【命题探究】高考数学知识点讲座 考点42 用空间向量法解题（三大角、距离、体积、平行（含解析）新人教A版.doc

【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点42用空间向量法解题（三大角、距离、体积、平行于垂直等问题）（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角；会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）和距离公式计算七种距离二知识梳理1异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法3直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角，一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角直线和平面所成角范围： 0，（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角4公式：平面a的斜线a与a内一直线b相交成角，且a与a相交成j1角，a在a上的射影c与b相交成j2角，则有5二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；6二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角说明：二面角的平面角范围是；二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直7二面角的求法：几何法；向量法8求二面角的射影公式：，其中各个符号的含义是：是二面角的一个面内图形f的面积，是图形f在二面角的另一个面内的射影，是二面角的大小9三种空间角的向量法计算公式：异面直线所成的角：；直线与平面(法向量)所成的角：；锐二面角：，其中为两个面的法向量10.点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短11.异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线12.公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线13两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；14公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；15两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离，即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离16.直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)17.两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长18.两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离19七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求20.用向量法求距离的公式：异面直线之间的距离：，其中直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量点a到平面的距离：，其中，是平面的法向量另法：点平面则 点a到直线的距离：，其中，是直线的方向向量两平行直线之间的距离：，其中，是的方向向量1.异面直线所成角例1. 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为a b c d 答案：c解析：本题考查异面直线夹角求法，方法一：利用平移，cdba,因此求eba中abe即可，易知eb=,ae=1,ab=,故由余弦定理求cosabe=，或由向量法可求.2.线面角例2. 在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 a b c d 答案：c 【解析】取bc的中点e，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有3.二面角例3. 如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小. 【解】如图，建立空间直角坐标系则a（2，0，0）、 c（0，2，0） a1（2，0，2），b1（0，0，2） 、c1（0，2，2） 2分设ac的中点为m，bmac, bmcc1;bm平面a1c1c,即=(1,1,0)是平面a1c1c的一个法向量.5分设平面的一个法向量是 =（x，y，z）， =（-2，2，-2）， =（-2，0，0） 7分 设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角.14分4.线面、面面垂直例4. 如图，在五面体abcdef中，fa 平面abcd, ad/bc/fe，abad，m为ec的中点，af=ab=bc=fe=ad (i) 求异面直线bf与de所成的角的大小；(ii) 证明平面amd平面cde；（iii）求二面角a-cd-e的余弦值. 解：点为坐标原点.设依题意得 （i） 所以异面直线与所成的角的大小为.（ii）证明： ， （iii） 又由题设，平面的一个法向量为 5.点面距离例5.在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，求：（）点到平面的距离；（）二面角的大小 解（）以s(o)为坐标原点，射线od,oc分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面即点a在xoz平面上，因此又因ad/bc，故bc平面csd，即bcs与平面yox重合，从而点a到平面bcs的距离为.()易知c(0,2,0)，d(,0,0). 因e为bs的中点.bcs为直角三角形 ,知 设b(0,2, )，0，则2，故b（0，2，2），所以e（0，1，1） .在cd上取点g，设g（），使gecd . 由故 又点g在直线cd上，即，由=（），则有联立、，解得g,故=.又由adcd，所以二面角ecda的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .因为=，,所以 故所求的二面角的大小为 .6.线线距离例6. 已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，求异面直线bd与b1c的距离分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题解：建立空间直角坐标系（如图），则b（0，0，0），c（1，0，0），d（1，1，0） b1（0，0，1），则设与都垂直的向量为，则由 和得，异面直线bd与b1c的距离：7.平行与垂直例7. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（i）求证：；（ii）设线段、的中点分别为、，求证： （iii）求二面角的余弦解: 因等腰直角三角形，所以又因为平面，所以平面，所以即两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (i) 设，则，从而 ，于是，,平面，平面， （ii），从而于是，又平面，直线不在平面内，故平面（iii）设平面的一个法向量为，并设（ 即取，则，从而（1，1，3）取平面d的一个法向量为 8.线面距离例8. 在五面体中，四边形为平行四边形，平面，求：（）直线到平面的距离；（）二面角的平面角的正切值解：（）如图以a点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则a(0,0,0) c(2,2,0) d(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ，面,所以直线ab到面的距离等于点a到面的距离.设a点在平面上的射影点为,则 因且,而,此即 解得,知g点在面上,故g点在fd上.,故有 联立,解得, 为直线ab到面的距离. 而 所以（）因四边形为平行四边形,则可设, .由得,解得.即.故由,因,故为二面角的平面角，又,所以9.开放性试题例9. 四棱锥sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=2a，点e是sd上的点，且（）求证：对任意的，都有（）设二面角caed的大小为，直线be与平面ab