勾股定理（二）.doc

17.1勾股定理（二）学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解勾股定理的由来 经历探索勾股定理的过程2、理解并能用不同的方法证明勾股定理，并能简单的运用【重点难点】重点：理解勾股定理，理解证明勾股定理的证明方法难点：勾股定理的证明知识概览图直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方公式（c为斜边长）勾股定理新课导引如果梯子底端离建筑物5米，17米长的梯子可以达到该建筑物的高度是多少？根据题目的意思，我们画出如右图所示的图形，已知AB=17米，AC=5米，ACB=90，如何求这个三角形的BC边的长呢？教材精华知识点1 有关勾股定理的历史古时候，把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，因此有勾3、股4、弦5之说.历史上，周朝数学家商高对周公说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五.”意思是说：矩形以其对角线相折所成的直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦必为5.这足以说明我国是最早了解勾股定理的国家之一.知识点2 勾股定理的探索让我们通过计算面积的方法探索勾股定理.观察图18-1，正方形A中有9个小方格，即A的面积是9个单位面积.正方形B中有9个小方格，即B的面积是9个单位面积.正方形C中有18个小方格，即C的面积是18个单位面积.可以发现，C的面积=A的面积+B的面积.知识点3 勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.【拓展】 （1）勾股定理存在的前提是直角三角形，如果不是直角三角形，那么三边之间就没有这种关系了.（2）勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想的典范.（3）勾股定理的证明.证明勾股定理的方法有许多，现在给出几种证法（拼图法）：证法1：如图18-2所示，因为大正方形的边长是a+b，所以面积为，而中间小正方形的面积为c2,周围四个直角三角形面积和为4，故有+4，整理得.证法2：如图18-3所示，图为大正方形的边长是a+b，所以它的面积为，又因为该正方形的边长与如图18-2所示的正方形的边长相等，所以面积也相等.故有+4=c2+4，整理得.证法3：如图18-4所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的等腰直角三角形拼成的.S梯形，S梯形2+=ab+,，整理得.证法4：如图18-5所示，该图是由4个全等的直角三角形拼成的，且中间是正方法.以c为边的大正方形面积是c2，而4个直角三角形的面积和为4，且中间的小正方形的面积是.c2=4+（b-a）2,整理得.知识点4 勾股定理的应用（1）运用直角三角形三边的数量关系来解决生活中的实际问题，如已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长.（2）运用直角三角形三边的数量关系的变式，即勾股定理变式.由可以得到如下关系：；.课堂检测基础知识应用题1、在ABC中，C=90.（1）若a=5，b=12，求c；（2）若c=26，b=24，求a.2、在一棵树的10 m高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树20 m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的路程相等,那么这棵树有多高?综合应用题3、如图18-10所示，在ABC中，A=60，AB=15 cm，AC=24 cm，求BC的长. 4、如图18-11所示，A，B两个村子在河CD同侧，A，B两村到河的距离分别为AC=1 km，BD=3 km,CD=3 km.现要在河边CD上建一水厂，向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每千米2000元.请在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用.探索创新题5、已知RtABC中，A，B，C的对边长分别为a,b,c，设ABC的面积为S，周长为l.(1) 请你完成下面的表格；a,b,ca+b-c3,4,55,12,138,15,17（2）仔细观察上表中你填定的数据规律，如果a,b,c为已知的正实数，且a+b-c=m，那么= （用含m的代数式表示）；（3）请说明你写的猜想的推理过程.体验中考1、图18-19是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是 （ ） A13 B26C47 D942、如图18-20所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）A5 B25C10+5 D35【解题方法