实数与向量相乘.doc

实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.要点诠释：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：的长度：；的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量相乘的运算律设为实数，则：（1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.要点诠释：（1）定理中，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数，使 . 要点五、向量的线性运算1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.要点诠释： （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量 (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。如图： 从物理学的角度上面的现象是：将一个力分解为不同方向的两个力。例：1如果向量，是同一平面内的两个不平行向量。已知向量是该平面内的一个非零向量，画出向量在向量，方向上的分向量吗？练习：1.已知向量，和， 求作：（1）向量分别在，方向上的分向量。 （2）向量分别在，方向上的分向量。训练题：1、计算: (1). _ (2). _.(3). =_.(4). =_.(5) =_ (6). =_.2、计算:=_。3、已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,设,写出向量关于、的分解式_.4、如图，在ABCD中，点F是AB的中点，E点在BC上， 且BC=3BE，设，那么向量关于、的分解式为=_。5、AD是ABC的中线，G是重心, ,则=_，_。6、如图，点D、E在ABC边AB和AC上, DEBC,，设，试用向量表示向量:_7、如图，ABCD，且OC:AO=3：4，设，那么用、的线性表示为=_8、已知向量、满足关系式,用向量、表示向量.练习：一、 填空题1、 若是非零向量，则的方向是 ：当时，与的方向 。2、 如果两个非零向量满足(是非零实数)，那么和一定是_；当时，它们是_的向量；当时，它们是_的向量3、 设是非零实数，是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：_4、 如果是两个不平行的向量，那么叫做的_5、 对于非零向量，它的长度为，如果把与它同向的单位向量记作，那么向量可以记作_6、 设是单位向量，若与方向相同，且满足，请用表示：_7、 如果则_8、 在四边形中，设，如果那么四边形一定是_（填四边形的名称）9、 已知的重心是点，则_10、 设是平行四边形的对角线的交点，点为平面内与不重合的任意一点，设，试用表示：_二、选择题11、 下列式子中，错误的是（ ）A. B. C. D. 12、 向量化简后的结果等于( )A. B. C. D. 13、 点在线段上，且，若，则的值等于（ ）A. B. C. D. 14、 给出下列个命题，其中真命题的个数是( )个（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等A. B. C. D.15、 已知一个单位向量，设是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 三、解答题16、 计算：。17、已知向量关系式试用向量表示。18、已知非零向量，请用作图方法验证（不写作图方法，保留作图痕迹，请写出验证过程）。 19、在中，为的三等分点，为三等分点，ABCEGFH写出关于的线性组合。20、如图，已知平行四边形中，点分别是边的中点，与对角线分别交于点，设，（满分分