【名师一号】高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元同步测试（含解析）新人教A版选修21.doc

【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元同步测试（含解析）新人教a版选修2-1 (时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1向量a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若a与b共线，则()ax1，y1bx，ycx，y dx，y解析由ab知，ab，2x，12y,39，x，y.答案c2已知a(3,2,5)，b(1，x，1)，且ab2，则x的值是()a6 b5c4 d3解析ab32x52，x5.答案b3设l1的方向向量为a(1,2，2)，l2的方向向量为b(2,3，m)，若l1l2，则实数m的值为()a3 b2c1 d.解析l1l2，ab，ab0，262m0，m2.答案b4若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的()a必要不充分条件 b充分不必要条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件解析ab|a|b|cosa，b，而ab|a|b|.cosa，b1，a，b0.a与b共线反之，若a与b共线，也可能ab|a|b|，因此应选b.答案b5如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a相交 b平行c垂直 d不能确定解析()().而是平面bb1c1c的一个法向量，且0，.又mn平面bb1c1c，mn平面bb1c1c.答案b6已知a，b，c是空间的一个基底，设pab，qab，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是()aa bbcc d以上都不对解析a，b，c不共面，ab，ab，c不共面，p，q，c可构成空间的一个基底答案c7已知abc的三个顶点a(3,3,2)，b(4，3,7)，c(0,5,1)，则bc边上的中线长为()a2 b3c. d.解析bc的中点d的坐标为(2,1,4)，(1，2,2)|3.答案b8与向量a(2,3,6)共线的单位向量是()a(，)b(，)c(，)和(，)d(，)和(，)解析|a|7，与a共线的单位向量是(2,3,6)，故应选d.答案d9已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6且ab，则xy为()a3或1 b3或1c3 d1解析由|a|6，ab，得解得或xy1，或3.答案a10已知a(x,2,0)，b(3,2x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是()ax4 bx4c0x4 d4x0解析a，b为钝角，ab|a|b|cosa，b0，即3x2(2x)0，x4.答案b11已知空间四个点a(1,1,1)，b(4,0,2)，c(3，1，0)，d(1,0,4)，则直线ad与平面abc所成的角为()a30 b45c60 d90解析设平面abc的一个法向量为n(x，y，z)，(5，1,1)，(4，2，1)，由n0及n0，得令z1，得x，y，n(，1)又(2，1,3)，设ad与平面abc所成的角为，则sin，30.答案a12如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a. b.c. d.解析不妨令cb1，则cacc12，得o(0,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案a二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分把答案填在题中横线上)13已知i，j，k为单位正交基底，且aij3k，b2i3j2k，则向量ab与向量a2b的坐标分别是_；_.解析依题意知，a(1,1,3)，b(2，3，2)，则ab(1，2,1)，a2b(1,1,3)2(2，3，2)(5,7,7)答案(1，2,1)(5,7,7)14在abc中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则abc_.解析cos，abc.答案15正方体abcda1b1c1d1中，面abd1与面b1bd1所夹角的大小为_解析建立空间直角坐标系dxyz，如图设正方体的棱长为1，则a(1,0,0)，b(1,1,0)，b1(1,1,1)，d1(0,0,1)(1,0，1)，(1,1，1)，(1,1,0)设平面abd1的法向量为m(x1，y1，z1)，平面b1bd1的法向量为n(x2，y2，z2)，则由m0，m0，可得m(1,0,1)，由n0，n0，得n(1，1,0)，cosm，n.所求二平面的大小为60.答案6016在下列命题中：若a，b共线，则a，b所在的直线平行；若a，b所在的直线是异面直线，则a，b一定不共面；若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc，其中不正确的命题为_解析a，b共线，包括a与b重合，所以错空间任意两个向量均共面，所以错以空间向量的一组基底a，b，c为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以错当与a，b，c共面时，不成立，所以错答案三、解答题(本大题共6小题，满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知四棱锥pabcd的底面是平行四边形，如图，m是pc的中点，问向量，是否可以组成一个基底，并说明理由解，不可以组成一个基底理由如下：连接ac，bd相交于点o，abcd是平行四边形，o是ac，bd的中点在mbd中，连接mo，则()在pac中，m是pc的中点，o是ac的中点，2.，共面，故，不可以组成一个基底18(12分)设a12ijk，a2i3j2k，a32ij3k，a43i2j5k，试问是否存在实数a，b，c使a4aa1ba2ca3成立？如果存在，求出a，b，c的值；如果不存在，请说明理由解假设a4aa1ba2ca3成立由已知a1(2，1,1)，a2(1,3，2)，a3(2,1，3)，a4(3,2,5)，可得(2ab2c，a3bc，a2b3c)(3,2,5)解得：a2，b1，c3.故有a42a1a23a3.综上知，满足题意的实数存在，且a2，b1，c3.19(12分)四棱柱abcdabcd中，ab5，ad3，aa7，bad60，baadaa45，求ac的长解，()2()22222()259492(53cos6057cos4537cos45)9856.|，即ac的长为.20(12分)如图所示，pd垂直于正方形abcd所在的平面，ab2，pc与平面abcd所成角是45，f是ad的中点，m是pc的中点求证：dm平面pfb.证明以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由pc与平面abcd所成的角为45，即pcd45，得pd2，则p(0,0,2)，c(0,2,0)，b(2,2,0)，f(1,0,0)，d(0,0,0)，m(0,1,1)，(1,2,0)，(1,0,2)，(0,1,1)设平面pfb的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则x2，z1.故平面pfb的一个法向量为n(2,1，1)n0，n.又dm平面pfb，则dm平面pfb.21(12分)如图，正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab4，点e在c1c上，且c1e3ec.(1)证明a1c平面bed；(2)求二面角a1deb的余弦值解以d为坐标原点，射线da为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz.依题设b(2,2,0)，c(0,2,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,4)(0,2,1)，(2,2,0)，(2,2，4)，(2,0,4)(1)0，0，a1cbd，a1cde.又dbded，a1c平面dbe.(2)设向量n(x，y，z)是平面da1e的法向量，则n，n.2yz0,2x4z0.令y1，则z2，x4，n(4,1，2)cosn，.n，等于二面角a1deb的平面角，二面角a1deb的余弦值为.22(12分)正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是bb1，cd的中点(1)证明：平面aed平面a1fd1；(2)在ae上求一点m，使得a1m平面dae.解(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，e(2,2,1)，f(0,1,0)，a1(2,0,2)，d1(0,0,2)设平面aed的法向量为n1(x1，y1