_；的最大值为_解析(1)由a(2，6)，得|a|2，故ab|a|b|cosa，b2cos 6010.深度思考对于第(2)小题同学们首先想到的方法是什么？这里提醒同学们此题可有三种解法：法一利用定义；法二利用向量的坐标运算；法三利用数量积的几何意义，你不妨试一试(2)法一如图，()21，()|21.法二以射线ab，ad为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a(0，0)，b(1，0)，c(1，1)，d(0，1)，设e(t，0)，t0，1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1，0)，所以(t，1)(1，0)t1，故的最大值为1.法三由图知，无论e点在哪个位置，在方向上的投影都是cb1，|11.当e运动到b点时，在方向上的投影最大即为dc1，()max|11.答案(1)10(2)11规律方法(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补【训练1】 (1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_(2)已知点a，b，c满足|3，|4，|5，则的值是_解析(1)b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e3211cos 86.(2)法一如图，根据题意可得abc为直角三角形，且b，cos a，cos c，45cos(c)53cos(a)20cos c15cos a201525.法二易知0，将其两边平方可得2222()0，故(222)25.答案(1)6(2)25考点二平面向量的夹角与垂直【例2】 (1)平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量a，b的夹角为_(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解析(1)因为|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，所以a2ab2b27，所以12cosa，b2227，所以cosa，b0.又a，b0，所以a，b.(2)由，知0，即()()(1)22(1)32940，解得.答案(1)(2)规律方法(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos (夹角公式)，abab0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角【训练2】 (1)已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_解析(1)由ab0，即230，解得.由ab，得6，即6.此时b3a，ab0，但a与b的夹角为，因此，且6.(2)bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|2t1tt10，t2.答案(1)(，6)(2)2考点三平面向量的模及应用【例3】 (1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|ab|()a1 b. c. d2 (2)(2014湖南卷)在平面直角坐标系中，o为原点，a(1，0)，b(0，)，c(3，0)，动点d满足|1，则|的最大值是_解析(1)因为向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，所以|ab|.(2)设d(x，y)，由|1，得(x3)2y21，向量(x1，y)，故|的最大值为圆(x3)2y21上的动点到点(1，)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心(3，0)到点(1，)的距离加上圆的半径，即11.答案(1)c(2)1规律方法(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解【训练3】 (1)(2015潍坊模拟)如图，在abc中，o为bc中点，若ab1，ac3，60，则|_(2)已知直角梯形abcd中，adbc，adc90，ad2，bc1，p是腰dc上的动点，则|3|的最小值为_解析(1)因为，60，所以|cos 6013，又，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.(2)以d为原点，分别以da，dc所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设dca，dpx，d(0，0)，a(2，0)，c(0，a)，b(1，a)，p(0，x)(2，x)，(1，ax)，3(5