【备考 志鸿优化设计】中考数学总复习 基础讲练 第16讲 直角三角形（含答案点拨） 新人教版.doc

第16讲直角三角形考纲要求命题趋势1了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定2掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1直角三角形的两锐角_2直角三角形中，30角所对的边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、直角三角形的判定1有一个角等于_的三角形是直角三角形2有两角_的三角形是直角三角形3如果三角形一边上的中线等于这边的_，则该三角形是直角三角形4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三角形是直角三角形自主测试1在abc中，若三边bc，ca，ab满足bc:ca:ab5:12:13，则cos b()a b c d2如图，在abc中，de是中位线，abc的平分线交de于f，则abf一定是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d等边三角形3下列各组数据分别为三角形的三边长：2,3,4；5,12,13；，；m2n2，m2n2，2mn.其中是直角三角形的有()a b c d考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在abc中，abac，bac90，点d为边bc上的任一点，dfab于f，deac于e，m为bc的中点，试判断mef的形状，并证明你的结论分析：连接am，可得ambm，然后证明bfmaem，得到fmme，emf90.解：mef是等腰直角三角形连接am，bac90，am是斜边bc的中线，mambmc，mabc.abac，bbammae45.dfab，deac，afdaedfae90，四边形dfae是矩形，fdea.又fbfd，fbea，bfmaem(sas)，fmem，bmfame.amfbmf90，emfamfame90，mef是等腰直角三角形方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得触类旁通1 具备下列条件的abc中，不能成为直角三角形的是()aabc ba90ccabc dac90考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连接dc.(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：dcbe.(1)解：图2中abeacd.证明如下：abc与aed均为等腰直角三角形，abac，aead，bacead90.baccaeeadcae，即baecad.又abac，aead，abeacd.(2)证明：由(1)abeacd知acdabe45.又acb45，bcdacbacd90，dcbe.方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边ac6 cm，bc8 cm，现将直角边ac沿直线ad折叠，使它落在斜边ab上，且与ae重合，求cd的长解：设cd长为x cm，由折叠得acdaed.aeac6 cm，aedc90，decdx cm.在rtabc中，ac6 cm，bc8 cm，ab10(cm)ebabae1064(cm)，bdbccd(8x) cm，在rtdeb中，由勾股定理得de2be2db2.x242(8x)2，解得x3.cd的长为3 cm.方法总结 1勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边2勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形触类旁通2 如图，在四边形abcd中，a90，ab3，ad4，cd13，cb12，求四边形abcd的面积考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上a，b两站(视为直线上两点)相距14 km，c，d为两村庄(可视为两个点)，daab于a，cbab于b，已知da8 km，cb6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站e，使c，d两村到e站的距离相等，则e站应建在距a站多少千米处？分析：因为daab于a，cbab于b，在ab上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解解：设e站应建在距a站x km处，根据勾股定理有82x262(14x)2，解得x6.所以e站应建在距a站6 km处方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型通过解决数学问题，使实际问题得以解决触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长1(2012广东广州)在rtabc中，c90，ac9，bc12，则点c到ab的距离是()a b c d2(2012浙江湖州)如图，在rtabc中，acb90，ab10，cd是ab边上的中线，则cd的长是()a20 b10c5 d3(2012浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，bac90，ab3，ac4，点d，e，f，g，h，i都在矩形klmj的边上，则矩形klmj的面积为()a90 b100 c110 d1214(2012山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点d恰好放在等腰直角三角板的斜边ab上，bc与de交于点m.如果adf100，那么bmd为_.5(2012四川巴中)已知a，b，c是abc的三边长，且满足关系式|ab|0，则abc的形状为_6(2012重庆)如图，在rtabc中，bac90，点d在bc边上，且abd是等边三角形若ab2，求abc的周长(结果保留根号)1如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为()a3 cm b6 cm c3cm d6cm2在abc中，三边长分别为a，b，c，且ac2b，cab，则abc是()a直角三角形 b等边三角形c等腰三角形 d等腰直角三角形3一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是()a5 b25 c5或25 d无法确定4如图，在rtabc中，以三边ab，bc，ca为直径向外作半圆，设直线ab左边阴影部分的面积为s1，右边阴影部分的面积和为s2，则()as1s2 bs1s2cs1s2 d无法确定5直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将abc如图那样折叠，使点a与点b重合，折痕为de，则的值是()a b c d6如图，在rtabc中，acb90，点d是斜边ab的中点，deac，垂足为e，若de2，cd2，则be的长为_7如图，已知等腰rtabc的直角边长为1，以rtabc的斜边ac为直角边，画第二个等腰rtacd，再以rtacd的斜边ad为直角边，画第三个等腰rtade，依此类推直到第五个等腰rtafg，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_8如图，已知点d为等腰rtabc内一点，cadcbd15，e为ad延长线上的一点，且ceca.(1)求证：de平分bdc；(2)若点m在de上，且dcdm，求证：mebd.参考答案导学必备知识自主测试1cbc2ca2ab2，c90，cos b.2b3d探究考点方法触类旁通1d触类旁通2解：在rtabd中，bd5，在bcd中，cd13，cb12，bd5，cb2bd2cd2.dbc90.s四边形abcdsabdsdbcabadbcbd3412563036.触类旁通3解：在rtabc中，ac8，bc6，由勾股定理得，ab10，扩充部分为rtacd，扩成等腰三角形abd，应分以下三种情况：(1)如图1，当abad10时，可求得cdcb6，故abd的周长为32 m.(2)如图2，当abbd10时，可求得cd4，由勾股定理得ad4，故abd的周长为(204) m.(3)如图3，当ab为底时，设adbdx，则cdx6，由勾股定理得(x6)282x2，则x，故abd的周长为m.品鉴经典考题1a根据题意画出相应的图形，如图所示：在rtabc中，ac9，bc12，根据勾股定理得：ab15.过点c作cdab，交ab于点d，又sabcacbcabcd，cd，则点c到ab的距离是.2c在rtabc中，acb90，ab10，cd是ab边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则cd的长是5.3c如图，延长ab交kf于点o，延长ac交gm于点p，所以，四边形aolp是正方形，边长aoabac347，所以，kl3710，lm4711，因此，矩形klmj的面积为1011110.故选c.485adf100，edf30，mdb180adfedf1801003050，bmd180bmdb180455085.5等腰直角三角形由题意得：c2a2b20，ab0，c2a2b2，ab，则abc的形状为等腰直角三角形6解：abd是等边三角形，b60.bac90，c180906030，bc2ab4.在rtabc中，由勾股定理得：ac2，abc的周长为acbcab24262.研习预测试题1d2a由ac2b，cab，可得cb，ab，于是得a2b2c2，所以abc是直角三角形3c4a5c由折叠性质可知，aebe，设ce为x，则be8x.在rtbce中，62x2(8x)2，所以x.故.64点d是ab的中点，acb90，deac，cdab，debc，ab4，bc4.在rtacb中，ac8，ceac4.cebc4，acb90，be4.7根据题意易知cdac，adde()22，efae2，affg24，ag4，所以所求图形的面积ssabcs梯形acdes梯形aefg11(2)(24