中考数学 第二部分 专题综合强化 专题四 二次函数的综合探究实用课件.ppt

专题综合强化 第二部分 专题四二次函数的综合探究 1 常考题型 精讲 1 二次函数与等腰三角形存在性问题 1 数形结合 注意使用等腰三角形的性质与判定 2 函数问题离不开方程 注意方程与方程组的使用 3 找动点 使之与已知两点构成等腰三角形 类型1二次函数与特殊三角形的存在性问题 2 3 2 二次函数与直角三角形存在性问题 1 直角三角形一般涉及勾股定理 注意勾股定理的正定理与逆定理 同时注意直角三角形的特殊角的三角函数的运用 2 直角三角形与二次函数属于代数与几何的结合 把几何问题数字化 这类问题要注意平面直角坐标系的作用 3 综合问题注意全等 相似 勾股定理 解直角三角形等知识的使用 4 找动点 使之与已知两点构成直角三角形 4 5 例1如图 抛物线y ax2 2ax 3a a 0 与x轴相交于a b两点 a在b的左侧 且mn x轴 垂足为n 1 若顶点m的纵坐标为4 求抛物线的解析式 6 根据顶点坐标公式用含a的代数式表示顶点坐标 当m的纵坐标为4时 求出a的值 思路点拨 7 2 求ab的长 令ax2 2ax 3a 0 解一元二次方程 求出x的值 利用x轴上两点之间距离公式求出ab的值 解答 令ax2 2ax 3a 0 解得x1 1 x2 3 ab 4 思路点拨 8 思路点拨 9 10 4 若直线bm与y轴相交于c 当 com为等腰三角形时 求m的坐标 根据m 1 4a b 3 0 两点坐标确定含系数a的直线mb的解析式 分类讨论 当mc om时 当oc om时 当oc mc时 求出系数a的值 即得到m的坐标 思路点拨 11 12 13 设p的纵坐标为m 分情况讨论 当p在m的上方时 当p在m的下方时 分别求出点p的坐标 思路点拨 14 15 16 1 解决平行四边形的存在性问题 具体方法如下 1 假设结论成立 2 探究平行四边形通常有两类 一类是已知两定点去求未知点的坐标 一类是已知给定的三点去求未知点的坐标 第一类 以两定点连线所成的线段作为要探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形 第二类 分别以已知三个定点中的任意两个定点确定的线段为探究平行四边形的边或对角线画出符合题意的平行四边形 类型2二次函数与特殊四边形的存在问题 17 3 建立关系式 并计算 根据以上分类方法画出所有符合条件的图形后 可以利用平行四边形的性质进行计算 也可利用全等三角形 相似三角形或直角三角形的性质进行计算 要具体情况具体分析 有时也可以利用直线的解析式方程组 由方程组的解为交点坐标的性质求解 2 对于特殊四边形的存在性问题 也常以探究菱形 矩形 正方形来设题 具体解决方法如下 若四边形的四个顶点位置已确定 则直接利用四边形边的性质进行计算 若四边形的四个顶点位置不确定 需分情况讨论 18 1 探究菱形 已知三个定点去求未知点坐标 已知两个定点去求未知点坐标 一般会用到菱形的对角线互相垂直平分 四边相等等性质列关系式 2 探究正方形 利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算 一般是分别计算出两条对角线的长度 令其相等 得到方程再求解 3 探究矩形 利用矩形对边相等 对角线相等列等量关系式求解 或根据邻边垂直 利用勾股定理列关系式求解 19 例2如图 抛物线y x2 2x 3与x轴相交于a b两点 a在b的左侧 且与y轴交于点c 点d是抛物线的顶点 抛物线的对称轴de交x轴于点e 连接bd 1 求直线bd的解析式 20 点d是抛物线的顶点 利用二次函数的顶点坐标公式求出点d的坐标 令 x2 2x 3 0 求出x的值 即可得到a b两点的坐标 再利用待定系数法求出直线bd的解析式 思路点拨 21 22 2 若h k分别为抛物线 y轴负半轴上的点 且使四边形bdhk为平行四边形 求h的坐标 根据二次函数图象得到k的横坐标 bdhk为平行四边形 由平行四边形的性质 可求出h的横坐标 将横坐标代入y x2 2x 3 得到h的坐标 思路点拨 23 解答 如答图1 可得k的横坐标为0 四边形bdhk为平行四边形 h的横坐标为 2 将x 2代入y x2 2x 3 得y 2 2 2 2 3 5 即h的坐标为 2 5 24 3 若h k分别为线段bd与x轴上的点 将 bhk沿hk翻折 点b刚好落在y轴的q处 且四边形bhqk恰好为平行四边形 求h与b的水平距离 根据折叠的性质 可得bh hq 四边形bhqk恰好为平行四边形 得出四边形bhqk为菱形 根据bhqk为菱形的性质知qh x轴 设h的横坐标为a 表示出h的纵坐标 过点h作x轴的垂线 垂足为r 用系数a可得hr br的长度 由勾股定理可得bh2 br2 hr2 3 a 2 2a 6 2 5a2 30a 45 由hq2 bh2 求出a的值 从而求出h与b的水平距离 思路点拨 25 解答 如答图2 由翻折可得bh hq 又 四边形bhqk恰好为平行四边形 四边形bhqk为菱形 qh x轴 设h的横坐标为a 则h的纵坐标为 2a 6 过点h作x轴的垂线 垂足为r 可得hr 2a 6 br 3 a 26 27 4 点p 2 m 是线段bd上一点 过点p作pf x轴于点f g为抛物线上一动点 m为x轴上一动点 n为直线pf上一动点 当以f m n g为顶点的四边形是正方形时 请求出点m的坐标 将 2 m 代入 可得m的值 即可得到点p的坐标 设点m的坐标为 n 0 得到点g的坐标 以f m n g为顶点的四边形是正方形 fm mg 解得n的值 即可求出点m的坐标 思路点拨 28 解答 将 2 m 代入y 2x 6 可得m y 2 2 6 2 点p的坐标为 2 2 设点m的坐标为 n 0 则点g的坐标为 n n2 2n 3 以f m n g为顶点的四边形是正方形 fm mg 即 2 n n2 2n 3 当2 n n2 2n 3时 29 30 探究三角形相似的一般思路 解答三角形相似的存在性问题时 要运用分类讨论的思想及数形结合的思想 具体方法步骤如下 1 假设结论成立 分情况讨论 探究三角形相似时 往往没有明确指出两个三角形的对应角 尤其是以文字形式出现要证明两个三角形相似的题目 或者涉及动点问题 因动点问题中点位置的不确定 此时应考虑不同的对应关系 分情况讨论 类型3二次函数与相似三角形的存在性问题 31 2 确定分类标准 在分类时 先要找出分类的标准 看两个相似三角形是否有对应相等的角 若有 找出对应相等的角后 再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件 若没有 则分别按三对角对应来分类讨论 3 建立关系式 并计算 由相似三角形列出相应的比例式 将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来 其长度多借助勾股定理运算 整理可得一元一次方程或者一元二次方程 解方程可得字母的值 再通过计算得出相应的点的坐标 32 例3抛物线y x2 bx c与x轴交于a b 1 0 两点 点a在点b的左侧 与y轴交于点c 且oc 3 1 求抛物线的解析式 33 由oc 3 可得点c的坐标 将 1 0 0 3 代入y x2 bx c 即可得到抛物线的解析式 思路点拨 34 2 求直线ac的解析式 由抛物线的解析式得到对称轴 又b 1 0 得到点a的坐标 设直线ac的解析式为y kx m 将a 3 0 c 0 3 代入y kx m 求出直线ac的解析式 思路点拨 35 36 3 若抛物线的顶点为m 试判断ac与mc的位置关系 并说明理由 由二次函数解析式求出顶点坐标 从求出ac mc am的值 判断出ac mc am三条线段存在的数量关系 即可确定ac与mc的位置关系 思路点拨 37 38 4 点p是线段ac上一个动点 连接op 是否存在点p 使得以点o c p为顶点的三角形与 abc相似 若存在 求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 由 pco bac 45 分情况讨论 当 pco bac时 当 pco cab时 分别求出pc的长 过点p作ph y轴于点h 则 phc为等腰直角三角形 求出点p的坐标即可 思路点拨 39 40 41 1 三角形面积的最大值问题 1 抛物线上是否存在一点 使之和一条定线段构成的三角形面积最大 的问题 简称 一边固定两边动的问题 方法1 首先利用两点间的距离公式求出定线段的长度 然后利用上面的方法 求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离 类型4二次函数与面积最值问题 42 43 2 三边均动的动三角形面积最大 的问题 简称 三边均动 的问题 先把动三角形分割成两个基本模型的三角形 有一边在x轴或y轴上的三角形 或者有一边平行于x轴或y轴的三角形 称为基本模型的三角形 面积之差 设出动点在x轴或y轴上的点的坐标 而此类题型 题中一定含有一组平行线 从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似 常为图中最大的那一个三角形 利用相似三角形的性质 对应边的比等于对应高的比 可表示出分割后的一个三角形的高 从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式 相应问题也就轻松解决了 44 2 四边形面积的最大值问题 1 抛物线上是否存在一点 使之和另外三个定点构成的四边形面积最大 的问题 由于该四边形有三个定点 从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形 连接两个定点 即可得到一个定三角形 的面积之和 所以只需动三角形的面积最大 就会使动四边形的面积最大 而动三角形面积最大值的求法与1中 三角形面积的最大值问题 的求法类似 45 2 定四边形面积的求解 问题 有两种常见的解决方案 方案一 连接一条对角线 分成两个三角形面积之和 方案二 过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点 向x轴 或y轴 作垂线 或者把该点与原点连接起来 分割成一个梯形 常为直角梯形 和一些三角形的面积之和 或差 或几个基本模型的三角形面积的和 差 46 47 思路点拨 48 2 求直线bc的解析式 当x 0时 代入解析式 求出点c的坐标 设直线bc的解析式为y kx b k 0 将b 8 0 c 0 4 代入y kx b 求出直线bc的解析式 思路点拨 49 50 3 若点m是抛物线上b c两点之间的一个动点 不与点b 点c重合 过点m作y轴的平行线 交直线bc于点n 交x轴于点h 当点m与抛物线顶点重合时 求 bcm的面积 思路点拨 51 52 4 在第 3 问结论下 当mn将 bcm的面积分割为1 2时 求点n的坐标 当cn bn 1 2或cn bn 2 1时 mn将 bcm的面积分割为1 2 此时 可得oh bh 1 2或oh bh 2 1 分别计算出对应的x的值 即可得到点n的坐标 思路点拨 53 54 55 5 在第 3 问结论下 是否存在一点m 使 mbc的面积最大 若存在 请求出 mbc的最大面积 若不存在 试说明理由 思路点拨 56 57 类型5二次函数与动点问题 例5如图 抛物线y ax2 bx 4与x轴交于a 3 0 b 4 0 两点 与y轴交于点c 连接ac bc 点p是第四象限内抛物线上的一个动点 点p的横坐标为m 过点p作pm x轴 垂足为点m pm交bc于点q 1 求抛物线的解析式 58 将a 3 0 b 4 0 代入y ax2 bx 4 求出抛物线的解析式 思路点拨 59 2 当 bop 45 时 求点m的坐标 根据题意 可得点p的坐标 当 bop 45 时 om pm 求出m的值 从而求出点m的坐标 思路点拨 60 61 3 试探究在点p运动的过程中 是否存在这样的点q 使得以a c q为顶点的三角形是等腰三角形 若存在 请求出此时点q的坐标 若不存在 请说明理由 根据已知求出ac的值 得到直线bc的解析式 设q m m 4 0 m 4 分别表示出aq2 cq2 分cq ca aq ac qa qc三种情况 分别求得m的值 从而得到q点坐标 思路点拨 62 63 64 4 在 3 的条件下 求 acq面积的最大值 易得到ab oc的长度 即可得到 abc的面积 从而求得 acq面积的最大值 思路点拨 65 66 5 过点p作pe ac交x轴于点e 交bc于点f 请用含m的代数式表示线段qf的长 并求出m为何值时qf有最大值 思路点拨 67 68 69 6 当点p运动到抛物线的顶点时 抛物线与x轴上是否分别存在g h两点 使以m q g h为顶点的四边形为平行四边形 若存在 求出点h的坐标 若不存在 请说明理由 思路点拨 70 71 理解并记住常见的 将军饮马 模型辅助线添加方法 对常见的轴对称图形 如等腰三角形 正方形 圆 的对称轴要灵活运用 常见考法有 1 将军饮马 与坐标系结合 2 利用菱形的对角线 3 利用圆的直径 类型6二次函数与线段最值问题 72 下表给出几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法 73 74 75 76 77 78 79 80 81 例6如图 直线y x 3分别与x轴 y轴相交于a b两点 经过a b两点的抛物线y x2 bx c与x轴的另一交点为c 1 求抛物线的解析式 82 根据题意可得b 0 3 a 3 0 将a 3 0 b 0 3 代入y x2 bx c 即可得到抛物