【备战】高考数学 高频考点归类分析 排列组合、二项式定理（真题为例）.docVIP

高频考点 排列组合、二项式定理一、分类计数原理的应用：典型例题： 例1. （2012年北京市理5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为【 】a. 24 b. 18 c. 12 d. 6【答案】b。【考点】排列组合问题。【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3 种情况），之后十位（2 种情况），最后百位（2 种情况），共12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位（3 种情况），十位（2 种情况），百位（不能是o ，一种倩况），共6 种。因此总共有12 + 6 = 18 种情况。故选b。例2. （2012年安徽省理5分）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到份纪念品的同学人数为【 】 或 或 或 或【答案】。【考点】排列组合。【解析】，在6位同学的两两交换中少2种情况。不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到3份纪念品，乙、丙收到4份纪念品，丁、戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为人；设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到4份纪念品，戍、己收到5份纪念品，此时收到4份纪念品的同学人数为4人。故选。例3. （2012年山东省理5分）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为【 】a 232 b 252 c 472 d 484【答案】c。【考点】排列组合的应用。【解析】。故选c。例4. （2012年浙江省理5分）若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有【 】 a60种 b63种 c65种 d66种【答案】d。【考点】分类讨论，计数原理的应用。【解析】1，2，2，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有： 4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：种；4个都是奇数：种。不同的取法共有66种。故选d。例5. （2012年陕西省理5分） 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有【 】a. 10种 b.15种 c. 20种 d. 30种【答案】d。【考点】排列、组合及简单计数问题，分类计数原理。【解析】根据分类计数原理，所有可能情形可分为3:0，3:1，3:2三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果：当比分为3:0时，共有2种情形；当比分为3:1时，共有种情形；当比分为3:2时，共有种情形。总共有种。故选d。二、分步计数原理的应用：典型例题：例1. （2012年全国大纲卷理5分）将字母排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有【 】a12种 b18种 c24种 d36种【答案】a。【考点】排列组合的应用，分步计数原理。【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，再填写第二行第一列的数有2种，一共有322=12种。故选a。例2. （2012年全国大纲卷文5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有【 】a. 240种 b.360种 c.480种 d.720种【答案】c。【考点】排列组合的应用。【解析】根据特殊元素优先的原则，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，在其余4个次序演讲有种组合，则其余5 位选手进行全排列。因此，不同的演讲次序共有种。故选c。例3. （2012年全国课标卷理5分）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有【 】种 种 种 种【答案】。【考点】排列组合。【解析】每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有种。故选。例4. （2012年辽宁省理5分）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为【 】(a)33！ (b) 3(3！)3 (c)(3！)4 (d) 9！【答案】c。【考点】分步计数原理。【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有种排法，三个家庭共有种排法；再把三个家庭进行全排列有种排法。因此不同的坐法种数为。故选c。例5. （2012年湖北省理5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999。则（）4位回文数有 个；（）2n1（nn+）位回文数有 个。【答案】（）90；（）。【考点】计数原理的应用。【解析】（i）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法，故4位回文数有910=90个。（ii）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、n、n+1个数字，共有10101010=10n种选法，故2n+1（nn+）位回文数有个。三、二项式定理的应用：典型例题： 例1. （2012年四川省理5分）的展开式中的系数是【 】a、 b、 c、 d、【答案】d。【考点】二项式的通项公式。【解析】二项式展开式的通项公式为，令=2，则。的系数是。故选d。例2. （2012年天津市理5分）在的二项展开式中，的系数为【 】（a）10 （）-10（）40（）-40【答案】d。【考点】二项式定理。【分析】=，令，得，的系数为。故选d。例3. （2012年安徽省理5分）的展开式的常数项是【 】 21世纪教育网【答案】。【考点】二项式定理。【解析】第一个因式取，第二个因式取 得： ，第一个因式取，第二个因式取得：， 展开式的常数项是。故选。例4. （2012年重庆市文5分） 的展开式中的系数为【 】（a）-270 （b）-90 （c）90 （d）270【答案】a。【考点】二项式系数的性质。【分析】设的展开式的通项公式为，则，令r=3，得的系数为：。故选a。例5. （2012年湖北省理5分）设，且，若能被13整除，则【 】a.0 b.1 c.11 d.12【答案】d。【考点】二项式定理的应用。【解析】52能被13整除， 。显然上式除了外，其余各个因式都能被13整除。能被13整除，只需。故选d。例6. （2012年重庆市理5分）的展开式中常数项为【 】a. b. c. d.105【答案】b。【考点】二项式定理的应用【分析】求二项展开式中特定项一般利用通项公式解决： 的展开式的通项为，令得， 常数项为。故选b。例7. （2012年全国大纲卷理5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 。【答案】56。【考点】二项式定理中通项公式的运用。【解析】利用二项式系数相等，确定的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。根据已知条件可知。的展开式的通项为，令，。系数为。例8. （2012年全国大纲卷文5分）的展开式中的系数为 .【答案】7。【考点】二项式定理中通项公式的运用。【解析】利用二项式系数展开，分析项的系数。的展开式的通项为，令，。的系数为。例9. （2012年上海市理4分）在的二项展开式中，常数项等于 .【答案】160。【考点】二项式定理。【解析】展开式通项，令，得.常数项为。例10.（2012年广东省理5分）的展开式中的系数为。（用数字作答）【答案】20。【考点】二项式定理的应用。【解析】的展开式的通项为， 令 得。的展开式中的系数为。例11. （2012年上海市文4分）在的二项式展开式中，常数项等于 【答案】。【考点】二项式定理。【解析】展开式通项，令，得.常数项为。例12. （2012年湖南省理5分）的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答）【答案】160。【考点】二项式定理。【解析】的展开式项公式是， 令，解得。 二项展开式中的常数项为。例13