【创新设计】（人教通用）高考数学二轮复习 专题整合 42 立体几何中的向量方法 理（含最新原创题含解析）.doc

第2讲立体几何中的向量方法一、选择题1已知平面abc，点m是空间任意一点，点m满足条件，则直线am()a与平面abc平行 b是平面abc的斜线c是平面abc的垂线 d在平面abc内解析由已知得m，a，b，c四点共面，所以am在平面abc内，选d.答案d2.如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，m、n分别为a1b和ac上的点，a1mana，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a垂直 b平行 c相交 d不能确定解析分别以c1b1、c1d1、c1c所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示a1mana，m，n，.又c1(0,0,0)，d1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.又是平面bb1c1c的法向量，且mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.答案b3(2014新课标全国卷)直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为 ()a. b.c. d.解析建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，设bc2，则b(0,2,0)，a(2,0,0)，m(1,1,2)，n(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故cos，.答案c4(2014四川卷)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点o为线段bd的中点设点p在线段cc1上，直线op与平面a1bd所成的角为，则sin 的取值范围是()a. b.c. d.解析以d为原点，以da、dc、dd1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则有a(2,0,0)，o(1,1,0)，p(0,2，m)(0m2)，c1(0,2,2)易知面a1db的一个法向量为(2,2,2)，(1,1，m)，sin ，令2mt，mt2(2t4)，sin ，由二次函数的值域求解方法可知，y的值域为y，sin .故选b.答案b5(2014北京东城区模拟)如图，点p是单位正方体abcda1b1c1d1中异于a的一个顶点，则的值为()a0 b1c0或1 d任意实数解析可为下列7个向量：，.其中一个与重合，|21；，与垂直，这时0；，与的夹角为45，这时1cos1，最后1cosbac11，故选c.答案c二、填空题6在一直角坐标系中，已知a(1,6)，b(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后a，b两点间的距离为_解析如图为折叠后的图形，其中作acl于点c，bdl于点d，则ac6，bd8，cd4，两异面直线ac，bd所成的角为60，故由，得|2|268，|2.答案27在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd平面abcd，abpda，点e为侧棱pc的中点，又作dfpb交pb于点f，则pb与平面efd所成角为_解析建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，d为坐标原点，则p(0,0，a)，b(a，a,0)，(a，a，a)，又，00，所以pbde，由已知dfpb，且dfded，所以pb平面efd，所以pb与平面efd所成角为90.答案908(2014孝感模拟)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，点p在直线bc1上运动时，有下列三个命题：三棱锥ad1pc的体积不变；直线ap与平面acd1所成角的大小不变；二面角pad1c的大小不变其中真命题的序号是_解析中，bc1平面ad1c，bc1上任意一点到平面ad1c的距离相等，所以体积不变，正确；中，p在直线bc1上运动时，直线ab与平面acd1所成角和直线ac1与平面acd1所成角不相等，所以不正确；中，p在直线bc1上运动时，点p在平面ad1c1b中，即二面角pad1c的大小不受影响，所以正确答案三、解答题9(2014烟台一模)在平行四边形abcd中，ab6，ad10，bd8，e是线段ad的中点如图所示，沿直线bd将bcd翻折成bcd，使得平面bcd平面abd.(1)求证：cd平面abd；(2)求直线bd与平面bec所成角的正弦值(1)证明平行四边形abcd中，ab6，ad10，bd8，沿直线bd将bcd翻折成bcd，可知cdcd6，bcbc10，bd8，即bc2cd2bd2cdbd.又平面bcd平面abd，平面bcd平面abdbd，cd平面bcd，cd平面abd.(2)解由(1)知cd平面abd，且cdbd，如图，以d为原点，建立空间直角坐标系dxyz.则d(0,0,0)，a(8,6,0)，b(8,0,0)，c(0,0,6)e是线段ad的中点，e(4,3,0)，(8,0,0)在平面bec中，(4,3,0)，(8,0,6)，设平面bec法向量为n(x，y，z)，即令x3，得y4，z4，故n(3,4,4)设直线bd与平面bec所成角为，则sin |cos n，|.直线bd与平面bec所成角的正弦值为.10(2014新课标全国卷)如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点(1)证明：pb平面aec；(2)设二面角daec为60，ap1，ad，求三棱锥eacd体积(1)证明连接bd交ac于点o，连接eo.因为abcd为矩形，所以o为bd的中点又e为pd的中点，所以eopb.因为eo平面aec，pb平面aec，所以pb平面aec.(2)证明因为pa平面abcd，abcd为矩形，所以ab，ad，ap两两垂直如图，以a为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系axyz，则d(0，0)，e，.设b(m,0,0)(m0)，则c(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ace的法向量，则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面dae的法向量，由题设知|cosn1，n2|，即，解得m.因为e为pd的中点，所以三棱锥eacd的高为，三棱锥eacd的体积v.11.如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1.(1)证明：pcad；(2)求二面角apcd的正弦值；(3)设e为棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长(1)证明如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意，得a(0,0,0)，d(2,0,0)，c(0,1,0)，b，0，p(0,0,2)易得(0,1，2)，(2,0,0)，于是0，所以pcad.(2)解(0,1，2)，(2，1，0)设平面pcd的法向量n(