【导与练】高考数学 试题汇编 第三节椭圆 文（含解析）.doc

第三节椭圆 椭圆的定义及标准方程考向聚焦高考常考内容,主要考查:(1)利用椭圆的定义求椭圆标准方程或求解焦点三角形的有关问题;(2)用待定系数法、相关点法求椭圆的标准方程.常以选择题、填空题或解答题一问的形式出现,难度中档,所占分值46分备考指津训练题型:(1)根据定义求椭圆方程,注重与向量相结合题型的训练;(2)求焦点三角形的内角、面积等问题,注意转化与化归思想的训练;(3)用待定系数法、相关点法求椭圆方程,注意分类讨论思想的训练1.(2010年安徽卷,文17)椭圆e经过点a(2,3),对称轴为坐标轴,焦点f1,f2在x轴上,离心率e=12.(1)求椭圆e的方程;(2)求f1af2的角平分线所在直线l的方程.解:(1)设椭圆e的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由e=12,即ca=12,a=2c,得b2=a2-c2=3c2,椭圆的方程可化为x24c2+y23c2=1.将a(2,3)代入上式,得1c2+3c2=1,解得c=2(负值舍去),椭圆e的方程为x216+y212=1.(2)法一:由(1)知f1(-2,0),f2(2,0),所以直线af1的方程为y=34(x+2),即3x-4y+6=0,直线af2的方程为:x=2.由点a在椭圆e上的位置知,直线l的斜率为正数.设p(x,y)为l上任一点,则|3x-4y+6|5=|x-2|.若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0(因其斜率为负,故舍去).于是,由3x-4y+6=-5x+10,得2x-y-1=0,所以直线l的方程为:2x-y-1=0.法二:a(2,3),f1(-2,0),f2(2,0),af1=(-4,-3),af2=(0,-3).af1|af1|+af2|af2|=15(-4,-3)+13(0,-3)=-45(1,2).kl=2,l的方程为y-3=2(x-2),即2x-y-1=0. 求曲线方程的常用方法:待定系数法,直接法,及利用曲线的特点求方程,其中(2)中法二简便易行,但不易想到用直线的方向向量求斜率.2.(2010年辽宁卷,文20)设f1、f2分别为椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过f2的直线l与椭圆c相交于a,b两点,直线l的倾斜角为60,f1到直线l的距离为23.(1)求椭圆c的焦距;(2)如果af2=2f2b,求椭圆c的方程.解:(1)设f1(-c,0),f2(c,0),则焦距为2c,由题意直线l的方程为y=3(x-c).f1到直线l的距离为23,|-3c-3c|2=23,即3c=23,故c=2.所以椭圆c的焦距为4.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),由题意知y10,直线l的方程为y=3(x-2).联立y=3(x-2),x2a2+y2b2=1.得(3a2+b2)y2+43b2y-3b4=0.解得y1=-3b2(2+2a)3a2+b2,y2=-3b2(2-2a)3a2+b2.因为af2=2f2b,所以-y1=2y2.即3b2(2+2a)3a2+b2=2-3b2(2-2a)3a2+b2.得a=3,而a2-b2=4,所以b=5.故椭圆c的方程为x29+y25=1. 圆锥曲线与平面向量相结合的问题,往往将向量问题化归为点的坐标的关系,由此关系进而解题.椭圆的几何性质考向聚焦高考必考内容,主要考查椭圆的离心率的求解,常以选择题、填空题或解答题一问的形式出现,难度中档偏上,所占分值45分3.(2012年新课标全国卷,文4,5分)设f1,f2是椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,p为直线x=3a2上一点,f2pf1是底角为30的等腰三角形,则e的离心率为()(a)12(b)23(c)34(d)45解析:如图,f1pf2=30且|f1f2|=|f2p|,如图易知|af2|=3a2-c,rtpf2a中可求|pf2|=|af2|sin30=2|af2|=3a-2c,又|f1f2|=2c,故3a-2c=2c,则离心率为e=ca=34.答案:c. 本题借助数形结合,求得a与c的关系,体现了数形结合思想的重要性.4.(2012年江西卷,文8,5分)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别是a,b,左、右焦点分别是f1,f2.若|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,则此椭圆的离心率为()(a)14(b)55(c)12(d)5-2解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.由椭圆的性质可知|af1|=a-c,|f1f2|=2c,|f1b|=a+c,又|af1|,|f1f2|,|f1b|成等比数列,故(a-c)(a+c)=(2c)2,可得ca=55=e(舍去负值).故应选b.答案:b. 圆锥曲线问题采用数形结合比较直观,可有效提高解题效率.5.(2011年新课标全国卷,文4)椭圆x216+y28=1的离心率为()(a)13(b)12(c)33(d)22解析:a2=16,b2=8,a=4,c2=a2-b2=8,c=22,e=ca=224=22.故选d.答案:d.6.(2010年广东卷,文7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()(a)45(b)35(c)25(d)15解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由题意可得2a+2c=4b,a+c=2b,又b=a2-c2,所以a+c=2a2-c2,整理得5e2+2e-3=0,e=35或e=-1(舍去).故选b.答案:b.7.(2012年四川卷,文15,4分)椭圆x2a2+y25=1(a为定值,且a5)的左焦点为f,直线x=m与椭圆相交于点a、b,fab的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.解析:由对称性知道,当直线x=m过椭圆右焦点时,三角形fab的周长最大,所以由题意可得4a=12,a=3,e=ca=1-b2a2=1-59=23,故答案为23.答案:238.(2010年全国卷,文16)已知f是椭圆c的一个焦点,b是短轴的一个端点,线段bf的延长线交c于点d,且bf=2fd,则椭圆c的离心率为.解析:设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0).b(0,b),f(c,0),d(x0,y0),则bf=(c,-b),fd=(x0-c,y0),由bf=2fd得x0=32c,y0=-b2,代入椭圆方程得94c2a2+b24b2=1,94e2=34.又e0,e=33.答案:339.(2012年安徽卷,文20,13分)如图,f1,f2分别是椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,a是椭圆c的顶点,b是直线af2与椭圆c的另一个交点,f1af2=60.(1)求椭圆c的离心率;(2)已知af1b的面积为403,求a,b的值.解:(1)由题意可知,af1f2为等边三角形,a=2c,所以e=12.(2)法一:a2=4c2,b2=3c2,直线ab的方程可为:y=-3(x-c),将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得b(85c,-335c).所以|ab|=1+3|85c-0|=165c.由saf1b=12|af1|ab|sin f1ab=12a165c32=235a2=403,解得a=10,b=53.法二:设|ab|=t.因为|af2|=a,所以|bf2|=t-a.由椭圆定义|bf1|+|bf2|=2a可知,|bf1|=3a-t.再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60可得,t=85a.由saf1b=12a85a32=235a2=403知,a=10,b=53. 本题考查椭圆的标准方程和几何性质,直线和椭圆的位置关系等基础知识,考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力.直线与椭圆的位置关系考向聚焦高考的热点,考查内容主要涉及椭圆的标准方程,椭圆的性质、最值、线段的中点、弦长等问题,主要考查学生灵活运用知识的解题能力和分析问题的能力,计算能力考查方式多样化,可以是客观题也可以是主观题,难度中档或偏上,所占分值412分10.(2010年湖北卷,文15)已知椭圆c:x22+y2=1的两焦点为f1,f2,点p(x0,y0)满足0x022+y021,则|pf1|+|pf2|的取值范围为,直线x0x2+y0y=1与椭圆c的公共点个数为.解析:由于0x022+y021,所以点p(x0,y0)在椭圆x22+y2=1内部;且不能与原点重合.根据椭圆的定义和几何性质知,|pf1|+|pf2|2a=22,且|pf1|+|pf2|的最小值为点p落在线段f1f2上,此时|pf1|+|pf2|=2.故|pf1|+|pf2|的取值范围是2,22).由于方程组 x0x+2y0y=2x22+y2=1,消去x得(x02+2y02)y2-4y0y+2-x02=0,=16y02-4(x02+2y02)(2-x02)=8x02(x022+y02-1)b0)的一个顶点为a(2,0),离心率为22,直线y=k(x-1)与椭圆c交于不同的两点m,n.(1)求椭圆c的方程;(2)当amn的面积为103时,求k的值.解:(1)由已知椭圆的焦点在x轴上,则由一个顶点为(2,0),得a=2.又离心率为22,ca=22,c=2,b2=a2-c2=2,所求椭圆方程为x24+y22=1.(2)由方程组y=k(x-1)x24+y22=1消y得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0(*)直线y=k(x-1)过点p(1,0),而点p(1,0)在椭圆x24+y22=1内,(*)式一定有两解.设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-42k2+1,samn=12|ap|(|y1|+|y2|)=12|y1-y2|=12|kx1-kx2|=|k|2(x1+x2)2-4x1x2=|k|2(4k22k2+1)2-8k2-162k2+1=|k|4+6k22k2+1=103,整理得7k4-2k2-5=0,解得k=1.所求k的值为1. 本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系,将直线方程与圆锥曲线方程联立,利用根与系数的关系是解决这类问题的常用方法,在解题中还要注意运用数形结合的方法解题.12.(2012年陕西卷,文20,13分)已知椭圆c1:x24+y2=1,椭圆c2以c1的长轴为短轴,且与c1有相同的离心率.(1)求椭圆c2的方程;(2)设o为坐标原点,点a,b分别在椭圆c1和c2上,ob=2oa,求直线ab的方程.解:(1)依题意设椭圆方程为y2a2+x24=1(a2),e=32,1-4a2=32,a2=16,椭圆方程为y216+x24=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),ob=2oa,o,a,b三点共线且点a、b不在y轴上,设直线ab方程为y=kx,并分别代入x24+y2=1和y216+x24=1得:x12=41+4k2,x22=164+k2,ob=2oa,x22=4x12,164+k2=161+4k2,k=1,所求直线为:y=x或y=-x.13.(2012年天津卷,文19,14分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),点p(55a,22a)在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设a为椭圆的左顶点,o为坐标原点,若点q在椭圆上且满足|aq|=|ao|,求直线oq的斜率的值.解:(1)因为点p(55a,22a)在椭圆上,故a25a2+a22b2=1,可得b2a2=58.于是e2=a2-b2a2=1-b2a2=38,所以椭圆的离心率e=64.(2)易知直线oq的斜率存在,设直线oq的斜率为k,则其方程为y=kx,设点q的坐标为(x0,y0),由条件得y0=kx0,x02a2+y02b2=1.消去y0并整理得x02=a2b2k2a2+b2.由|aq|=|ao|,a(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得(1+k2)x02+2ax0=0,而x00,故x0=-2a1+k2,代入,整理得(1+k2)2=4k2a2b2+4,由(1)知a2b2=85,故(1+k2)2=325k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直线oq的斜率k=5. 本小题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线方程、平面内两点间的距离公式等知识,运用代数法研究圆锥曲线的性质,体现了数形结合的数学思想方法.对运算求解能力、综合分析和解决问题的能力,有较高的要求.14.(2011年陕西卷,文17)设椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0,4),离心率为35.(1)求c的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45 的直线被c所截线段的中点坐标.解:(1)将(0,4)代入c的方程得16b2=1,b=4,又e=ca=35得a2-b2a2=925,即1-16a2=925,a=5,c的方程为x225+y216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3).设直线与c的交点为a(x1,y1),b(x2,y2),将直线方程y=45(x-3)代入c的方程,得x225+(x-3)225=1,即x2-3x-8=0,x1+x2=3.ab的中点坐标x中=x1+x22=32,y中=y1+y22=25(x1+x2-6)=-65,即中点坐标为(32,-65).15.(2011年天津卷,文18)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,点p(a,b)满足|pf2|=|f1f2|.(1)求椭圆的离心率e;(2)设直线pf2与椭圆相交于a,b两点.若直线pf2与圆(x+1)2+(y-3)2=16相交于m,n两点,且|mn|=58|ab|,求椭圆的方程.解:(1)设f1(-c,0),f2(c,0)(c0),因为|pf2|=|f1f2|,所以(a-c)2+b2=2c,整理得2(ca)2+ca-1=0,得ca=-1(舍),或ca=12,所以e=12.(2)由(1)知a=2c,b=3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线pf2的方程为y=3(x-c).a、b两点的坐标满足方程组3x2+4y2=12c2,y=3(x-c),消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x1=0,x2=85c,得方程组的解x1=0,y1=-3c,x2=85c,y2=335c,不妨设a(85c,335c),b(0,-3c),所以|ab|=(85c)2+(335c+3c)2=165c.于是|mn|=58|ab|=2c.圆心(-1,3)到直线pf2的距离d=|-3-3-3c|2=3|2+c|2.因为d2+(|mn|2)2=42,所以34(2+c)2+c2=16.整理得7c2+12c-52=0,解得c=-267(舍去)或c=2.所以椭圆方程为x216+y212=1.16.(2010年新课标全国卷,文20)设f1、f2分别是椭圆e:x2+y2b2=1(0bb0)的离心率e=32,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程.(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点a、b.已知点a的坐标为(-a,0):若|ab|=425,求直线l的倾斜角;若点q(0,y0)在线段ab的垂直平分线上,且qaqb=4.求y0的值.难题特色:本题把向量、直线、椭圆结合在一起,综合命题,涉及知识面广,特别是第(2)题,建立椭圆方程、弦长、qaqb关系是难点,且计算量大.难点突破:(1)设出直线l的方程并与椭圆方程联立,根据根与系数的关系和弦长公式用直线斜率k表示出|ab|,求出k值.(2)由(1)求出ab中点m的坐标;当k=0时,由qaqb=4求出y0;当k0时,求ab的垂直平分线方程,从而用k表示出y0,再用qaqb=4,求出k值,进一步得出y0.解:(1)由e=ca=32,得3a2=4c2.再由c2=a2-b2,解得a=2b.由题意可知122a2b=4,即ab=2.又ab0,得a=2,b=1.所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)由(1)可知点a的坐标是(-2,0),设点b的坐标为(x1,y1),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+2).于是a、b两点的坐标满足方程组y=k(x+2),x24+y2=1.消去y并整理,得(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0.由-2x1=16k2-41+4k2,得x1=2-8k21+4k2,从而y1=4k1+4k2.所以|ab|=(-2-2-8k21+4k2)2+(0-4k1+4k2)2=41+k21+4k2.由|ab|=425,得41+k21+4k2=425.整理得32k4-9k2-23=0,即(k2-1)(32k2+23)=0.解得k=1.所以直线l的倾斜角为4或34.设线段ab的中点为m,由得m的坐标是(-8k21+4k2,2k1+4k2).以下分两种情况讨论:a.当k=0时,点b的坐标是(2,0),线段ab的垂直平分线为y轴,于是qa=(-2,-y0),qb=(2,-y0).由qaqb=4,得y0=22.b.当k0时,线段ab的垂直平分线方程为y-2k1+4k2=-1k(x+8k21+4k2).令x=0,解得y0=-6k1+4k2.由qa=(-2,-y0),qb=(x1,y1-y0),qaqb=-2x1-y0(y1-y0)=-2(2-8k2)1+4k2+6k1+4k2(4k1+4k2+6k1+4k2)=4(16k4+15