4.3用乘法公式分解因式课堂实录.docx

4.3用乘法公式分解因式的课堂实录 师：说比赛，比赛马上就来了，我们先来看一下第一个题目：（1）9998+992看谁做得最快？这个男生你先说。生：9900师：9900你是怎么算的？生：采用分配律可以求出99乘以100.师：99乘以100怎么来？生：99（98+2）.师：98+2利用了分配律对不对，把分配律反过来用是吗？那你还记得分配律用字母表示，怎么表示吗？生：a(b+c)=ab+ac.师：a(b+c)=ab+ac.那我们刚才说的，把它反过来，那应该是？生：ab+ac=a(b+c).师：ab+ac=a(b+c)非常好！师：那我们再来试一道题，这就是我们ab+ac=a(b+c)这是我们刚刚学过的因式分解的什么方法？生（齐答）：提取公因式法。师：再继续一题：（2）1012992师：这位女生你最快，你来说。生：400师：对，400你是怎么做的？生：（101+99）（101-99）师：为什么可以这么做啊？生：因为根据公式 师：噢，这就是我们的什么公式？生（齐答）：平方差公式。师：她已经把它说出来了，那这个时候我是不是要把它反过来用，反过来用，又变成什么？生：师： 这就是平方差公式的逆用对不对？那你来说一下看，公式里的a就是这里的谁？生：101师：公式里的b呢？生：99师：非常好，请坐。再试一下第3题，复杂一点了哦，（3）10122101 99992这位男生生：首先把这里面的101跟101提取出来。师：101跟101提取出来，你是怎么做的？101提取出来之后呢？生：(101+299) 101师： (101+299) 101还有一个谁？噢，992 然后呢？生：括号里面求出来。师：括号里面求出来这个我们口算也是可以求出来的是吗？然后呢？992 我们怎么办？生：992师：等会再提取出来是不是？请坐，有没有同学觉得你可以做得比他更简单？好，这位女生你来说。生：我觉得应该用完全平方公式。师：应该用完全平方公式，我听到有学生说“哇一下子恍然大悟了是不是？那你来说一下，用完全平方公式结果应该是怎么样的？生：4万。师：4万，这个应该怎么写？10122101 99992应该等于？生：(101 99)2师：(101 99)2 你们认同吗？生：认同。师：真棒！请坐，那我们观察到大家可能说为什么它可以用完全平方公式呢？发现这里首平方，尾平方，首尾两倍中间放啊。符合这个特征对不对？于是我们把完全平方公式反过来用是吗？完全平方公式反过来应该是怎么样的？生（齐答）：(a b)2= a22abb2师：另一种情况是？生（齐答）：(a -b)2师：还有一种情况是师：像这样老师把两条放在一块写是不是？那我们今天把这个平方差、完全平方公式反过来用应该怎么写？生（齐答）：师：好，其实我们发现，刚才同学们巧妙地应用了分配律和乘法公式就把我们非常复杂的算式变得很简单，对不对？同样地像提取公因式一样利用乘法公式也是因式分解非常重要的方法，这节课我们就来学习：4.3用乘法公式分解因式。师：好，我们先来看例1:把下列各式进行因式分解：a 2 9 b 2 + 4l2 师：这两个多项式我们可以利用什么方法去跟它进行因式分解？师：用哪个公式对它进行因式分解？你来说一下！生：用平方差公式。师：用平方差公式，为什么可以用平方差公式？生：因为9是3的平方。师：9是3的平方，第一个式子可以写成两个平方的差，对不对？请坐，我们一起来做一下。师：原式等于谁的平方减谁的平方？生：a的平方减去3的平方师：就会等于？生：（a+3）(a-3)师：非常好，那第二个可以用平方差公式吗？生：可以。师：可以是不是？那我觉得同学们试一下看。（指名学生上台板演）师：好了的同学，我们互相对一下看分解的结果是否正确？师：这位同学做的对吗？生：嗯师：不好判断对不对？那我们一步一步进行分析好不好？她先怎么做？ 4l2 是谁的平方？生: 2l的平方。师：这里符合平方差公式吧，很难判断为什么?你有什么比她更好的方法吗？只要一个小小的改变，好，这位男生。生：改变符号。师:改变符号，怎么改变符号？生：-b 改成+b ,-b2改成b2，然后把运算符号改一下。师：怎么样才能改变？提取一个负号是这个意思吗？生：嗯师：提取一个负号，那里面变成-( b2 -4l2)生：-( b2 -4l2)= ( b -2l) -( b +2l)师：这里面后面 b2 -4l2可以用平方差公式进行因式分解，还有没有同学我是不需要提取负号的，我也可以做。好，这位男生，又来了。生：用加法交换律。师：用加法交换律，怎么交换？生：把- b2 +4l2 变成4l2 -b2师：也就是把谁提到前面去啊？生（齐答）：4l2师：把正的移到前面去啊？4l2 -b2 这个就是谁的平方？生：(2 l)2 -b2师：这个会做了吗？非常好，请坐。思路非常的清晰，所以遇到这种情况的时候，我们尽量把谁移到前面去？生：正的师：正的那一项移到前面去，对不对？结果就应该等于(2 l +b)(2 l b)师：好，接下来我们就是来探究一下如何用平方差公式来分解因式。通过刚才的例子，同学们思考一下，怎样的多项式适用平方差公式来因式分解？小组讨论，记录员准备好，开始！师：哪一小组商量好了，马上举手！师：有小组商量好了，马上举手！师：都静下来了，好，你来说一下。生：首先是两个数，两个数是一个正一个负。师：一个正，一个负，而且老师还听到你这提到两个数字，对不对？说明它要几项？生：两项。师：两项，一个正，一个负，说明这两项要怎样？生：相减。师：一定是相减吗？师：符号相反，要求两项并不一定是数字，整式是不是也行啊？师：两项，还要求这两项符号是相反的，非常棒，还有要求吗？生：数字的指数都为2次。师：数字的指数都为2次，那以后字母的指数都为2次、4次行不行啊？生：可以。师：也行对不对？那你能不能对这句话进行修改或者？生：师：要不要给其他小组机会，请坐下，你已经很棒了得到两个半它的特征了，好谁来补充这半个？生：一个项是相同的，另一个项是互为相反数。师：一个项是相同的？你是指这里吗？哪一项是相反数呢？这个是逆过来的，是它的结果，而不是它本身具有的特征，对不对？师：好，请坐，有没有同学需要补充?这位女生。生：第一个要求是它要具有两个项，第二个要求是两个项的符号都是相反。师：对。生：最后一个我想要求是它们的指数必须要相同。师：指数要相同，那如果a2-b2 可不可以用这个？生（齐答）：可以。师：可以对不对？那你们有没有发现我们都可以实用它。师：你来补充。生：最后可以平方。师：可以平方对不对？这就答到点上了，两项都必须能写成某个数或式子的平方，我们就可以用平方差公式，对不对？师：好，这就是我们的第三个特征：两项都可以写成数或式子的平方，对不对？师：好，我们再来看一下，刚才我们对这公式有了进一步的了解了，那请你编一道可以用平方差公式进行因式分解的多项式。师：要紧扣公式的特征。（指名几位学生上台板演）。a2-1 a2-16b2 a2-4b6 师：下面同学都写好了吗？我们可以来判断一下黑板上三位同学有没有写对？好，我们先来看一下第一位同学写的，能用平方差公式进行因式分解吗？生（齐答）：能。师：a2-1这是谁的平方？生：1的平方。师：第二个它能吗？生：不能。师：那第二个我们如何对它进行修改呢？生：a2师：a2-4b6，对不对？师：好，第三个可以吗？生：不可以。师：不行，为什么不行啊？生：师：平方差，符号是相同喽，不行对不对？那我们把谁擦掉？生：负号。师：那请同学们这样，它们既然可以用平方差公式进行因式分解，那老师再加两道题：9/25x2-1/16y2 (x+z)2-(y+z)2 师：请对这5个式子进行因式分解。师：好，谁想做第1题，自己上去，想做第2题的也自己上去。师：看看哪几道题还没人做的?师：做好了同学可以看一下黑板上的同学，有没有跟他们有相同的。师：下面同学都做好了吗？好，一起来看第一个a2-1=(a-1)(a+1) 对不对？对吗？师：第二个a2-4b6= (a-2b2)2是吗？生：错。师：错，那先看他什么错？第1个先看原式应该等于谁的平方？生：a2师：a2减谁的平方？生：a2-2b3师：对，b的几次会等于b的6次?生：a的3次。师：对，a2-4b6=a2-(2b3)2这时候两个数的平方差就等于两数的和与两数的差师：我们再来看第3题(a+4b)(a-4b)对了吗？生：对。师：这个16b2是谁括号的平方?生：4b的平方师：等于（a+4b）(a-4b),好，我们再来看第4题，对了吗？生：对。师：对了吗？生：对。师：我只听到几位同学回答其他同学对了吗？生：对了。师：好，那最后一个看一下，它这个，我这么复杂的式子怎么会变成这样子啊？哪个同学做的？师：你给大家说说看，你是怎么想的？生：师：嗯，她把谁看作一个整体？生：x+z y+z师：等于这两项相加与这两项相减。为什么这里y+z到这里就变成-y-z？生：去括号直接要变号。师：直接去括号了，对不对？师：好，先请坐，非常好。她这里，如果我们写得慢一点的话，可以等于这两项(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) 去完括号就这样子(x+z-y-z)(x+z+y+z)对吗?那有没有同学觉得更完善的，还可以怎么做？你们最后都写得是这个结果吗？师：你不是写得这个结果，你还可以怎么写？你来说说看。生：这个我看不清楚。师：噢，你看不清楚啊，那要配眼镜了，有没有同学你们觉得我还可不可以把它写得更加简洁点？生：直接可以把z去掉。师：(x-y)(x+y+2z).所以同学们我们要注意了，当我们因式分解的话，最后的结果能化简的话，我们应该对它进行化简。好，现在老师又编了一道题：x2+4x+4它能用平方差公式进行因式分解吗？生：不可以。师：不可以，为什么呀？生：它有三项。师：三项，刚才我们前面说它的特征是两项，它最起码三项就已经不符合了，是吧？师：那你们能对它进行因式分解吗?生：能。师：很多同学都说能，那你们先把它写出来。生：不用平方差公式。师：不用平方差公式？怎么用？你来说一下。生：用完全平方公式。师：用完全平方公式，为什么可以用完全平方公式啊？生：有三项，而且4是2的平方。师：4是2的平方。X2 ,22然后呢？生：然后第二项的4也正好是2的两倍。师：正好是2的两倍，也就是2乘以首是x还要乘以谁？生：2师：2就是尾，首尾的两倍。所以这就说明它是完全平方公式的结果是吧？师：那我们逆过来用，就可以写成(x+2)2师：非常好，请坐其实像这样子，我们观察到如果一个式子、一个多项式它可以有两个数的平方和，再加上这两数的2倍，这样的式子这样的多项式我们就把它叫做完全平方式。所有的完全平方式都可以用完全平方式对它进行因式分解。师：看一下，这个-x2+2xy-y2是完全平方式吗？生（齐答）：是。师：怎么它就是了？生：前面师：这个男生你来说。生：只要把它添个括号就是了。师：添一个括号？还是说我提取一个出来？生：提取一个负号。师：提取一个负号，是不是？我们一起来看一下，提取一个负号-(x2-2xy+y2) 这个括号里可以用完全平方公式进行因式分解了吗？生：可以。师：接下来我们就一起来探究用完全平方公式进行因式分解。同学们先总结一下完全平方公式它有什么特征？记录员准备。生：完全平方公式必须是三项。师：三项，抓得非常准确。生：而且首平方，尾平方师：首平方，尾平方。这说明要有几个平方项呢？生：有两个。师：有两个平方项。生：中间是首尾平方乘以2.师：噢，首先有三项，然后再有平方项，平方项是数或者整式平方对不对？而且她没讲我一不小心讲出来了，这两项是什么号啊？生：同号。师：同号，还有一个是什么项？生：中间项。师：看看中间项，首平方，尾平方还要是同号对不对？中间项生：首尾的数乘以2.师：首尾这两个数会不会是式子？几倍？生：两倍。师：两倍，那它符号有没有要求吗？生：是首尾相乘然后乘以2，那首尾如果是负号的话，那就是正号。师：好，我们听听其他同学怎么讲？你已经很棒了，找了非常多的特征，你来说。生：我觉得中间的话，如果你的这一项是完全平方公式，那个符号是(a-b)2的话，那么中间那个首尾积的两倍是负的。如果(a+b)2那么首尾积的两倍就是正的。师：你们听进去了吗？噢，有的同学说没有，老师把它更完善一下好不好？师：我们来看一下她刚才说的，她说，包括第一个女生也讲了，中间一项是首尾的两倍对不对？中间项首尾的两倍，我们刚才讲的是数或是式子的两倍，后面如果是加，它就是加。如果是减它就是减，对吗？但是今天我们是把它反过来用，这中间可正可负对不对？请问它是加号时，我后面就变成(首+尾)2，它如果是减号时，就变成(首-尾)2，首22首尾+尾2=（首尾）2 所有符合这样的式子我们都称为完全平方式。先来尝试一下看:x2+12x+36 9x2+6x+1师：这样第一个我们一起来写一下，第一个原式=x2+2x6+62=(x+6)2师：好，下面两道的机会都给同学们，会写的勇于表现自己，直接上去。生板书：原式=(3x+1)2师：好，这位同学(3x+1)2 对了吗？ 因为9x2就是谁的平方？生：(3x)2师：最后一项是谁的平方？生：1的平方。师：刚好，你想一下中间符不符合首尾的两倍啊？首尾乘一下是？结果是等于(3x+1)2师：看一下第3小题，结果等于(a+b+6)2对了吗？这道题哪个同学做的？你来说说看，你是怎么想的？生：第1小题把（a+b）看作一个整体。师：对，把（a+b）看作一个整体。生：然后就开始完全平方。师：我觉得这位同学用整体思想用的非常好，其实这一题跟哪一题非常相似？很多同学整体思想用的非常好，(a+b)+62其实我们最后可以把括号去掉，能化简则化简，到目前为止，我们都学了什么方法去分解因式分解呢？生：平方差公式，完全平方公式。师：再这之前，我们还学过？生（齐答）：提取公因式。师：好，接下来请大家用我们学过的方法对这两个式子进行因式分解。X3-4x 3ax2+6axy+3ay2生上台板演：x3-4x=x(x2-4)师：看一下第一道题，做的怎么样？先怎么样？生：提取x师：对了吗？有没有同学觉得我跟她有不同的，这位女生你说说看?生：-x(-x2+4)师：你提取的公因式师“-X”对吗？一般来说，我们提取的公因式为了保证括号里面的第一项是正的对吧，当它第一项是负的，我们就提取一个负的公因式，这里第一项已经是正的，我们只需要提取一个正的公因式就可以了，是不是？师：好，先请坐，还有没有同学觉得生：我觉得括号里面还可以用平方差公式进行因式分解x(x+2)(x-2)。师：同学们觉得第一个正确还是第二个正确？生（齐答）：第二个。师：我们在做题目时，对它进行因式分解一定要求因式分解要彻底，要分解到不能分解为止。好，第2个同学，做对了没有？生：对了。师：好，现在大家小组合作的机会又来了，请小组讨论，讨论的问题是什么呢？第1个因式分解的一般步骤是什么？第2个问题因式分解需要注意什么？开始！师：好，这个女生你来讲。生：我要讲的是它要注意的那个点，第1点是不要漏乘。师：不要漏乘是什么意思？提取公因式时是吗？也就是说提取公因式时候，这个多项式本身是几项，提取公因式里面还是几项，这是提取公因式注意点，还有吗？生：最后都是整式的乘积。师：因式分解结果都是整式的积的形式。生