山东省济宁市中考数学专项复习 抛物线与圆综合探究题.doc

抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题”，解此类题通常需要熟练掌握抛物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。例1、抛物线交轴于、两点，交轴于点,已知抛物线的对称轴为，,， 求二次函数的解析式；在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到、两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径1解、解：（1）将代入，得 将，代入，得 是对称轴，将（2）代入（1）得， 二次函数得解析式是（2）与对称轴的交点即为到的距离之差最大的点点的坐标为，点的坐标为， 直线的解析式是，又对称轴为， 点的坐标 （3）设、，所求圆的半径为r，则 ，.(1) 对称轴为， .(2)由（1）、（2）得：.(3) 将代入解析式，得 ，.(4)整理得： 由于 r=y，当时，解得， ， （舍去），当时，解得， ， （舍去）所以圆的半径是或 例2、已知：在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点a，抛物线经过o、a两点。 试用含a的代数式表示b； 设抛物线的顶点为d，以d为圆心，da为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在d内，它所在的圆恰与od相切，求d半径的长及抛物线的解析式； 设点b是满足中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点p，使得？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。 （ 1）解法一：一次函数的图象与x轴交于点a 点a的坐标为（4，0）抛物线经过o、a两点 解法二：一次函数的图象与x轴交于点a 点a的坐标为（4，0）抛物线经过o、a两点 抛物线的对称轴为直线 （2）解：由抛物线的对称性可知，doda点o在d上，且doadao 又由（1）知抛物线的解析式为点d的坐标为（） 当时， 如图1，设d被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与d关于x轴对称，设它的圆心为d 点d与点d也关于x轴对称点o在d上，且od与d相切 点o为切点dood doadoa45ado为等腰直角三角形点d的纵坐标为 抛物线的解析式为 当时， 同理可得： 抛物线的解析式为 综上，d半径的长为，抛物线的解析式为或 （3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点p，使得 设点p的坐标为（x，y），且y0 当点p在抛物线上时（如图2） 点b是d的优弧上的一点 过点p作pex轴于点e 由解得：（舍去） 点p的坐标为 当点p在抛物线上时（如图3） 同理可得， 由解得：（舍去） 点p的坐标为 综上，存在满足条件的点p，点p的坐标为 或例3、如图，在直角坐标系中，c过原点o，交x轴于点a（2，0），交y轴于点b（0，）。 求圆心的坐标； 抛物线yax2bxc过o、a两点，且顶点在正比例函数yx的图象上，求抛物线的解析式； 过圆心c作平行于x轴的直线de，交c于d、e两点，试判断d、e两点是否在中的抛物线上； 若中的抛物线上存在点p（x0，y0），满足apb为钝角，求x0的取值范围。解：（1）c经过原点o， ab为c的直径。 c为ab的中点。abcdefohxy过点c作ch垂直x轴于点h，则有chob，ohoa1。圆心c的坐标为（1，）。（2）抛物线过o、a两点，抛物线的对称轴为x1。抛物线的顶点在直线yx上， 顶点坐标为（1，）把这三点的坐标代入抛物线抛物线yax2bxc，得解得抛物线的解析式为。 （3）oa2，ob2，.即c的半径r2。d（3，），e（1，）代入检验，知点d、e均在抛物线上（4）ab为直径，当抛物线上的点p在c的内部时，满足apb为钝角。1x00，或2x03。例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为m(1,4)，且经过点n(2,3)，与x轴交于a、b两点(点a在点b左侧)，与y轴交于点c。 求抛物线的解析式及点a、b、c的坐标； 若直线y=kx+t经过c、m两点，且与x轴交于点d，试证明四边形cdan是平行四边形； 点p在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的p点，使以p为圆心的圆经过a、b两点，并且与直线cd相切，若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由抛物线的顶点是m（1，4），设解析式为 又抛物线经过点n（2，3），所以 解得a1 所以所求抛物线的解析式为y令y0，得解得：得a（1，0） b（3，0） ；令x0，得y3，所以 c（0，3）.（2）直线y=kx+t经过c、m两点，所以即k1，t3 直线解析式为yx3. 令y0，得x3，故d（3，0） cd 连接an，过n做x轴的垂线，垂足为f. 设过a、n两点的直线的解析式为ymxn， 则解得m1，n1 所以过a、n两点的直线的解析式为yx1 所以dcan. 在rtanf中，an3，nf3，所以an 所以dcan。 因此四边形cdan是平行四边形.（3）假设在x轴上方存在这样的p点，使以p为圆心的圆经过a、b两点，并且与直线cd相切，设p（1，u） 其中u0，则pa是圆的半径且过p做直线cd的垂线，垂足为q，则pqpa时以p为圆心的圆与直线cd相切。由第（2）小题易得：mde为等腰直角三角形，故pqm也是等腰直角三角形， 由p（1，u）得peu， pm|4-u|， pq由得方程：，解得，舍去负值u ，符合题意的u，所以，满足题意的点p存在，其坐标为（1，）.例5、已知：如图，抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于c点，acb90， 求m的值及抛物线顶点坐标； 过a、b、c的三点的m交y轴于另一点d，连结dm并延长交m于点e，过e点的m的切线分别交x轴、y轴于点f、g，求直线fg的解析式； 在条件下，设p为上的动点（p不与c、d重合），连结pa交y轴于点h，问是否存在一个常数k，始终满足ahapk，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.解：由抛物线可知，点c的坐标为（0，m），且m0.设a（x1，0），b（x2，0）.则有x1x23m又oc是rtabc的斜边上的高，aoccob，即x1x2m2m23m，解得m0或m3而m0， 故只能取m3这时，故抛物线的顶点坐标为（，4）解法一：由已知可得：m（，0），a（，0），b（3，0），c（0,3），d（0， 3）抛物线的对称轴是x，也是m的对称轴，连结cede是m的直径，dce90，直线x，垂直平分ce，e点的坐标为（2，3），aocdom90，acomdo30，acde accb，cbde又fgde，fgcb由b（3，0）、c（0，3）两点的坐标易求直线cb的解析式为：y3可设直线fg的解析式为yn，把（2，3）代入求得n5故直线fg的解析式为y5解法二：令y0，解30得x1，x23 ，即a（，0），b（3，0）根据圆的对称性，易知：m半径为2， m（，0）在rtboc中，boc90，ob3，oc3cbo30，同理，odm30。而bmedmo，dom90，debcdefg，bcfgefmcbo30在rtefm中，mef90，me2，fem30，mf4，ofommf5，f点的坐标为（5，0）在rtofg中，ogoftan3055g点的坐标为（0，5）直线fg的解析式为y5（解法二的评分标准参照解法一酌定）解法一：存在常数k12，满足ahap12连结cp由垂径定理可知，pach（或利用pabcaco）又cahpac，achapc即ac2ahap在rtaoc中，ac2ao2oc2（）23212（或利用ac2aoab412ahap12解法二：存在常数k12，满足ahap12设ahx，apy由相交弦定理得hdhcahhp即化简得：xy12即ahap12例6、抛物线()交x轴于点a(-1,0)、b（3,0）,交y轴于点c,顶点为d,以bd为直径的m恰好过点c. (1)求顶点d的坐标 (用的代数式表示) ；(2)求抛物线的解析式； (3)抛物线上是否存在点p使pbd为直角三角形？若存在,求出点p的坐标；若不存在,说明理由.解：（1）（方法一）由题意：设抛物线的解析式为点c（0，3a），d（1,4a）（方法二）由题意：，解得（下同方法一）（2）（方法一）过点d作dey轴于点e，易证deccob故抛物线的解析式为：（方法二）过点d作dey轴于点e，过m作mgy轴于点g，设m交x轴于另一点h，交y轴于另一点f，可先证四边形ohde为矩形，则ohde1，再证ofcea，由ohobofoc得：， （下同法一）（3）符合条件的点p存在，共3个若bpd90，p点与c点重合，则p1（0，3）（p1表示第一个p点，下同）若dbp90，过点p2作p2rx轴于点r，设点p2由bp2rdbh得，即，解得或（舍去）故若bdp90，设dp3的延长线交y轴于点n，可证edn hdb，求得en，n（0，）求得dn的解析式为求抛物线与直线dn的交点得p3（），综上所述：符合条件的点p为（0，3）、（）例7、已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于不同的两点a和b（4，0），与y轴交于点c（0，8），其对称轴为x=1. 求此抛物线的解析式； 过a、b、c三点作o与y轴的负半轴交于点d,求经过原点o且与直线ad垂直（垂足为e）的直线oe的方程； 设o与抛物线的另一个交点为p，直线oe与直线bc的交点为q，直线x=m与抛物线的交点为r，直线x=m与直线oe的交点为s。是否存在整数m，使得以点p、q、r、s为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解：(1)由已知，有解得 抛物线的解析式是 y=-x2+2x+8 . (2)令y=0，得方程-x2+2x+80，解得x1=-2，x2=4. 点a的坐标为(-2，0).在o中，由相交弦定理，得oa|ob|=|oc|od|， 即24=8|od|，|od|=1. 点d在y轴的负半轴上，点d的坐标为(0，-1). 在rtaod中，|oa|=2，|od|=1，oead，由勾股定理，有ad=. 又|oa|od|=|ad|oe|，|oe|=. |oa|2=|ae|ad|，即22=|ae|，|ae|=.同理，由|od|2=|de|ad|，得|de|=.设点e(x，y)，且x0，y0. 在rtaoe中，|ae|oe|=|y|oa|， |y|=，y=-. 在rtdoe中，|de|oe|=|x|od|，|x|=，x=-.点e的坐标是(-，-). 设直线oe的方程为y=kx (k0). 直线oe经过点e(-，-)，-=-k，k=2. 直线oe的方程为y=2x. (3)在o中，对称轴x=1垂直平分弦ab，由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心o.c(0，8)，由对称当得点p的坐标为(2，8).设直线bc的方程为y=kx+b (k0). 则有 解得直线bc的方程为y=-2x+8. 联立方程组 解得 点q的坐标为(2，4). 点p(2，8)，点q(2，4)， pqrs. 设点r的坐标为(m，-m2+2m+8)，点s的坐标的(m，2m). 要使四边形pqrs为平行四边形，已知pqrs，尚需条件|rs|=|pq|. 由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4， 得|-m2+8|=4，解得m=2，或m=.而m=2, 不合题意，应舍去. 存在整数m=-2，使得以p、q、r、s为顶点的四边形为平行四边形. 例8、如图3已知抛物线，经过点a(0，5)和点b（3 ，2） (1)求抛物线的解析式：(2)现有一半径为l，圆心p在抛物线上运动的动圆，问p在运动过程中，是否存在p与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心p的坐标：若不存在，请说明理由；(3)若q的半径为r，点q 在抛物线上、q与两坐轴都相切时求半径r的值解析 (1)由题意，得； 抛物线的解析式为 (2)当p在运动过程中，存在p与坐标轴相切的情况设点p坐标为()，则则当p与y轴相切时，有|x0|=1，x0=1由，得， 由，得当p与x轴相切时有 抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方 由，得，解得y0=2，b(2，1) 综上所述，符合要求的圆心p有三个，其坐标分别为： (3)设点q坐标为(x，y)，则当q与两条坐标轴都相切时，有y= 由y=x得，解得 由，得，此方程无解 o的半径为 例9、已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）求的面积；（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由解 （1）抛物线的坐标为（说明：用公式求点的坐标亦可）（2）连；过为的直径而（3）当点运动到的中点时，直线与相切理由：在中，点是的中点，在中，为等边三角形又为直径，当为的中点时，为的切线例10、如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点（1）求证：；（2）设直线是的边的垂直平分线，且与相交于点若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由aeodcbgfxyl解 （1）在和中，四边形是正方形，又，（2）由（1），有，点是的外心，点在的垂直平分线上点也在的垂直平分线上为等腰三角形，而，设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点，把点，点的坐标代入中，得即解得抛物线的解析表达式为（3）假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点aeodcbgfxylq设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形把点，点代入中，得直线的解析表达式为设点，则有把代入，得，即解得或当时，；当时，在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上例11、若抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于a、b两点(a在b的左侧)，以oa、ob为直径分别作o1、o2。(1)试证：无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点；(2)当两圆相等时，求m的值；(3)如果两圆外切，求m的范围；(4)点b能否在原点的左侧？请说明理由；(5)两圆内切时，求m的范围；(6)若两圆内切时，当m点的坐标为(1，0)，试证：oaomob；(7)如果两圆外切,且o1、o2的周长之比为2:1，求m的值；(8)若两圆面积之和为，求m的值；(9)若两圆外切时，外公切线长为3，求m之值。分析 若设y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于a(x1，0)、b(x2,0)，显然x1x2。(1) 因为抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交点的横坐标，即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证明抛物线与x轴总有两个交点，就是要证明方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判别式0=-(m+3)2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+40显然，问题可证。(2)由(1)可知，点a、点b是两个不同的点，若两圆相等，则oa=ob，且点a，点b分布在原点的两侧，又因为x1x2 x10，x20则oa=|x1|=-x1 ob=|x2|=x2-x1=x2 即x1+x2=0则m+3=0 m=-3.思考：此