【导与练】高考数学 试题汇编 第三节直接证明与间接证明 文（含解析）.doc

第三节直接证明与间接证明 直接证明考向聚焦证明方法是高考常考内容,一般不单独命题、主要以函数、三角函数、数列、向量、不等式、立体几何、解析几何等为载体,考查综合法、分析法、反证法等且以直接证明的综合法为重点.多以解答题的形式出现,具有一定的难度,属中高档题,所占分值1214分备考指津综合法和分析法是两种不同的证明方法,分析法便于寻找解题思路,而综合法便于证题过程的叙述,两种方法各有所长,在解决具体的问题中,应注意两种方法的综合运用1.(2010年陕西卷,文7)下列四类函数中,具有性质“对任意的x0,y0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是()(a)幂函数(b)对数函数(c)指数函数(d)余弦函数解析:(x+y)xy,幂函数f(x)=x不具有此性质.loga(x+y)loga xloga y(a0,且a1),对数函数f(x)=loga x(a0,且a1)不具有此性质.ax+y=axay,指数函数f(x)=ax(a0,且a1)具有此性质.cos (x+y)cos xcos y,余弦函数f(x)=cos x不具有此性质.故选c.答案:c.2.(2012年福建卷,文20,12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:(1)sin213+cos217-sin 13cos 17;(2)sin215+cos215-sin 15cos 15;(3)sin218+cos212-sin 18cos 12;(4)sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;(5)sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择(2)式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-12sin 30=1-14=34.(2)三角恒等式为:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34,证明:法一:sin2 +cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2 +(cos 30cos +sin 30 sin )2-sin (cos 30 cos +sin 30 sin )=sin2+34cos2+32sincos+14sin2-32sin cos -12sin2=34sin2 +34cos2 =34(sin2+cos2)=34.法二:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=1-cos22+1+cos(60-2)2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=12-12cos 2+12+12(cos 60cos 2+sin 60sin 2)-32sin cos -12sin2 =12-12cos 2+12+14cos 2+34sin 2-34sin 2-14(1-cos 2)=1-14cos 2-14+14cos 2=1-14=34. 本题主要考查同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识.考查学生的运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查特殊与一般思想.3.(2010年浙江卷,文21)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,br,ab).(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3x1,x3x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.(1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)(3x-5),故f(2)=1.又f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.(2)证明:由题意得f(x)=3(x-a)(x-a+2b3),由于ab且a,br,故aa+2b3,所以f(x)的两个极值点为x=a,x=a+2b3.不妨设x1=a,x2=a+2b3,因为x3x1,x3x2,且x3是f(x)的零点,故x3=b.又因为a+2b3-a=2(b-a+2b3),x4=12(a+a+2b3)=2a+b3,此时a,2a+b3,a+2b3,b依次成等差数列,所以存在实数x4满足题意,且x4=2a+b3.(2011年大纲全国卷,理21,12分)已知o为坐标原点,f为椭圆c:x2+y22=1在y轴正半轴上的焦点,过f且斜率为-2的直线l与c交于a、b两点,点p满足oa+ob+op=0.(1)证明:点p在c上;(2)设点p关于点o的对称点为q,证明:a、p、b、q四点在同一圆上.证明:(1)焦点f(0,1),直线l的方程为y=-2x+1.1分将代入到x2+y22=1中整理得4x2-22x-1=0.2分设a(x1,y1),b(x2,y2),p(x3,y3),则x1+x2=22,y1+y2=-2(x1+x2)+2=1.3分oa+ob+op=0,x3=-(x1+x2)=-22,y3=-(y1+y2)=-1,p点的坐标为(-22,-1).4分经验证,点p的坐标(-22,-1)满足方程x2+y22=1,故点p在椭圆c上.5分第(1)问赋分细则:(1)写出焦点f的坐标及直线l的方程得1分;(2)将直线l的方程代入到椭圆c的方程中化简正确得1分;(3)将向量等式oa+ob+op=0坐标化,结合一元二次方程根与系数的关系求出p点的坐标得2分;(4)将p点坐标代入到椭圆c的方程中验证得1分.(2)由p(-22,-1)得其关于原点的对称点q(22,1),线段pq的垂直平分线l1的方程为y=-22x.6分设线段ab的中点为m,由(1)得m(24,12),线段ab的垂直平分线l2的方程为y=22x+14.7分由得l1,l2的交点n(-28,18),|np|=(-22+28)2+(-1-18)2=3118.8分|ab|=1+(-2)2(x1+x2)2-4x1x2=3(22)2-4(-14)=322,|am|=324.9分又|mn|=(24+28)2+(12-18)2=338,|na|=|am|2+|mn|2=3118,|np|=|na|.10分又|np|=|nq|,|na|=|nb|,|na|=|np|=|nb|=|nq|.11分由此知a、p、b、q四点在以n为圆心,|na|为半径的圆上.12分第(2)问赋分细则:(1)分别求出线段pq、ab的垂直平分线l1、l2方程各得1分;(2)求出直线l1与l2交点n的坐标及|np|得1分;(3)分别求出|am|和|na|各得1分;(4)通过计算得到|na|=|np|=|nb|=|nq|,由此证出a、p、b、q四点共圆,得2分. 通过高考阅卷统计分析,造成失分的原因如下:(1)不知道将oa+ob+op=0坐标化,得到a、b、p三点坐标间的关系式,无从下手;(2)不知道利用整体代换求出p点坐标,不能得分;(3)缺少将