均值不等式与轮换式的精彩演绎——从清华自招试题及《数学通报》1863问题说起.pdf

4 福建中学数学 2 0 l 4年第5 期 直线 Y 一 2 p上任意一点 过 点 引抛物线的切线 切点分别为 A B A B中点为 直线 M N与抛物线 交于点 P 设切线 M A MB与 Y 轴分别交于点 E F 则 1 直线 A B过定点 Q 且 足 k 点 M 除 0 一 2 p 外 为定值 2 直线 M A A B M B成 等差数列 且 为定值 提升 2探究切点弦与焦点弦的位置关系 可有 如下命题 2 2 命题 1 0设椭 圆方程为 l a b 0 P a 19 为椭 圆右准线任意一点 过 P引椭 圆的两条切线 切点分别为 B 则直线 A B恒过椭圆的右焦点F A PF L A B v 2 2 命题 1 1设双曲线方程为 一 1 点F c 0 a D 为它的右焦点 J P Y o 为双曲线右准线 上任意一 点 过 P引双 曲线 的两条切线 切点分别 为 A B 则三点 A F B共线 且 P F上A B 通过 以上的思考与提升可使学生发现 圆锥曲线 具有共 同的渊源 在很多性质上具有通性 平时学 习中细心观察 大胆联想 就能发现有价值 的探究 资源 从而把握问题 的本质 体验创新的乐趣 总之 对于一道试题 重要的不是试题本身 而在于对待试题的态度 教学 中要讲背景和条件 要讲思路和过程 重视数学思想和方法 并能提升 其本质 就可能得出更进一步 更一般的结论 使 学生 自觉 主动 深层次地参与到教学活动之 中 从数理两个方面发展探索能力 培养创新精神 加 强应用意识 争取在每一个问题上向前走一步 我 们的学 习将变得更加丰富多彩 参考文献 1 王芝平 动感设计轻松破解数学压轴题 陕西师范大学出版社 2 1 0 9 均值不等式与轮换式的精彩演绎 从清华 自招试题及 数学通报 1 8 6 3问题说起 王淼 生 福建省厦门第一 中学 3 6 1 0 0 3 2 0 0 9年清华大学 自主招生一道试题 详见本文 例 1 一经出炉便 引起许多读者的密切关注与探索 笔者拜读文 1 文 2 文 3 深受启 发 其 中文 1 给出了两种证明方法 即方法 1 利用数学归纳法并 结合重要不等式 方法 2 利用三角换元并结合二项 式定理 但其证明推理过程较为复杂 文 3 也给出 了两种证明方法 即方法 l 利用二项式定理并结合 放缩 方法 2 构造函数并利用求导 文 2 虽然给出 了利用均值不 等式的证 明方法 遗 憾的是作者 既没 有指出为何这样构思 也就是说对 读者 尤其是中 学生 难 以起到借鉴和指导作 用 更没有乘胜追击 地给予推广 倒是文 3 给出了推广 即命题 1 与命 题 2 美中不足的是其推广 的结论似乎与其提供 的证 明方法毫无关联 因此文 3 的作者 自己也谈到 因 命题 1 命题 2的证 明用前面两种方法难以凑效 故 命题 1 采用贝努力不等式 命题 2采用权方和不等 式来加以证明 依笔者愚见 作为读者恐难寻着文 3 作者的思路得 到这样 的推广 读者心里迷糊的是 怎么想到这样 的推广 呢 为何要这样推广呢 又如 何证明这样的推广呢 以后遇到这样 的问题又该如 何构思呢 因此笔者认为这样得来的推广多少有些 勉强 作为对这道清华 自主招 生试题探究的继续 笔者从轮换式的角度并结合均值不等式对这道著名 学府的 自主招生试题进行一些肤浅的探究 同时顺 势对 数学通报 1 8 6 3号问题 详见本文例 2 给 出一种简捷的解答 不妥之处 请批评指正 例 1 2 0 0 9年清华大学自 主招生试题 没 Y R Y 1 求证对任意正整数 有 Y 1 证 明 容易得知当 X 0 或Y 0 或 X Y有 一 个为负数时上述结论显然成立 见文 2 也就是 说本题只要证明当 Y R 时结论成立 由2 z 元 均值不等式可得 2 0 1 4年第 5期 福建 中学数 学 5 2 J 上述两式相加 即可得证 惠特霍斯指出 一般地 解题之成功 在很大 的程度上依赖于选择一种最适宜的方法 评注 上述证明极其简捷 让人赏心悦 目 那为 何这样构思呢 缘由无论是已知条件 还是求证结 论均具有轮换式 或对称式 或轮换对称式 特征 我们考虑等号成立 的条件 即 x Y并结合 X Y 1 可 1 1 1 得 Y 去 则 去 因此凑项 去 与之配 证明同上理 由 只证明 五 R i 1 2 k 的情况 由2 n 元均值不等式可得 2 2n J 令i 1 2 k 得到k 个不等式 相加即得证 借鉴上述构思 可以顺势解决 例 2 数学通报 1 8 6 3号问题 设 X Y R 1 一 且x 2 3 求去 的最小值 Y 解答如果我们把其 中一个 Y看作 z 则上述 1 8 6 3号问题等价于如下问题 设 X Y Z R 且 1 1 1 Y z 3 求 的最小值 由 三元均值 套 之所以凑配 2 一 1 个 就是为了使用2 玎 元 不等式 1 1 1 1 l 3 z l l l 三 均值不等式时可以将 X 从根号顺利 剥离 出来 并 且得到 X 进而与另一处得到的 Y 相加 为直接利 用 Y 1 创造条件 从而将问题完美解决 美妙 的构思缘 由 恰 当的证 明方法 筒捷 的推 理过程中往往蕴含着借鉴 指导 推广 尤其是让 读者学会模仿 甚至可以悟出具体的操作过程和流 程 这样才是撰写论文的真正意义与价值所在 回顾 上述构思缘 由与具体操作过程 自然而然 得到文 3 的推广 即 为 了便于对照 列出命题 1 与命题 2 命题 1设 X l X 2 为实数 X 1 x k 1 k为 正 整 数 则 对 任 意 正 整 数 有 2 n 一 X 2n 命题 2设 X 2 为实数 a a a 为正实数 x 1 x x k 1 k 为正整数 则对 任意正整数 有 口 日 2 z n 1 事实上 还可 以将上述命题 1推广到更一般的 情况 即 命题 3设 X l X 2 为实数 l X 2 X k 为正常数 k 为正整数 则对任意正整 数 刀 有 1 6 3 1 1 X Y Z X Y 1 1 1 Y z 二十 二 二 9 X Y Z 1 1 I 5 1 3 即最小值为 3 X Y Z 对于一个数学问题 当寻觅到一种筒捷妙解 宛如一弯绚丽的彩虹 折射出智者之光辉 体现出 数学之魅力 这正是数学简洁之美 这正是数学爱 好者的精神食粮 正如克莱因所说 一个精彩巧妙 的证明 精神上近乎一首诗 评 注 上述问题刊登 出来就引起很 多数 学爱好 者的关注与研究 其中文 5 采用了构造 数字式 方 法对该问题进行解答 文 4 中给 出基本不等式的解 法 拜读上述文章颇受启迪 笔者觉得构造 数字式 方法构思新颖 但似乎难以想到且推理过程较为复 杂 文 5 给出均值不等式的解法 总觉得没有完全 展现均值不等式精髓 因此笔者还是从轮换式的角 度并借助均值不等式给出了上述自然 筒捷 绝妙 的通性解法 之 所以把其中一个 Y暂时看作 z 就是为了构造 轮换式 而轮换式中的所有字母的值相等 即上述 1 2 1 Y z 1 故 配凑 1 1 三 1 1 二 X X Y Y 1 1 1 二 其 目的就是为了确保运用均值不等式 z z 时等号成立 的条件得到满足 6 福建 中学数学 2 0 1 4年第 5期 有兴趣 的读者按照上述剖析完全可以模仿证明 文 6 中的推广 l 即文 4 中的问题 1 并容易看出 并证明文 4 的推广 运用均值不等式的关键就是充分利用等号成立 的条件 尤其是对具有 或经过适当变形使之具有 轮换 式 对称式 轮换对称式的问题更是特别有效 此时只要寻找到等号成立的条件 然后利用条件配 凑 添加因式 为妥善运用均值不等式创造条件 这正是均值不等式的精髓 对上述例 2 我们可以改 变 已知条件 如 X 2 y 1 3 y 1 2 x Y l 当然相应的结论也随之而变 这样可以得到一 系列的变式训练题 从上述两个例 1 例 2的分析过 程足够可以看出这种构思和证明过程完全可以模仿 并掌握其操作流程 并且比较容易得出其推广结论 如果我们从构造轮换式 的角度去回顾并审视 曾 经看过 做过的题目 不论是常见的课本习题 高 考试题 还是 自主招生试题 数学问题 乃至国际 奥赛试题 您会发现身边有太多这样 的题 目 行文至此 笔者感叹陆老师在文 7 开始时的一 段精彩的话语 不等式的证明对证 明者来说是一个 极大的挑战 因命题者当局者迷 也许会给旁观者 留下证明的宽阔舞台 于是一个又一个简单的 漂 亮的证明被不等式爱好者寻获 这也是笔者本文的 目的 抛砖引玉 期望看到更多数学名家大师演绎 均值不等式与轮换式的完美篇章 渴望看到上述这 些不等式问题获得更简洁 更漂亮 更绝妙的解答 参考文献 1 时宝军等 2 0 0 9年清华大学 自主招生数学试题解答与评析 数学通讯 2 0 1 0 3 5 4 5 7 2 亚辉 简证 2 0 0 9 年清华大学 自主招生一道数学试题 数学通讯 2 0 1 0 8 2 8 3 赵思林等 2 0 0 9年清华大学 自主招生 一 题的简解 j 推广 数学通讯 2 01 0 1 1 5 3 4 刘成龙 数学通报 1 8 6 3号问题的另证及推广 中学数学研究 江西 2 0 1 1 6 2 5 2 6 5 薛茂文 对一个数学问题的探究 中学数学研究 江西 2 0 1 2 3 l 3 1 5 6 王增强 对一个数学问题的再探究 中学数学研究 i 西 2 0 1 2 9 2 6 2 7 7 陆爱梅 若干分式不等式证明的思考 中学数学研究 江西 2 0 1 2 9 21 2 2 欧拉 E u l e r 公式的一个推广 黄文谦 福建省莆田市第十三中学 3 5 l 1 5 2 式公式等等 本文将阐述分式公式的一个推广 分 式公式为 r f 0 r 0 1 1 2 J 日 b C r 3 上述公式给 出了分式 二 r 在 0 2 3 时的值 这里我们将探 讨当 3 时 分式 r a 0 C I I 一 6一cl I 的取值情况 一a c b 1 当 4时 4 a一6 a c b 6一c 6一a