高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（一）课件 新人教A版必修4.ppt

2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 一 第二章 2 4平面向量的数量积 学习目标1 了解平面向量数量积的物理背景 即物体在力f的作用下产生位移s所做的功 2 掌握平面向量数量积的定义和运算律 理解其几何意义 3 会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义 如何计算这个力所做的功 答案 答案w f s cos 一个物体在力f的作用下产生位移s 如图 思考2 力做功的大小与哪些量有关 答案与力的大小 位移的大小及它们之间的夹角有关 梳理 a b cos a b a b a b cos 思考1 知识点二平面向量数量积的几何意义 什么叫做向量b在向量a上的投影 什么叫做向量a在向量b上的投影 答案 答案如图所示 过b作bb1垂直于直线oa 垂足为b1 则ob1 b cos b cos 叫做向量b在a方向上的投影 a cos 叫做向量a在b方向上的投影 思考2 向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗 答案 答案由投影的定义知 二者不一定相同 梳理 1 条件 向量a与b的夹角为 2 投影 3 a b的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与的乘积 b在a的方向上的投影 b cos 思考1 知识点三平面向量数量积的性质 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别 答案 答案向量的线性运算结果是向量 而向量的数量积是数量 思考2 非零向量的数量积是否可为正数 负数和零 其数量积的符号由什么来决定 答案由两个非零向量的夹角决定 当0 90 时 非零向量的数量积为正数 当 90 时 非零向量的数量积为零 当90 180 时 非零向量的数量积为负数 答案 梳理 设向量a与b都是非零向量 它们的夹角为 1 a b a b 0 a b a b 3 a a 或 a 4 cos 5 a b a b a 2 题型探究 解答 类型一求两向量的数量积 例1已知 a 4 b 5 当 1 a b 2 a b 3 a与b的夹角为30 时 分别求a与b的数量积 解 1 a b 若a与b同向 则 0 a b a b cos0 4 5 20 若a与b反向 则 180 a b a b cos180 4 5 1 20 2 当a b时 90 a b a b cos90 0 3 当a与b的夹角为30 时 a b a b cos30 反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是 1 求a与b的夹角 0 180 2 分别求 a 和 b 3 求数量积 即a b a b cos 要特别注意书写时a与b之间用实心圆点 连接 而不能用 连接 也不能省去 答案 解析 解析如图所示 由题意 得bc a cd a bcd 120 例2已知 a b 5 向量a与b的夹角为 求 a b a b 类型二求向量的模 解答 解答 引申探究若本例中条件不变 求 2a b a 2b 反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2 a 2 即 a 勿忘记开方 解答 跟踪训练2已知 a b 5 且 3a 2b 5 求 3a b 的值 解 3a 2b 2 9 a 2 12a b 4 b 2 9 25 12a b 4 25 325 12a b 3a 2b 5 325 12a b 25 a b 25 3a b 2 3a b 2 9a2 6a b b2 9 25 6 25 25 400 故 3a b 20 类型三求向量的夹角 解答 例3设n和m是两个单位向量 其夹角是60 求向量a 2m n与b 2n 3m的夹角 解 n m 1且m与n夹角是60 a b 2m n 2n 3m m n 6m2 2n2 设a与b的夹角为 反思与感悟 求向量夹角时 应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角 注意向量夹角的范围是 0 解答 跟踪训练3已知a b 9 a在b方向上的投影为 3 b在a方向上的投影为 求a与b的夹角 又 0 180 120 当堂训练 1 已知 a 8 b 4 a b 120 则向量b在a方向上的投影为a 4b 4c 2d 2 答案 2 3 4 5 1 解析 解析向量b在a方向上的投影为 b cos a b 4 cos120 2 答案 2 3 4 5 1 解析 a 1b 2c 3d 5 解析 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 10 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 6 由 得4a b 4 a b 1 3 若a b c与a及与b的夹角均为60 a 1 b 2 c 3 则 a 2b c 2 答案 2 3 4 5 1 解析 11 解析 a 2b c 2 a2 4b2 c2 4a b 2a c 4b c 12 4 22 32 4 0 2 1 3 cos60 4 2 3 cos60 11 25 答案 解析 2 3 4 5 1 5 已知正三角形abc的边长为1 求 解答 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 规律与方法 1 两向量a与b的数量积是一个实数 不是一个向量 其值可以为正 当a 0 b 0 0 90 时 也可以为负 当a 0 b 0 90 180 时 还可以为0 当a 0或b 0或 90 时 2 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算 与实数乘实数 实数乘向量的乘法运算是有区别的 在书写时一定要把它们严格区分开来 绝不可混淆 3 a b a b cos 中 b cos 和 a cos 分别叫做b在a方向