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第八章假设检验 第一节概述 第二节单个正态总体的假设检验 第三节两个正态总体的假设检验 第四节总体分布函数的假设检验 上一页 下一页 返回 第一节概述 假设检验是统计推断的重要内容之一 分为参数假设检验和非参数假设检验 参数假设检验是对已知总体分布形式中的未知参数的假设检验 非参数假设检验是对总体分布函数形式或总体分布的性质进行的假设检验 上一页 下一页 返回 假设检验的一般提法 例 某工厂用包装机包装奶粉 额定标准为每袋净重0 5kg 设包装机称得奶粉重量X服从正态分布N 2 根据长期的经验知其标准差 0 015 kg 为检验某台包装机的工作是否正常 随机抽取包装的奶粉9袋 称得净重 单位 kg 为0 4990 5150 5080 5120 4980 5150 5160 5130 524问该包装机的工作是否正常 上一页 下一页 返回 依题意X N 0 0152 如果奶粉重量X的均值 等于0 5kg 就认为包装机的工作是正常的 于是提出假设 H0 0 0 5 H1 0 0 5 这样的假设叫统计假设 1 统计假设 关于总体X的分布 或随机事件之概率 的各种论断叫统计假设 简称假设 用H表示 其中需要保护 不能轻易否定的假设称为原假设或零假设 记为H0 当零假设不成立时必定选择的假设称为备择假设 记为H1 上一页 下一页 返回 统计假设提出之后 我们关心的是它的真伪 所谓对假设H0的检验 就是根据来自总体的样本 按照一定的规则对H0作出判断 是接受 还是拒绝 这个用来对假设作出判断的规则叫做检验准则 简称检验 如何对统计假设进行检验呢 我们结合上例来说明假设检验的基本思想和做法 在上例中所提假设是H0 0 0 5 备择假设H1 0 由于要检验的假设涉及总体均值 故首先想到是否可借助样本均值这一统计量来进行判断 从抽样的结果来看 样本均值 2 假设检验的基本思想 上一页 下一页 返回 对于与 0之间的差异可以有两种不同的解释 1 原假设H0是正确的 即 0 0 5 只是由于抽样的随机性造成了与 0之间的差异 2 原假设H0是不正确的 即 0 0 5 由于系统误差 也就是包装机工作不正常 造成了与 0之间的差异 与 0 0 5之间有差异 对于这两种解释到底哪一种比较合理呢 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 假设检验的基本思想是小概率事件原理 3 两类错误 2 原假设H0实际是不正确的 但是却被错误的接受了 这样就犯了 取伪 的错误 通常称为第二类错误 其发生的概率P 接受H0 H0不真 1 原假设H0实际是正确的 但是却被错误地拒绝了 就犯了 弃真 的错误 通常称为第一类错误 所以犯第一类错误的概率就是条件概率P 拒绝H0 H0为真 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 注 人们希望犯两类错误的概率 与 能同时很小 这在样本容量一定时是不可能的 因为这时 减小犯其中一类错误的概率 会增加犯另一类错误的概率 理论上可以证明只有当样本容量增大时 才能使犯两类错误的概率都减小 但这样做既不经济也不现实 实际问题中 一般总是控制犯第一类错误的概率 在适当控制 中制约 最常用的选择是 0 05或0 01或0 1 上一页 下一页 返回 4 假设检验的几种形式 先假设后检验 第二节单个正态总体的假设检验 设总体 抽取容量为n的样本X1 X2 Xn 样本均值与样本方差分别是 在一定条件下检验关于未知参数或的某些假设 1 单个正态总体数学期望的假设检验 上一页 下一页 返回 由 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 例1 根据长期经验和资料的分析 某砖厂生产的砖的 抗断强度 X服从正态分布 方差 2 1 21 从该厂产品中随机抽取6块 测得抗断强度如下 单位 kg cm 2 32 5629 6631 6430 0031 8731 03检验这批砖的平均抗断强度为32 50kg cm 2是否成立 取 0 05 并假设砖的抗断强度的方差不会有什么变化 解 提出假设H0 0 32 50 H1 0 选取统计量 Z 若H0为真 则Z N 0 1 上一页 下一页 返回 对给定的显著性水平 0 05 求z 2使 P Z z 2 这里z 2 z0 025 1 96 计算统计量Z的观察值 3 05 z0 判断 由于 z0 3 05 z0 025 1 96 所以在显著性水平 0 05下拒绝H0 即不能认为这批产品的平均抗断强度是32 50kg cm 2 上一页 下一页 返回 2 未知时 关于的假设检验 t检验法 设总体X N 2 方差 2未知 检验 H0 0 H1 0 由于 2未知 不是统计量 2的无偏估计量 样本方差S2代替 2 这时自然想到用 t n 1 由于 故选取样本的函数 t 作为统计量 上一页 下一页 返回 当H0为真 0 时t t n 1 对给定的检验显著性水平 由 P t t 2 n 1 P t t 2 n 1 2 得t分布分位点t 2 n 1 直接查t分布表 利用样本观察值 计算统计量t的观察值 t0 因而原假设H0的拒绝域为 上一页 下一页 返回 所以 若 t0 t 2 n 1 则拒绝H0 接受H1 若 t0 t 2 n 1 则接受原假设H0 上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法 在实际中 正态总体的方差常为未知 所以常用t检验法来检验关于正态总体均值的问题 例2 设某次考试考生成绩服从正态分布 从中随机抽出36位考生的成绩 算得平均成绩为66 5分 标准差为15分 问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分 取显著性水平 0 05 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 3 双边检验与单边检验 H0为 0 而备择假设H1 0意思是 可能大于 0 也可能小于 0 称为双边备择假设 而称形如H0 0 H1 0的假设检验为双边检验 有时我们只关心总体均值是否增大 例如 试验新工艺以提高材料的强度 这时所考虑的总体的均值应该越大越好 如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大 则可考虑采用新工艺 上一页 下一页 返回 H0 0 H1 0 此时 我们需要检验假设 这种假设检验 称为右边检验 类似地 有时需要检验假设 H0 0 H1 0 这种假设检验 称为左边检验 右边检验与左边检验统称为单边检验 下面来讨论单边检验的拒绝域 设总体X N 2 2为已知 x1 x2 xn是来自X的样本观察值 给定显著性水平 先求检验问题H0 0 H1 0 的拒绝域 上一页 下一页 返回 而在H1为真时 由于是 的无偏估计 当 偏大时 也偏大 从而Z往往偏大 因此拒绝域的形式为 得k z 故拒绝域为 Z z 上一页 下一页 返回 类似地 左边检验问题 H0 0 H1 0 的拒绝域为 例3 从甲地发送一个信号到乙地 设发送的信号值为 由于信号传送时有噪声迭加到信号上 这个噪声是随机的 它服从正态分布N 0 22 从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布N 22 的随机变量 设甲地发送某信号5次 乙地收到的信号值为 8 410 59 19 69 9由以往经验 信号值为8 于是乙方猜测甲地发送的信号值为8 能否接受这种猜测 取 0 05 上一页 下一页 返回 解按题意需检验假设 H0 8 H1 8 这是右边检验问题 其拒绝域如下 所以拒绝H0 认为发出的信号值 8 1 双边检验 2 单个正态总体方差的假设检验 检验法 设总体 未知时 检验假设 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 例4 某厂生产的某种型号的电池 其寿命长期以来服从方差 2 5000 小时2 的正态分布 现有一批这种电池 从它的生产情况来看 寿命的波动性有所改变 现随机抽取26只电池 测得其寿命的样本方差s2 9200 小时2 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化 取 0 02 解本题要求在 0 02下检验假设 H0 2 5000 H1 2 5000 n 26 上一页 下一页 返回 02 5000 拒绝域为 由观察值s2 9200得 46 44 314 所以拒绝H0 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化 上一页 下一页 返回 2 单边检验 右检验或左检验 设总体X N 2 未知 检验假设 H0 2 02 H1 2 02 右检验 由于X N 2 故随机变量 当H0为真时 统计量 对于显著性水平 有 上一页 下一页 返回 于是有 在一次的抽样中认为不可能发生 所以H0的拒绝域是 类似地 可得左检验假设H0 2 02 H1 2 02 的拒绝域为 上一页 下一页 返回 例5 今进行某项工艺革新 从革新后的产品中抽取25个零件 测量其直径 计算得样本方差为s2 0 00066 已知革新前零件直径的方差 2 0 0012 设零件直径服从正态分布 问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小 0 05 解 1 提出假设H0 2 02 0 0012 H1 2 02 2 选取统计量 上一页 下一页 返回 当H0为真时 故拒绝域为 n 1 13 848 5 作判断 即认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生 产的零件直径的方差 上一页 下一页 返回 以上讨论的是在均值未知的情况下 对方差的假设检验 这种情况在实际问题中较多 至于均值已知的情况下 对方差的假设检验 其方法类似 只是所选的统计量为 当 2 02为真时 关于单个正态总体的假设检验可列表8 2 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 土 上一页 下一页 返回 上一页 下一页 返回 第三节两个正态总体的假设检验 上一页 下一页 返回 1 两正态总体数学期望假设检验 1 方差已知 关于数学期望的假设检