【导与练】高考数学一轮总复习 第八篇 第6节 圆锥曲线的综合问题课时训练 文（含解析）新人教版(1).doc

第6节圆锥曲线的综合问题 【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的综合问题2、4、6、11直线与圆锥曲线的综合问题3、8、9、14圆与圆锥曲线的综合问题7、10、12、13圆锥曲线与其他内容的综合1、5一、选择题1.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为a,左、右焦点分别为f1,f2,d是它短轴上的一个端点,若3df1=da+2df2,则该椭圆的离心率为(d)(a)12(b)13(c)14(d)15解析:设d(0,b),则df1=(-c,-b),da=(-a,-b),df2=(c,-b),由3df1=da+2df2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=ca=15.故选d.2.(2012年高考福建卷)已知双曲线x24-y2b2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(a)(a)5(b)42(c)3(d)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=52x,焦点(3,0)到y=52x的距离d=353=5.故选a.3.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于a、b两点,过原点与线段ab中点直线的斜率为32,则ab的值为(a)(a)32(b)233(c)932(d)2327解析:设交点坐标为a(x1,y1),b(x2,y2),中点为m(x0,y0),将y=1-x代入ax2+by2=1得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=2ba+b,x0=ba+b,y1+y2=2-2ba+b=2aa+b,y0=aa+b,k=y0x0=ab=32.故选a.4.(2013山东淄博一中高三上期末考试)过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点垂直于x轴的弦长为a2,则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e的值是(b)(a)54(b)52(c)32(d)54解析:设椭圆的半焦距为c1,在椭圆中当x=c1时,c12a2+y2b2=1,y2=b21-c12a2=b4a2,y=b2a.2b2a=a2,即a2=4b2,设双曲线的半焦距为c2,在双曲线中c22=a2+b2=5b2,e=c2a=5b2b=52.故选b.5.(2013河北省衡水中学高三模拟)点p在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,f1、f2是双曲线的两个焦点,f1pf2=90,且f1pf2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是(d)(a)2(b)3(c)2(d)5解析:不妨设点p在双曲线的右支上,f1为左焦点,设|pf1|=r1,|pf2|=r2,则r1-r2=2a,2r1=r2+2c,解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入r12+r22=4c2可得c2+5a2-6ac=0,两边同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e1,所以e=5.故选d.6.(2013福建泉州质检)如图所示,在等腰梯形abcd中,abcd,且,ab=2ad.设dab=,0,2,以a、b为焦点且过点d的双曲线的离心率为e1,以c、d为焦点且过点a的椭圆的离心率为e2,则(b)(a)随着角度的增大,e1增大,e1e2为定值(b)随着角度的增大,e1减小,e1e2为定值(c)随着角度的增大,e1增大,e1e2也增大(d)随着角度的增大,e1减小,e1e2也减小解析:设ad=1,则ab=2,dc=2-2cos ,在abd中,由余弦定理得bd=5-4cos,e1=abbd-ad=25-4cos-1,0,2,所以随着角度的增大,e1减小;又e2=dcad+ac=dcad+bd=2-2cos1+5-4cos,e1e2=4-4cos4-4cos=1,故选b.7.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点f引圆x2+y2=a2的切线,切点为t,延长ft交双曲线右支于点p,若t为线段fp的中点,则该双曲线的渐近线方程为(b)(a)xy=0(b)2xy=0(c)4xy=0(d)x2y=0解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为f,连结ot、pf.ft为圆的切线,ftot,且|ot|=a,又t、o分别为fp、ff的中点,otpf且|ot|=12|pf|,|pf|=2a,且pfpf.又|pf|-|pf|=2a,|pf|=4a.在rtpff中,|pf|2+|pf|2=|ff|2,即16a2+4a2=4c2,c2a2=5.b2a2=c2a2-1=4,ba=2,即渐近线方程为y=2x,即2xy=0.故选b.二、填空题8.(2012年高考重庆卷)设p为直线y=b3ax与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)左支的交点,f1是左焦点,pf1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=.解析:由y=b3ax,x2a2-y2b2=1,消去y得x=324a.又pf1x轴,324a=c,e=ca=324.答案:3249.(2013东莞模拟)已知抛物线c的方程为x2=12y,过点a(0,-1)和点b(t,3)的直线与抛物线c没有公共点,则实数t的取值范围是.解析:当t=0时,直线ab与抛物线c有公共点,当t0,则过点a(0,-1)和点b(t,3)的直线方程为y+1-1-3=x-00-t,即4x-ty-t=0,由4x-ty-t=0,x2=12y,得2tx2-4x+t=0,=16-42t20,解得t2.答案:(-,-2)(2,+)10.过双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为a、b.若aob=120(o是坐标原点),则双曲线c的离心率为.解析:如图,由题知oaaf,obbf且aob=120,aof=60.又oa=a,of=c,ac=oaof=cos 60=12,ca=2.答案:211.(2013安徽蚌埠二模)点a是抛物线c1:y2=2px(p0)与双曲线c2:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的交点,若点a到抛物线c1的准线的距离为p,则双曲线c2的离心率等于.解析:设a(x0,y0),a在抛物线上,x0+p2=p,x0=p2,由y02=2px0得y0=p或y0=-p.双曲线渐近线的斜率ba=pp2=2.e=ca=1+b2a2=5.答案:5三、解答题12.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为22,且椭圆经过圆c:x2+y2-4x+22y=0的圆心c.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆c相切,求直线l的方程.解:(1)圆c方程可化为(x-2)2+(y+2)2=6,圆心c(2,-2),半径r=6设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则4a2+2b2=1,1-(ba)2=(22)2,a2=8,b2=4.所求椭圆的方程是x28+y24=1.(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是f1(-2,0),f2(2,0),|f2c|=(2-2)2+(0+2)2=210)的右焦点f在圆d:(x-2)2+y2=1上,直线l:x=my+3(m0)交椭圆于m、n两点.(1)求椭圆c的方程;(2)若omon(o为坐标原点),求m的值;(3)若点p的坐标是(4,0),试问pmn的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意知,圆d:(x-2)2+y2=1的圆心坐标是(2,0),半径是1,故圆d与x轴交于两点(3,0),(1,0),所以在椭圆中c=3或c=1,又b2=3,所以a2=12或a2=4(不满足a10,舍去),于是,椭圆c的方程为x212+y23=1.(2)设m(x1,y1),n(x2,y2),直线l与椭圆c方程联立x=my+3,x212+y23=1,化简并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,y1+y2=-6mm2+4,y1y2=-3m2+4,x1+x2=m(y1+y2)+6=24m2+4,x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-3m2m2+4+-18m2m2+4+9=36-12m2m2+4.omon,omon=0,即x1x2+y1y2=0得36-12m2-3m2+4=0,所以m2=114,m=112.(3)spmn=12|fp|y1-y2|=121(y1+y2)2-4y1y2=1236m2(m2+4)2+12m2+4=23m2+1(m2+4)2=231(m2+1)+9m2+1+623112=1.当且仅当m2+1=3,即m=2时等号成立.故pmn的面积存在最大值1.14.(2013黄冈一模)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),它的离心率为12,一个焦点是(-1,0),过直线x=4上一点引椭圆的两条切线,切点分别是a、b.(1)求椭圆的方程;(2)若椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)在点(x0,y0)处的切线方程是:x0xa2+y0yb2=1.求证:直线ab恒过定点c,并求出定点c的坐标;(3)求证:1|ac|+1|bc|为定值 (点c为直线ab恒过的定点).(1)解:椭圆的焦点是(-1,0),故c=1,又ca=12,所以a=2,b=a2-c2=3,所以所求的椭圆方程为x24+y23=1.(2)解:设切点坐标为a(x1,y1),b(x2,y2),直线l上一点m的坐标(4,t),则切线am、bm的方程分别为x1x4+y1y3=1,x2x4+y2y3=1.又两切线均过点m,所以x1+t3y1=1,x2+t3y2=1,即点a,b的坐标都适合方程x+t3y=1,故直线ab的方程是x+t3y=1,显然直线x+t3y=1恒过点(1,0),故直线ab恒过定点c(1,0).(3)证明:将直线ab的方程x=-t3y+1,代入椭圆方程,得3-t3y+12+4y2-12=0,即t23+4y2-2ty-9=0,y1+y2=6tt2+12,y1y2=-27t2+12,不妨设y10,y2b0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆o相切.(1)求椭圆c的方程;(2)设椭圆c与曲线|y|=kx(k0)的交点为a、b,求oab面积的最大值.解:(1)由题设可知,圆o的方程为x2+y2=b2,因为直线l:x-y+2=0与圆o相切,故有|2|12+(-1)2=b,所以b=2.又e=ca=33,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3,所以椭圆c的方程为x23+y22=1.(2)设点a(x0,y0)(x00,y00),则y0=kx0,设ab交x轴于点d,如图,由对称性知:soab=2soad=212x0y0=kx02.由y0=kx0,x023+y022=1,解得x02=62+3k2.所以soab=k62+3k2=62k+3k622k3k=62.当且仅当2k=3k,即k=63时取等号.所以oab面积的最大值为62.3.(2013泉州五中模拟)已知抛物线c:x2=2py(p0)上一点p(a,78)到焦点距离为1.(1)求抛物线c的方程;(2)直线y=kx+2交c于m,n两点,q是线段mn的中点,过q作x轴的垂线交c于点t.证明:抛物线c在点t处的切线与mn平行;是否存在实数k使tmtn=0?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.解:(1)依据抛物线的定义知,p到抛物线焦点f的距离为pf=78+p2=1,所以p=14,抛物线的方程为x2=12y.(2)证明:设m(x1,y1),n(x2,y2),q(x0,y0),联立y=2x2,y=kx+2得2x2-kx-2=0,所以x1+x2=k2,x1x2=-1,所以x0=x1+x22=k4.因为y=2x2,所以y|x=x0=k,所以抛物线y=2x2在t点处的切线与mn平行.由可得tk4,k28,则tmtn=x1-k4x2-k4+y1-k28y2-k28=(k2+1)x1x2+74k-k38(x1+x2)+k216+2-k282=-364(k2-4)(k2+16)=0,解得k=2,所以存在k=2满足tmtn=0.4.(2012年高考江西卷)已知三点o(0,0),a(-2,1),b(2,1),曲线c上任意一点m(x,y)满足|ma+mb|=om(oa+ob)+2.(1)求曲线c的方程;(2)点q(x0,y0)(-2x00,关于m的方程m2-m4k2+2-3=0有解.在x轴上存在点c,使得|ca|2+|cb|2=|ab|2成立.7.(2013年高考广东卷)已知抛物线c的顶点为原点,其焦点f(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为322,设p为直线l上的点,过点p作抛物线c的两条切线pa,pb,其中a,b为切点.(1)求抛物线c的方程;(2)当点p(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线ab的方程;(3)当点p在直线l上移动时,求|af|bf|的最小值.解:(1)抛物线c的焦点f(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为322,|-c-2|2=322,得c=1,f(0,1),即抛物线c的方程为x2=4y.(2)设切点a(x1,y1),b(x2,y2),由x2=4y得y=12x,切线pa:y-y1=12x1(x-x1),有y=12x1x-12x12+y1,而x12=4y1,即切线pa:y=12x1x-y1,同理可得切线pb:y=12x2x-y2.两切线均过定点p(x0,y0),y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,由此两式知点a,b均在直线y0=12xx0-y上,直线ab的方程为y0