【创新设计】（江苏专用）高考数学二轮复习 专题整合 12 函数与方程及函数的应用 理（含最新原创题含解析）.doc

第2讲函数与方程及函数的应用一、填空题1若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是_解析由题意知即为方程x22xa0无实数解，即44a0，解得a1.答案(1，)2已知函数f(x)则函数f(x)的零点为_解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2 x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0.答案03(2014苏州模拟)函数f(x)对一切实数x都满足ff，并且方程f(x)0有三个实根，则这三个实根的和为_解析函数图象关于直线x对称，方程f(x)0有三个实根时，一定有一个是，另外两个关于直线x对称，其和为1，故方程f(x)0的三个实根之和为.答案4已知函数f(x)对任意的xr满足f(x)f(x)，且当x0时，f(x)x2ax1.若f(x)有4个零点，则实数a的取值范围是_解析由函数f(x)对任意的xr满足f(x)f(x)得该函数是偶函数，所以若f(x)有4个零点，则当x0时，f(x)x2ax1有2个零点，所以解得a2，则实数a的取值范围是(2，)答案(2，)5一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm、60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是_cm2.解析设直角边为40 cm和60 cm上的矩形边长分别为x cm、y cm，则，解得y60x.矩形的面积sxyx(x20)2 600，当x20时矩形的面积最大，此时s600.答案6006已知函数f(x)x22x，g(x)(1)gf(1)_；(2)若方程gf(x)a0的实数根的个数有4个，则a的取值范围是_解析(1)利用解析式直接求解得gf(1)g(3)312；(2)令f(x)t，则g(t)a，要使原方程有4解，则方程f(x)t在t1时有2个不同解，即函数yg(t)，t1与ya有两个不同的交点，作出函数yg(t)，t1的图象，由图象可知1a时，函数yg(t)，t1与ya有两个不同的交点，即所求a的取值范围是.答案(1)2(2)7(2014广州测试)已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，则实数a的取值范围为_解析若a0，则f(x)2x3.f(x)0x1,1，不合题意，故a0.下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上有零点的条件是解得a.综上，实数a的取值范围为.答案8. (2013南师附中模拟)如图，线段ef的长度为1，端点e、f在边长不小于1的正方形abcd的四边上滑动，当e、f沿着正方形的四边滑动一周时，ef的中点m所形成的轨迹为g，若g的周长为l，其围成的面积为s，则ls的最大值为_解析设正方形的边长为a(a1)，当e、f沿着正方形的四边滑动一周时，ef的中点g的轨迹如图，是由半径均为的四段圆弧、长度均为a1四条线段围成的封闭图形，周长l4(a1)，面积sa2，所以lsa24a4，a1，由二次函数知识得当a2时，ls取得最大值.答案二、解答题9设函数f(x)ax2bxb1(a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意br，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围解(1)当a1，b2时，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.函数f(x)的零点为3和1.(2)依题意，f(x)ax2bxb10有两个不同实根b24a(b1)0恒成立，即对于任意br，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0,1)10.如图，在c城周边已有两条公路l1，l2在点o处交汇已知oc()km，aob75，aoc45，现规划在公路l1，l2上分别选择a，b两处为交汇点(异于点o)直接修建一条公路通过c城设oax km，oby km.(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；(2)试确定点a，b的位置，使oab的面积最小解(1)因为aoc的面积与boc的面积之和等于aob的面积，所以x()sin 45y()sin 30xysin 75 ，即x()y()xy，所以y(x2)(2)aob的面积sxysin 75xy(x24)84(1)当且仅当x4时取等号，此时y4.故oa4 km，ob4 km时，oab面积的最小值为4(1) km2.11(2014南京、盐城模拟)如图，现要在边长为100 m的正方形abcd内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围；(运算中取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意得解得即9x15.所以x的取值范围是9,15(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得ya2axx2，令f(x)x4x312