【导与练】高考数学 试题汇编 第六节 曲线与方程 理（含解析）.doc

第六节曲线与方程 曲线的轨迹方程考向聚焦高考常考内容,主要考查:(1)利用直接法、定义法或相关点法求动点的轨迹方程,(2)根据方程研究曲线的性质多以解答题一问的形式出现,难度中档,所占分值46分备考指津训练题型:(1)定义法,注重基础知识的训练;(2)直接法,注重分析问题的能力和数形结合思想的运用;(3)相关点法,注重转化与化归思想的培育1.(2010年重庆卷,理10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()(a)直线(b)椭圆(c)抛物线(d)双曲线解析:在边长为a的正方体abcda1b1c1d1中,dc与a1d1是两条相互垂直的异面直线,平面abcd过直线dc且平行于a1d1,以d为原点,分别以da、dc为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设点p(x,y)在平面abcd内且到a1d1与dc之间的距离相等,|x|=y2+a2,x2-y2=a2,故选d.答案:d.2.(2011年北京卷,理14)曲线c是平面内与两个定点f1(-1,0)和f2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹.给出下列三个结论:曲线c过坐标原点;曲线c关于坐标原点对称;若点p在曲线c上,则f1pf2的面积不大于12a2.其中,所有正确结论的序号是.解析:设点p(x,y)是曲线c上任一点,由条件知:|pf1|pf2|=a2,即(x+1)2+y2(x-1)2+y2=a2,对于:代入(0,0)得1=a2与a1矛盾,不正确;对于:代入(-x,-y),得:(-x+1)2+(-y)2(-x-1)2+(-y)2=(x-1)2+y2(x+1)2+y2=a2,正确;对于:sf1pf2=12|pf1|pf2|sin f1pf2=a22sin f1pf2a22,是正确的,故正确的结论是.答案:3.(2012年四川卷,理21,12分)如图,动点m与两定点a(-1,0)、b(2,0)构成mab,且mba=2mab.设动点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程;(2)设直线y=-2x+m与y轴相交于点p,与轨迹c相交于点q、r,且|pq|0,且y0.当mba=90时,点m的坐标为(2,3).当mba90时,x2,由mba=2mab,有tanmba=2tanmab1-tan2mab,即-|y|x-2=2|y|x+11-(|y|x+1)2.化简可得,3x2-y2-3=0.而点(2,3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹c的方程为3x2-y2-3=0(x1).(2)由y=-2x+m,3x2-y2-3=0.消去y,可得x2-4mx+m2+3=0.(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内.设f(x)=x2-4mx+m2+3,所以-4m21,f(1)=12-4m+m2+30,=(-4m)2-4(m2+3)0.解得m1,且m2.设q、r的坐标分别为(xq,yq),(xr,yr),由|pq|1,且m2,有1-1+42-3(1-1m2)b0)为动点,f1,f2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左、右焦点.已知f1pf2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线pf2与椭圆相交于a,b两点,m是直线pf2上的点,满足ambm=-2,求点m的轨迹方程.解:(1)设f(-c,0),f2(c,0)(c0),由题意知|pf2|=|f1f2|,即(a-c)2+b2=2c,整理得2(ca)2+ca-1=0.ca=12(负值舍去),即e=12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线pf2:y=3(x-c).由3x2+4y2=12c2y=3(x-c)消去y并整理得5x2-8cx=0.x1=0,x2=85c.x1=0y1=-3c,x2=85cy2=335c.设a(85c,335c),b(0,-3c).设m(x,y),则am=(x-85c,y-335c),bm=(x,y+3c).由y=3(x-c)得c=x-33y,am=(8315y-35x,85y-335x),bm=(x,3x),由ambm=-2,即(8315y-35x)x+(85y-335x)3x=-2.整理得18x2-163xy-15=0.则y=18x2-15163x,将其代入c=x-33y,得c=10x2+516x0,x0.点m的轨迹方程是18x2-163xy-15=0(x0).6.(2011年安徽卷,理21)设0,点a的坐标为(1,1),点b在抛物线y=x2上运动,点q满足bq=qa,经过点q与x轴垂直的直线交抛物线于点m,点p满足qm=mp,求点p的轨迹方程.解:由qm=mp知q、m、p三点在同一条垂直于x轴的直线上,可设p(x,y),q(x,y0),m(x,x2),则x2-y0=(y-x2),即y0=(1+)x2-y,设b(x1,y1),由bq=qa,得(x-x1,y0-y1)=(1-x,1-y0),即x1=(1+)x-y1=(1+)y0-,将式代入式,消去y0,得x1=(1+)x-y1=(1+)2x2-(1+)y-,又点b在抛物线y=x2上,故有y1=x12,将式代入y1=x12得(1+)2x2-(1+)y-=(1+)x-2(1+)2x2-(1+)y-=(1+)2x2-2(1+)x+2,2(1+)x-(1+)y-(1+)=0,由0,两边同除以(1+)得2x-y-1=0,故所求点p的轨迹方程为2x-y-1=0.7.(2010年北京卷,理19)在平面直角坐标系xy中,点b与点a(-1,1)关于原点o对称,p是动点,且直线ap与bp的斜率之积等于-13.(1)求动点p的轨迹方程;(2)设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m,n,问:是否存在点p使得pab与pmn的面积相等?若存在,求出点p的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)因为点b与点a(-1,1)关于原点o对称,所以点b的坐标为(1,-1).设点p的坐标为(x,y).由题意得y-1x+1y+1x-1=-13,化简得x2+3y2=4(x1).故动点p的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).(2)设点p的坐标为(x0,y0),点m,n的坐标分别为(3,ym),(3,yn).则直线ap的方程为y-1=y0-1x0+1(x+1),直线bp的方程为y+1=y0+1x0-1(x-1).令x=3得ym=4y0+x0-3x0+1,yn=2y0-x0+3x0-1.于是pmn的面积spmn=12|ym-yn|(3-x0)=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|又直线ab的方程为x+y=0,|ab|=22,点p到直线ab的距离d=|x0+y0|2.于是pab的面积spab=12|ab|d=|x0+y0|.当spab=spmn时,得|x0+y0|=|x0+y0|(3-x0)2|x02-1|.又|x0+y0|0,所以(3-x0)2=|x02-1|,解得x0=53.因为x02+3y02=4,所以y0=339.故存在点p使得pab与pmn的面积相等,此时点p的坐标为(53,339).8.(2010年广东卷,理20)已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为a1,a2,点p(x1,y1),q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线a1p与a2q交点的轨迹e的方程;(2)若过点h(0,h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹e都只有一个交点,且l1l2,求h的值.解:(1)由题意a1(-2,0),a2(2,0),|x1|2,则直线a1p的方程为:y=y1x1+2(x+2)a2q的方程为:y=-y1x1-2(x-2)两式相乘得y2=-y12x12-2(x2-2).又点p(x1,y1)在双曲线x22-y2=1上,x122-y12=1,代入式得y2=-12(x2-2),整理得x22+y2=1(x0,且x2)为轨迹e的方程.(2)由题意知l1,l2的斜率都存在且不为0,l1l2,设l1的方程为y=kx+h(h1),则l2的方程为y=-1kx+h(h1).由y=kx+hx22+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0,1=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,由y=-1kx+hx22+y2=1,得(1+2k2)x2-4hkx+2h2-2=02=16h2k2