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周期（循环）数列（扩展）的运用对于数列an，如果存在一个常数t,对于任意整数nn，使得对任意的正整数恒有ai=a(i+t)成立，则称数列an是从第n项起的周期为t的周期数列。典型例题： 例1. （2012年全国课标卷文5分）数列满足，则的前60项和为【 】（a）3690 （b）3660 （c）1845 （d）1830【答案】d。【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。【解析】求出的通项：由得， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，（）。，的四项之和为（）。设（）。则的前项和等于的前15项和，而是首项为10，公差为16的等差数列，的前项和=的前15项和=。故选d。例2. （2012年湖南省文5分）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.中国教#*育&出版网（1）b2+b4+b6+b8=.；（2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是.【答案】（1）3；（2）2。【考点】数列问题。【解析】（1）观察知；依次类推；，；b2+b4+b6+b8=。（2）由（1）知cm的最大值为。例3. （2012年上海市文18分）对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（4分）（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（6分）（3）设，常数，若，是的控制数列，求（8分）【答案】解：（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5。 （2）证明：，。，即。 。 （3）对，； ；。 比较大小，可得。 ，即； ，即。 又，。 = = =。 【考点】数列的应用。【解析】（1）根据题意，可得数列。（2）依题意可得，又，
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