【导与练】高考数学 试题汇编 第四节 直线、平面垂直的判定与性质 理（含解析）.doc

第四节直线、平面垂直的判定与性质 与垂直相关的命题的判定考向聚焦高考的常考内容,常将定义、判定和性质结合起来,与线面平行相关知识命制试题,有时结合命题的真假判定或充要条件综合命题,考查学生对线面平行与垂直的判定定理及性质的理解,一般以选择题、填空题形式出现,难度中档以下,所占分值45分1.(2012年安徽卷,理6,5分)设平面与平面相交于直线m,直线a在平面内.直线b在平面内,且bm,则“”是“ab”的()(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件解析:本题考查面面垂直的判定与性质,考查空间想象能力,考查充分必要条件.若,由条件可以得出ab,若ab,bm,由条件不能得出,所以“”是“ab”的充分不必要条件.故选a.答案:a. 本题解决的关键是对面面垂直的性质及判定定理的理解,属于概念识别问题,解决这类问题要注意直线与直线可能位置的多种情况,比如本题中b与m可能平行,也可能相交.2.(2012年浙江卷,理10,5分)已知矩形abcd,ab=1,bc=2.将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()(a)存在某个位置,使得直线ac与直线bd垂直(b)存在某个位置,使得直线ab与直线cd垂直(c)存在某个位置,使得直线ad与直线bc垂直(d)对任意位置,三对直线“ac与bd”,“ab与cd”,“ad与bc”均不垂直解析:假设a项正确,过点a作ao平面bcd,垂足为o,连接co交bd于h,连接ah,则bd平面ach,从而bdah,bdch,这是不可能的;假设b项正确,因为dcbc,dc平面abc,此时acd=90,cd=1,ad=2,只需ac=1即可,这种情况是存在的,故选b.答案:b.3.(2011年浙江卷,理4)下列命题中错误的是()(a)如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面(b)如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面(c)如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面(d)如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面解析:不妨取一个长方体,平面abb1a1平面a1b1c1d1,而c1d1平面a1b1c1d1,c1d1平面abb1a1,从而d错误,故选d. 答案:d.4.(2010年山东卷,理3)在空间,下列命题正确的是( )(a)平行直线的平行投影重合(b)平行于同一直线的两个平面平行(c)垂直于同一平面的两个平面平行(d)垂直于同一平面的两条直线平行解析:a选项中平行直线的平行投影也可能是平行的;b选项中的两个平面也可以相交;c选项中的两个平面也可以相交.故选d.答案:d.5.(2012年陕西卷,理18,12分)(1)如图,证明命题“a是平面内的一条直线,b是外的一条直线(b不垂直于),c是直线b在上的投影,若ab,则ac”为真;(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).(1)证明:法一:设斜线b与平面交于点a,在b上任取一点p(异于点a),过p作pb平面,则垂足b落在投影c上.pb平面,apba.又ba,且pb、b是平面pab内的两条相交线,a平面pab,又c平面pab,ac.法二:如图,过直线b上任一点作平面的垂线d,则da,设直线a、b、c、d的方向向量分别为a、b、c、d,则b,c,d共面,由平面向量基本定理知,存在唯一的实数、使得c=b+d,ac=a(b+d)=(ab)+(ad)由于da,ba,ad=0,ab=0,ac=0,即ac.(2)解:逆命题为:“a是平面内的一条直线,b是平面外的一条直线(b不垂直于),c是直线b在上的投影,若ac,则ab”.逆命题为真命题. 抛开常规的柱、锥问题,考查线面的基本问题,要求将文字语言转化为几何语言,难度不大,中档.与垂直相关的问题的证明考向聚焦高考的必考内容,常以棱柱、棱锥为载体,考查学生对线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理的应用,主要题型有(1)线线垂直的证明;(2)线面垂直的证明;(3)面面垂直的证明.常以解答题形式出现,难度中档,所占分值48分备考指津注意线线垂直线面垂直面面垂直的转化思想的训练,及推理论证能力的培养6.(2012年湖南卷,理18,12分)如图,在四棱锥pabcd中,pa平面abcd,ab=4,bc=3,ad=5,dab=abc=90,e是cd的中点.(1)证明:cd平面pae;(2)若直线pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等,求四棱锥pabcd的体积.解:法一:(1)如图(1),连结ac.由ab=4,bc=3,abc=90得ac=5.又ad=5,e是cd的中点,所以cdae.因为pa平面abcd,cd平面abcd,所以pacd.而pa,ae是平面pae内的两条相交直线,所以cd平面pae.(2)过点b作bgcd,分别与ae,ad相交于点f,g,连结pf.由(1)cd平面pae知,bg平面pae.于是bpf为直线pb与平面pae所成的角,且bgae.由pa平面abcd知,pba为直线pb与平面abcd所成的角.由题意pba=bpf,因为sin pba=papb,sin bpf=bfpb,所以pa=bf.由dab=abc=90知,adbc,又bgcd,所以四边形bcdg是平行四边形.故gd=bc=3,于是ag=2.在rtbag中,ab=4,ag=2,bgaf,所以bg=ab2+ag2=25,bf=ab2bg=1625=855.于是pa=bf=855.又梯形abcd的面积为s=12(5+3)4=16,所以四棱锥pabcd的体积为v=13spa=1316855=128515.法二:如图(2),以a为坐标原点,ab,ad,ap所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设pa=h,则相关各点的坐标为a(0,0,0),b(4,0,0),c(4,3,0),d(0,5,0),e(2,4,0),p(0,0,h).(1)易知cd=(-4,2,0),ae=(2,4,0),ap=(0,0,h).因为cdae=-8+8+0=0,cdap=0,所以cdae,cdap,而ap,ae是平面pae内的两条相交直线,所以cd平面pae.(2)由题设和(1)知,cd,pa分别是平面pae,平面abcd的法向量,而pb与平面pae所成的角和pb与平面abcd所成的角相等,所以| cos |=|cos |,即|cdpb|cd|pb|=|papb|pa|pb|.由(1)知,cd=(-4,2,0),pa=(0,0,-h),又pb=(4,0,-h),故|-16+0+0|2516+h2=|0+0+h2|h16+h2解得h=855.又梯形abcd的面积为s=12(5+3)4=16,所以四棱锥pabcd的体积为v=13spa=1316855=128515.7.(2012年全国大纲卷,理18,12分)如图,四棱锥pabcd中,底面abcd为菱形,pa底面abcd,ac=22,pa=2,e是pc上的一点,pe=2ec.(1)证明:pc平面bed;(2)设二面角apbc为90,求pd与平面pbc所成角的大小.解:法一:(1)因为底面abcd为菱形,所以bdac,又pa底面abcd,所以pcbd.设acbd=f,连结ef.因为ac=22,pa=2,pe=2ec,故pc=23,ec=233,fc=2,从而pcfc=6,acec=6.因为pcfc=acec,fce=pca,所以fcepca,fec=pac=90,由此知pcef.pc与平面bed内两条相交直线bd,ef都垂直,所以pc平面bed.(2)在平面pab内过点a作agpb,g为垂足.因为二面角apbc为90,所以平面pab平面pbc.又平面pab平面pbc=pb,故ag平面pbc,agbc.bc与平面pab内两条相交直线pa,ag都垂直,故bc平面pab,于是bcab,所以底面abcd为正方形,ad=2,pd=pa2+ad2=22.设d到平面pbc的距离为d.因为adbc,且ad平面pbc,bc平面pbc,故ad平面pbc,a、d两点到平面pbc的距离相等,即d=ag=2.设pd与平面pbc所成的角为,则sin =dpd=12.所以pd与平面pbc所成的角为30.法二:(1)以a为坐标原点,射线ac为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系axyz.设c(22,0,0),d(2,b,0),其中b0,则p(0,0,2),e(423,0,23),b(2,-b,0).于是pc=(22,0,-2),be=(23,b,23),de=(23,-b,23),从而pcbe=0,pcde=0,故pcbe,pcde,又bede=e,所以pc平面bed.(2)ap=(0,0,2),ab=(2,-b,0).设m=(x,y,z)为平面pab的法向量,则map=0,mab=0,即2z=0且2x-by=0,令x=b,则m=(b,2,0).设n=(p,q,r)为平面pbc的法向量,则npc=0,nbe=0,即22p-2r=0且2p3+bq+23r=0,令p=1,则r=2,q=-2b,n=(1,-2b,2).因为面pab面pbc,故mn=0,即b-2b=0,故b=2,于是n=(1,-1,2),dp=(-2,-2,2),cos=ndp|n|dp|=12,=60.因为pd与平面pbc所成角和互余,故pd与平面pbc所成的角为30.8.(2012年江苏数学,16,14分)如图,在直三棱柱abca1b1c1中,a1b1=a1c1,d,e分别是棱bc,cc1上的点(点d不同于点c),且adde,f为b1c1的中点.求证:(1)平面ade平面bcc1b1;(2)直线a1f平面ade.证明:(1)因为abca1b1c1是直三棱柱,所以cc1平面abc,又ad平面abc,所以cc1ad.又因为adde,cc1,de平面bcc1b1,cc1de=e,所以ad平面bcc1b1,又ad平面ade.所以平面ade平面bcc1b1.(2)因为a1b1=a1c1,f是b1c1的中点,所以a1fb1c1.因为cc1平面a1b1c1,且a1f平面a1b1c1,所以cc1a1f.又因为cc1,b1c1平面bcc1b1,cc1b1c1=c1,所以a1f平面bcc1b1,由(1)知ad平面bcc1b1,所以a1fad.又ad平面ade,a1f平面ade,所以a1f平面ade.9.(2011年广东卷,理18)如图所示,在锥体pabcd中,abcd是边长为1的菱形,且dab=60,pa=pd=2,pb=2,e,f分别是bc,pc的中点.(1)证明:ad平面def;(2)求二面角padb的余弦值.(1)证明:adpb=ad(pa+ab)=adpa+adab=|ad|pa|cos(-pad)+|ad|ab|cosdab=-2cospad+cos 60=-2cospad+12又pad为等腰三角形,cospad=12|ad|pa|=24,从而adpb=-224+12=0,adpb,又由题意efpb,adef又在dec中,ec=12,dc=1,dce=60,dec=90,即debc,又adbc,dead由知ad平面def.(2)解:取ad的中点g,连接pg、gb,pad为等腰三角形,pa=pd,pgad,abd为等边三角形,bgad,从而bgp为二面角padb的平面角,又在pgb中,cosbgp=pg2+gb2-pb22|pg|gb|=(pa2-ag2)+(ab2-ag2)-222pa2-ag2ab2-ag2=-217二面角padb的余弦值为-217.10.(2011年上海卷,理21)已知abcda1b1c1d1是底面边长为1的正四棱柱,o1为a1c1与b1d1的交点.(1)设ab1与底面a1b1c1d1所成角的大小为,二面角ab1d1a1的大小为,求证:tan =2tan ;(2)若点c到平面ab1d1的距离为43,求正四棱柱abcda1b1c1d1的高.(1)证明:连接ao1、ac.aa1平面a1b1c1d1,ab1a1为ab1与平面a1b1c1d1所成的角.即ab1a1大小为.a1b1c1d1为正方形,b1d1a1c1.又cc1平面a1b1c1d1,cc1b1d1,b1d1平面acc1a1,b1d1ao1,a1o1a即为二面角ab1d1a1的平面角.即a1o1a的大小为.在rtab1a1中,tan =aa1b1a1,在rtaa1o1中,tan =aa1a1o1.在等腰直角三角形a1b1o1中,a1b1=1,a1o1=22.tan=aa1,tan=aa122=2aa1,tan =2tan .(2)解:在平面aa1c1c内,过点c作chao1于点h.由(1)知b1d1平面aa1c1c,b1o1ch.ch平面ab1d1.即ch为点c到平面ab1d1的距离.ch=43.设aa1=x,则ao1=aa12+a1o12=x2+12.又sao1c=12chao1且sao1c=12acaa1,chao1=acaa1,43x2+12=2x,x=2.即正四棱柱abcda1b1c1d1的高为2.11.(2011年湖南卷,理19)如图,在圆锥po中,已知po=2,o的直径ab=2,c是ab的中点,d为ac的中点.(1)证明:平面pod平面pac;(2)求二面角bpac的余弦值.(1)证明:连接oc,因为oa=oc,d是ac的中点,所以acod,又po底面o,ac底面o,所以acpo.因为odpo=o,所以ac平面pod.而ac平面pac,所以平面pod平面pac.(2)解:在平面pod中,过o作ohpd于h,由(1)知,平面pod平面pac,所以oh平面pac.又pa面pac,所以paoh.在平面pao中,过o作ogpa于g,连接hg,则有pa平面ogh.从而pahg.故ogh为二面角bpac的平面角.在rtoda中,od=oasin 45=22.在rtpod中,oh=poodpo2+od2=2222+12=105.在rtpoa中,og=pooapo2+oa2=212+1=63.在rtohg中,sin ogh=ohog=10563=155.所以cos ogh=1-sin2ogh=1-1525=105.故二面角bpac的余弦值为105.12.(2010年安徽卷,理18)如图,在多面体abcdef中,四边形abcd是正方形,efab,effb,ab=2ef,bfc=90,bf=fc,h为bc的中点.(1)求证:fh平面edb;(2)求证:ac平面edb;(3)求二面角bdec的大小.法一:(综合法)(1)证明:设ac与bd交于点g,则g为ac的中点,连接eg,gh,又h为bc的中点,gh12ab,又ef12ab,efgh,四边形efhg为平行四边形,egfh,而eg平面edb,fh平面edb,fh平面edb.(2)证明:由四边形abcd为正方形,有abbc.又efab,efbc.而effb,bcfb=b,ef平面bfc,effh.abfh,又bf=fc,h是bc的中点,fhbc.又abbc=b,fh平面abcd.fhac.又fheg,aceg,又acbd,egbd=g,ac平面edb.(3)解:effb,bfc=90,effc=f,bf平面cdef.在平面cdef内过点f作fkde交de的延长线于k,连接bk,则fkb为二面角bdec的一个平面角.设ef=1,则ab=2,fc=2,de=3.又efdc,kef=edc.sin edc=sin kef=23.fk=efsin kef=23,tan fkb=bffk=3,fkb=60.即二面角bdec的大小为60.法二:(向量法):四边形abcd为正方形,abbc,又efab,efbc.又effb,fbbc=b,ef平面bfc.effh,abfh.又bf=fc,h为bc的中点,fhbc.又abbc=b,fh平面abc.以h为坐标原点,hb为x轴正方向,hf为z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系.设bh=1,则a(1,-2,0),b(1,0,0),c(-1,0,0),d(-1,-2,0),e(0,-1,1),f(0,0,1).(1)证明:设ac与bd的交点为g,连接ge,gh,则g(0,-1,0),ge=(0,0,1),又hf=(0,0,1),hf=ge,hfge,又ge平面edb,fh平面edb,fh平面edb.(2)证明:ac=(-2,2,0),ge=(0,0,1),acge=0,acge.又acbd,egbd=g,ac平面edb.(3)解:be=(-1,-1,1),bd=(-2,-2,0).设平面bde的法向量为n1=(1,y1,z1),则ben1=-1-y1+z1=0,bdn1=-2-2y1=0,y1=-1,z1=0,即n1=(1,-1,0).cd=(0,-2,0),ce=(1,-1,1),设平面cde的法向量为n2=(1,y2,z2),则n2cd=0,得y2=0,又n2ce=0,即1-y2+z2=0,故z2=-1,故n2=(1,0,-1),cos=n1n2|n1|n2|=122=12,=60,即二面角bdec的大小为60. 线面平行、线面垂直是线面位置关系的重要内容.(