【南方凤凰台】（江苏版）高考数学二轮复习 专题五 第3讲 数学归纳法 理.doc

第3讲数学归纳法1. 求证:n3+5n(nn*)能被6整除.2. (2013南通三模)设nn*且n2,证明:(a1+a2+an)2=+2a1(a2+a3+an)+a2(a3+a4+an)+an-1an.3. 在数列an中,a1=,an+1=(nn*),用数学归纳法证明:an2(nn*).4. 试比较2n+2与n2的大小(nn*),并用数学归纳法证明你的结论.5. 如图,p1(x1,y1),p2(x2,y2),pn(xn,yn)(0y1y2.(第8题)第3讲数学归纳法1. (1) 当n=1时,n3+5n=6能被6整除.(2) 假设当n=k(k1,且kn*)时,k3+5k能被6整除;则当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3k(k+1)+6.由假设知k3+5k能被6整除,而3k(k+1),6也能被6整除,所以(k+1)3+5(k+1)能被6整除.由(1)(2)可知, 命题对任意nn*都成立.2. (1) 当n=2时,有(a1+a2)2=+2a1a2,命题成立.(2) 假设当n=k(k2)时,命题成立,即(a1+a2+ak)2=+2a1(a2+a3+ak)+a2(a3+a4+ak)+ak-1ak成立;那么,当n=k+1时,有(a1+a2+ak+ak+1)2=(a1+a2+ak)2+2(a1+a2+ak)ak+1+=+2a1(a2+a3+ak)+a2(a3+a4+ak)+ak-1ak+2(a1+a2+ak)ak+1+=+2a1(a2+a3+ak+ak+1)+a2(a3+a4+ak+ak+1)+akak+1,所以当n=k+1时,命题也成立.根据(1)和(2),可知命题对任意的nn*且n2都成立.3. (1) 当n=1时,a1=2,不等式成立.(2) 假设当n=k时等式成立,即ak2(kn*),则ak+1-2=-2=0,所以ak+12,所以当n=k+1时,不等式也成立.综合(1)(2),不等式对所有正整数都成立.4. 当n=1时,21+2=4n2=1;当n=2时,22+2=6n2=4;当n=3时,23+2=10n2=9;当n=4时,24+2=18n2=16.由此可以猜想,2n+2n2(nn*)成立.下面用数学归纳法证明:(1) 当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,左边右边,所以原不等式成立;当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,左边右边;当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,左边右边.(2) 假设n=k(k3且kn*)时,不等式成立,即2k+2k2.那么当n=k+1时,2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2.又因为2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)0,即2k2-2(k+1)2,故2k+1+2(k+1)2成立.根据(1)和(2),可知原不等式对于任何nn*都成立.5. (1) a1=2,a2=6,a3=12.(2) 依题意,得xn=,yn=,而=3xn,所以=(an+),即(an-)2=2(+an).由(1)可猜想:an=n(n+1)(nn+).下面用数学归纳法予以证明:当n=1时,命题显然成立.假设当n=k(kn+)时,命题成立,即有ak=k(k+1),则当n=k+1时,由归纳假设及(-ak)2=2(ak+),即-2(k2+k+1)+k(k-1)(k+1)(k+2)=0,解得=(k+1)(k+2)或ak+1=k(k-1).因为=k(k-1)0,所以a1=1.a2-=-=-(1+1)=-2,即+2a2+1=2.所以a2=-1,a3-=-=-=-2,即+2a3+2=3,所以a3=-,可推测an=-.(2) 由(1)知a1=1,满足a1=-=1,故当n=1时,an=-成立.假设n=k时,ak=-成立.当n=k+1时,-=-=-2,即+2+k=k+1,所以=-,即当n=k+1时,an=-.由知数列an的通项公式为an=-,nn*.8. (1) p1=,p2=+=.(2) 因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为pn,故落在下底面顶点的概率为1-pn.于是移了(n+1)次后棋子落在上底面顶点的概率为=pn+(1-pn)=pn+.从而-=.所以数列是等比数列,其首项为,公比为.所以pn-=,即pn=+.用数学归纳法证明:当n=1时,左式=,右式=,因为,所以不等式成立.当n=2时,左式=+=,右式=,因为,所以不等式成立.假设n=k(k2)时,不等式成立,即.则n=k+1时,左式=+=+.要证+,只要证-,只要证,只要证,只要证3k+12k2+6k+2.因