高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第15讲 导数与函数的极值精选课件 理.ppt

函数 导数及其应用 第二章 第15讲导数与函数的极值 最值 栏目导航 1 函数的极值与导数 1 函数的极小值若函数y f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 且f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点x a叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 都小 f x 0 f x 0 2 函数的极大值若函数y f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 且f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点x b叫做函数的极大值点 f b 叫做函数的极大值 极大值和极小值统称为极值 f x 0 f x 0 2 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件一般地 如果在区间 a b 上 函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的极值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 思维辨析 在括号内打 或 1 函数f x 在区间 a b 内一定存在最值 2 函数的极大值一定比极小值大 3 对可导函数f x f x0 0是x0为极值点的充要条件 4 函数的最大值不一定是极大值 最小值也不一定是极小值 a a 4 若函数f x x3 ax2 3x 9在x 3时取得极值 则a a 2b 3c 4d 5解析 f x 3x2 2ax 3 f 3 0 a 5 d 5 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点解析求导得f x ex xex ex x 1 令f x ex x 1 0 解得x 1 易知x 1是函数f x 的极小值点 d 利用导数研究函数极值问题的步骤 一利用导数研究函数的极值 例1 已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 a 解析 1 因为f x x2 ax 1 ex 1 所以f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 ex 1 因为x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 所以 2是x2 a 2 x a 1 0的根 所以a 1 f x x2 x 2 ex 1 x 2 x 1 ex 1 令f x 0 解得x1 令f x 0 解得 2 x 1 所以f x 在 2 上单调递增 在 2 1 上单调递减 在 1 上单调递增 所以当x 1时 f x 取得极小值 且f x 的极小值为f 1 1 故选a 二利用导数研究函数的最值 求可导函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的基本步骤 1 求出函数f x 在区间 a b 内的所有极值f x1 f x2 f xn 2 计算函数f x 在区间 a b 上的两个端点值f a f b 3 对所有的极值和端点值作大小比较 4 对比较的结果作出结论 所有这些值中最大的即是该函数在 a b 上的最大值 所有这些值中最小的即是该函数在 a b 上的最小值 例4 2018 湖北武昌实验中学月考 设f x ax lnx 是否存在实数a 当x 0 e e是自然对数的底数 时 函数f x 的最小值是3 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 1 设函数f x 在r上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论中一定成立的是 a 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 b 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 c 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 d 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 解析由图可知 当x0 当 22时 f x 0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 故选d d 2 函数f x x x m 2在x 1处取得极小值 则m 1 3 已知函数f x ex ax b x2 4x 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 4x 4 1 求a b的值 2 讨论f x 的单调性 并求f x 的极值 易错点分类不完全 混淆概念 跟踪训练1 设函数f x ln x 1 a