【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用导数求函数的最（极）值（真题为例）.doc

【一线名师倾力整理推荐】备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：应用导数求函数的最（极）值一、极限的计算：典型例题： 例1. （2012年四川省理5分）函数在处的极限是【 】a、不存在 b、等于 c、等于 d、等于【答案】a。【考点】分段函数，极限。【解析】分段函数在处不是无限靠近同一个值，故不存在极限。故选a。例2. （2012年重庆市理5分） .【答案】。【考点】极限的运算。【分析】。例3. （2012年上海市理4分）有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为，则 .【答案】。【考点】无穷递缩等比数列的极限，等比数列的通项公式。【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此，。二、应用导数求函数的最（极）值：典型例题： 例1.（2012年重庆市理5分）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【 】（a）函数有极大值和极小值 （b）函数有极大值和极小值 （c）函数有极大值和极小值 （d）函数有极大值和极小值【答案】d。【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。【分析】由图象知，与轴有三个交点，2，1，2， 。 由此得到， ，和在上的情况：212000000极大值非极值极小值 的极大值为，的极小值为。故选d。例2. （2012年陕西省理5分）设函数，则【 】a. 为的极大值点 b.为的极小值点c. 为的极大值点 d. 为的极小值点【答案】d。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】，令得。当时，为减函数；当时，为增函数，所以为的极小值点。故选d。例3. （2012年陕西省文5分）设函数则【 】a=为的极大值点 b=为的极小值点c=2为 的极大值点 d=2为 的极小值点【答案】d。【考点】应用导数求函数的极值。【解析】，令得。当时，为减函数；当时，为增函数。为的极小值点。故选d。例4. （2012年广东省理14分）设a1，集合，（1）求集合d（用区间表示）（2）求函数在d内的极值点。【答案】解：（1）设，方程的判别式当时，恒成立，。，即集合d=。当时，方程的两根为，。，即集合d=。当时，方程的两根为，。，即集合d=。（2）令得的可能极值点为。 当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：00极大值极小值在d内有两个极值点为：极大值点为，极小值点为。当时，由（1）知=。， ，随的变化情况如下表：0极大值在d内仅有一个极值点：极大值点为，没有极小值点。当时， 由（1）知。，。在d内没有极值点。【考点】分类思想的应用，集合的计算， 解不等式，导数的应用。【解析】（1）根据根的判别式应用分类思想分、讨论即可，计算比较繁。 （2）求出，得到的可能极值点为。仍然分、讨论。例5. （2012年浙江省理14分）已知，函数（）证明：当时， （i）函数的最大值为； （ii）；（）若对恒成立，求的取值范围【答案】() 证明：()当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a。() 设， ，令。当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，即|2ab|a0在0x1上恒成立。()解：由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大。11对x0，1恒成立，|2ab|a1。取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab。作图如下：由图易得：当目标函数为zab过p(1，2)时，有所求ab的取值范围为：。【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。【解析】() ()求导后，分b0和b0讨论即可。() 利用分析法，要证|2ab|a0，即证|2ab|a，亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a。 （）由（）知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大根据11对x0，1恒成立，可得|2ab|a1，从而利用线性规划知识，可求ab的取值范围。例6. （2012年江西省文14分）已知函数在上单调递减且满足。（1）求的取值范围；（2）设，求在上的最大值和最小值。【答案】解：（1），。函数在上单调递减，对于任意的，都有。由得；由得。又当=0时，对于任意的，都有，函数符合条件；当=1时，对于任意的，都有，函数符合条件。综上所述，的取值范围是01。（2）。（i）当=0时，对于任意有，在0，1上的最小值是，最大值是；（ii）当=1时，对于任意有，在0，1上的最小值是，最大值是；（iii）当01时，由得，若，即时，在0，1上是增函数，在0，1上最大值是，最小值是；若，即时，在取得最大值g，在=0或=1时取到最小值：，当时，在=0取到最小值；当时，在=1取到最小值。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性。【解析】（1）由题意，函数在0，1上单调递减且满足，可求出函数的导数，将函数在0，1上单调递减转化为导数在0，1上的函数值恒小于等于0，再结合，这两个方程即可求得取值范围。（2）由题设条件，先求出的解析式，求出导函数，由于参数的影响，函数在0，1上的单调性不同，结合（1）的结论及分=0，=1， 01三类对函数的单调性进行讨论，确定并求出函数的最值。例7. （2012年重庆市文13分）已知函数在处取得极值为（1）求、的值（6分）；（2）若有极大值28，求在上的最大值（7分） 【答案】解：（）， 。 在点 处取得极值，即，化简得，解得。（）由（）得，令 ，得。， 和在上的情况如下表：00极小值极大值由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值。有极大值28，解得。此时， 上的最小值为。【考点】函数的导数与极值，最值之间的关系。【分析】（）先对函数进行求导，根据=0，求出、的值。（）根据（）对函数进行求导，令，解出，列表求出函数的极大值和极小值。再比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值。例8. （2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数【答案】解：（1）由，得。 1和是函数的两个极值点， ，解得。 （2） 由（1）得， ， ，解得。 当时，；当时， 是的极值点。 当或时， 不是的极值点。 的极值点是2。（3）令，则。 先讨论关于 的方程 根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为i 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一i ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【考点】函数的概念和性质，导数的应用。【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 （2）由（1）得，求出，令，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。例9. （2012年山东省理5分）设函数，若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点a（x1，y1）,b(x2，y2),则下列判断正确的是【 】a. 当a0时，x1x20 b. 当a0， y1y20时，x1x20，y1y20时，x1x20， y1y20【答案】b。【考点】导数的应用。【解析】令，则。设，。令，则要使的图像与图像有且仅有两个不同的公共点必须：，整理得。取值讨论：可取来研究。当时，解得，此时，此时；当时，解得，此时，此时。故选b。例10. （2012年天津市理14分）已知函数的最小值为，其中.（）求的值；（）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（）证明.【答案】解：（）函数的定义域为， 求导函数可得. 令，得。当变化时，和的变化情况如下表：0极小值在处取得极小值。由题意，得。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，即。求导函数可得。令，得。当时， 0，在（0，+）上恒成立，因此在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有，即对任意的，有成立。符合题意。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增，因此取(0， )时，即有不成立。 不合题意。综上，实数的最小值为。（）证明：当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，。在（2）中，取，得，。综上，。【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】（）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数的最小值为，即可求得的值。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，求导函数，令导函数等于0，分类讨论：当 时，0，在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增。由此可确定的最小值。（）当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，由，在（）中，取