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循环小数的几个猜想的证明及推广蒋晓云1，2 （1 南京师范大学 数学与计算机科学院 江苏 南京 210097； 2 桂林师范高等专科学校 数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）摘要：陕西师范大学宋佳经过大量实际数值计算，提出了关于循环小数的几个猜想1，本文给出了这些猜想的证明并对猜想进行了推广，拓展了中小学数学课程资源。关键词：循环小数；猜想；数论1 引言为了叙述的方便，我们约定：既约分数（是素数，且）可化成循环小数, 最短循环节形式的循环小数我们称之为p-小数；最短循环节的长度称为该小数的长度。我们不妨设既约分数是真分数，即，这是因为对于既约分数（np），由带余除法n=pm+r（m为整数，rp），则，即一个整数与一个真分数的和,化为循环小数的循环节自小数点开始的。陕西师范大学宋佳经过大量实际计算，提出了关于循环小数的几个猜想1：猜想1：p-小数的长度是p-1因子。猜想2：所有的p-小数的长度都相等。猜想3：一旦掌握了一个p-小数，把该小数的各位数字依次轮换，所得到的结果仍为p-小数。2 猜想的证明我们知道，初等数论中有一个著名的定理：费尔马(Fermat)定理：若p为一个素数，a是任意非负整数，则定理1：（素数, ）可以化为纯循环小数。证明：素数，从而有（p, 10）=1, 由费尔马定理，我们有，p与10互素，所以，从而有整数c，使得，推出作者简介：蒋晓云（1963），男，广西桂林人，南京师范大学数学与计算机科学院访问学者，桂林师专副教授，主要研究方向为数学教育。，故，由于qp，所以,设，即，则有，即（素数, ）可以化为纯循环小数。猜想2的证明我们首先证明：（p是素数, ）的充要条件是：k满足。（1），从而,由于p与q互素，且，所以，即。（2）反过来，若，则有整数c，使得，从而有，故，由于q1, (a, m)=1,则，其中表示小于m且与m互素的自然数个数。既约真分数（，当时可化为循环小数，最短循环节的循环小数形式我们将之称为b-小数, 最短循环节的长度称为该b-小数的长度。通过类比迁移，我们可将猜想1和猜想2推广为：命题1：（1）b-小数的长度是欧拉函数值的因数。（2）所有的p-小数的长度都相等。证明：（1）既约真分数（，当时，由欧拉定理有：，则存在整数c，使得，从而有，故，由于a1时，k个轮换是互不相同的b-分数，设（），若, 不妨i1矛盾。所以，若时，i-轮换与j-轮换是不同的。规定：（）的b-分数是的b-分数的一个轮换。显然上述关系R为等价关系，它的等价分类就是全体b-分数满足命题2的条件的分类。分数和小数互化中有趣的问题还有很多，值得进一步探讨。参考文献：1宋佳. 关于循环小数的几个猜
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