山东省泰安市高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集u=1，2，3，4，5，6，7，8，集合a=2，3，5，集合b=1，3，4，6，7，则集合aub=（）a3b2，5c2，3，5d2，3，5，82下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ay=log2（x+5）bcy=dy=x3以下四个命题中正确命题的个数是（）（1）xr，log2x=0；（2）xr，x20；（3）xr，tanx=0；（4）xr，3x0a1b2c3d44已知b，则下列不等式一定成立的是（）abcln（ab）0d3ab15设等差数列an的公差为d，则a1d0是数列为递增数列的（）a充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件6设四边形abcd为平行四边形，|=6，|=4，若点m、n满足，则=（）a20b15c9d67在abc中，sin2asin2b+sin2csinbsinc，则a的取值范围是（）a（0，b（0，c，）d，）8为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）a向右平行移动个单位长度b向右平行移动个单位长度c向左平行移动个单位长度d向左平行移动个单位长度9已知f（x）=x2+cosx，f（x）为f（x）的导函数，则y=f（x）的图象大致是（）abcd10对任意，不等式sinxf（x）cosxf（x）恒成立，则下列不等式错误的是（）abcd二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷的横线上.11角的终边经过点p（2sin60，2cos30），则sin=12设sn为等差数列an的前n项和，s8=4a3，a7=2，则a9=13若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=14已知向量，的夹角为，且|=，|=2在abc中， =2+2， =26，d为bc边的中点，则|=15已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16已知四边形abcd为平行四边形，点a的坐标为（1，2），点c在第二象限，的夹角为=2（i）求点d的坐标；（ii）当m为何值时，垂直17设函数，其中0w2（）若x=是函数f（x）的一条对称轴，求函数周期t；（）若函数f（x）在区间上为增函数，求w的最大值18设abc的内角a，b，c，的对边分别为a，b，c，满足a（tana+tanc）+b=btanatanc，且角a为钝角（1）求ab的值；（2）若b=3，cosb=，求abc的面积19已知数列an满足：a1+2a2+nan=2（）求数列an的通项公式；（）若bn=log2，求数列cn的前n项和tn20某超市销售某种小商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=80x，其中1x4，a为常数，已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件若该商品的进价为1元/件，当销售价格x为何值时，超市每日销售该商品所获得的利润最大21已知函数f（x）=x31的导函数为f（x），g（x）=emx+f（x）（）若f（2）=11，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）证明函数g（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；（）若对任意x1，x21，1，都有|g（x1）g（x2）|e+1，求m的取值范围2015-2016学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集u=1，2，3，4，5，6，7，8，集合a=2，3，5，集合b=1，3，4，6，7，则集合aub=（）a3b2，5c2，3，5d2，3，5，8【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】先由补集的定义求出ub，再利用交集的定义求aub【解答】解：u=1，2，3，4，5，6，7，8，b=1，3，4，6，7，ub2，5，8，又集合a=2，3，5，aub=2，5，故选：b【点评】本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合2下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ay=log2（x+5）bcy=dy=x【考点】函数单调性的判断与证明【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】直接判断函数的单调性即可【解答】解：y=log2（x+5）在区间（0，+）上为增函数，满足题意在区间（0，+）上为减函数，不满足题意y=在区间（0，+）上为减函数，不满足题意y=x区间（0，+）上是减数函数，不满足题意故选：a【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，是基础题3以下四个命题中正确命题的个数是（）（1）xr，log2x=0；（2）xr，x20；（3）xr，tanx=0；（4）xr，3x0a1b2c3d4【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题；方程思想；数学模型法；简易逻辑【分析】举例说明（1）、（3）正确，（2）错误；由指数函数的值域说明（4）正确【解答】解：（1）log21=0，xr，log2x=0正确；（2）02=0，xr，x20错误；（3）tan0=0，xr，tanx=0正确；（4）由指数函数的值域可知，xr，3x0正确正确命题的个数有3个，故选：c【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了指数函数、对数函数的性质，考查正切函数的值，是基础题4已知b，则下列不等式一定成立的是（）abcln（ab）0d3ab1【考点】对数函数的图像与性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】直接利用对数函数的单调性写出结果即可【解答】解：y=是单调减函数，可得ab0，3ab1故选：d【点评】本题考查对数函数的单调性以及指数函数的单调性的应用，考查计算能力5设等差数列an的公差为d，则a1d0是数列为递增数列的（）a充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件的定义结合数列以及复合函数的单调性判断即可【解答】解：数列an是公差为d的等差数列，若数列即数列a1an为递增数列，则a1ana1an1=a1（anan1）=a1d0，是必要条件；若a1d0，则数列a1an是递增数列即数列为递增数列，是充分条件，故选：a【点评】本题考查了充分必要条件，考查数列的性质以及复合函数的单调性问题，是一道基础题6设四边形abcd为平行四边形，|=6，|=4，若点m、n满足，则=（）a20b15c9d6【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】根据图形得出=+=，=， =（）=2，结合向量结合向量的数量积求解即可【解答】解：四边形abcd为平行四边形，点m、n满足，根据图形可得： =+=，=，=，=（）=2，2=22，=22，|=6，|=4，=22=123=9故选：c【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示7在abc中，sin2asin2b+sin2csinbsinc，则a的取值范围是（）a（0，b（0，c，）d，）【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosa，将得出的不等式变形后代入表示出的cosa中，得出cosa的范围，由a为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出a的取值范围【解答】解：利用正弦定理化简sin2asin2b+sin2csinbsinc得：a2b2+c2bc，变形得：b2+c2a2bc，cosa=，又a为三角形的内角，a的取值范围是（0，故选：b【点评】此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题8为了得到函数y=3cos2x的图象，只需把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点（）a向右平行移动个单位长度b向右平行移动个单位长度c向左平行移动个单位长度d向左平行移动个单位长度【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据诱导公式、函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：函数y=3cos2x=3sin（2x+），把函数y=3sin（2x+）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3sin2（x+）+=3sin（2x+） 的图象，故选：d【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=asin（x+）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题9已知f（x）=x2+cosx，f（x）为f（x）的导函数，则y=f（x）的图象大致是（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】求函数的导数，根据函数的性质即可判断函数的图象【解答】解：f（x）=x2+cosx，f（x）=xsinx，为奇函数，关于原点对称，排除b，d，设g（x）=f（x）=xsinx，则g（x）=0，得x=sinx，由图象可知方程有三个根，在图象a正确，故选：a【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导函数的性质是解决本题的关键10对任意，不等式sinxf（x）cosxf（x）恒成立，则下列不等式错误的是（）abcd【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算【专题】转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】构造函数g（x）=f（x）cosx，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，然后利用单调性进行判断即可【解答】解：构造函数g（x）=f（x）cosx，则g（x）=cosxf（x）sinxf（x），sinxf（x）cosxf（x），g（x）=cosxf（x）sinxf（x）0，即g（x）在上为增函数，则g（）g（），即f（）cosf（）cos，即f（）f（），即f（）f（），又g（1）g（），即f（1）cos1f（）cos，即，故错误的是d故选：d【点评】本题主要考查函数的大小比较，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性是解决本题的关键二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷的横线上.11角的终边经过点p（2sin60，2cos30），则sin=【考点】任意角的三角函数的定义【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sin的值【解答】解：角的终边经过点p（2sin60，2cos30），x=2sin60=，y=2cos30=，r=|op|=，则sin=，故答案为：【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题12设sn为等差数列an的前n项和，s8=4a3，a7=2，则a9=6【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】设等差数列an的公差为d，代入已知可解得a1和d，代入通项公式可得答案【解答】解：设等差数列an的公差为d，s8=4a3，a7=2，8a1+d=4（a1+2d），a7=a1+6d=2，解得a1=10，d=2，a9=10+8（2）=6故答案为：6【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题13若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得，f（x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解【解答】解：f（x）=xln（x+）为偶函数，f（x）=f（x），（x）ln（x+）=xln（x+），ln（x+）=ln（x+），ln（x+）+ln（x+）=0，ln（+x）（x）=0，lna=0，a=1故答案为：1【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题14已知向量，的夹角为，且|=，|=2在abc中， =2+2， =26，d为bc边的中点，则|=2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】根据题意，由向量的加法，分析可得=（+）=（2+2+26）=22，则有|2=（22）2=428+42，由数量积计算可得|2，进而可得答案【解答】解：根据题意，在abc中，d为bc边的中点，则=（+）=（2+2+26）=22，有|2=（22）2=428+42=4，即|=2；故答案为2【点评】本题考查向量的数量积的运用，关键是用与表示15已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有3个零点，则a的取值范围是a=0或a2【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用【分析】由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象当a=0，满足条件，当a2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，故答案为：a=0或a2【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16已知四边形abcd为平行四边形，点a的坐标为（1，2），点c在第二象限，的夹角为=2（i）求点d的坐标；（ii）当m为何值时，垂直【考点】平面向量数量积的运算【专题】方程思想；数学模型法；平面向量及应用【分析】（i）设c（x，y），d（m，n）=（x+1，y2），利用向量夹角公式可得（x+1）2+（y2）2=1又=2（x+1）+2（y2）=2，联立解出c坐标又，可得（m+1，n3）=（2，2），解得m，n（ii）由（i）可知： =（0，1），由于垂直可得（=0，解出即可【解答】解：（i）设c（x，y），d（m，n）=（x+1，y2），与的夹角为=2=，化为（x+1）2+（y2）2=1又=2（x+1）+2（y2）=2，化为x+y=2联立解得或又点c在第二象限，c（1，3）又，（m+1，n3）=（2，2），解得m=3，n=1d（3，1）（ii）由（i）可知： =（0，1），=（2m，2m+1），=（2，1）垂直（=4m（2m+1）=0，解得m=【点评】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17设函数，其中0w2（）若x=是函数f（x）的一条对称轴，求函数周期t；（）若函数f（x）在区间上为增函数，求w的最大值【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得w的值，可得函数的周期（）由正弦函数的单调性求得f（x）的增区间，再利用函数f（x）在区间上为增函数，求得w的最大值【解答】解：函数=4（coswxcossinwxsin）sinwxcos2wx+1=sin2wx（） 由x=是函数f（x）的一条对称轴，可得2w=k+，kz，w=2k+1，再结合0w2，求得w=1，f（x）=sin2x，故t=（）令2k2wxk+，求得x+，kz，再根据函数f（x）在区间上为增函数，可得，且，求得0w，即w得最大值为【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，属于中档题18设abc的内角a，b，c，的对边分别为a，b，c，满足a（tana+tanc）+b=btanatanc，且角a为钝角（1）求ab的值；（2）若b=3，cosb=，求abc的面积【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用【专题】解三角形【分析】（1）把已知的等式变形，化切为弦，结合诱导公式可得ab的值；（2）由cosb=，结合（1）可得sina，利用正弦定理求出a，再求出sinc，代入三角形的面积公式得答案【解答】解：（1）由a（tana+tanc）+b=btanatanc，得a（tana+tanc）=b（tanatanc1），即，tan（a+c）=，则tanb=，sina=cosb=sin（），则a=，ab=；（2）由ab=，得，sina=sin（）=cosb=sinb=，由正弦定理得，即，a=sinc=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=则【点评】本题考查两角和与差的正切，考查了同角三角函数基本关系式的应用，训练了三角形面积的求法，是中档题19已知数列an满足：a1+2a2+nan=2（）求数列an的通项公式；（）若bn=log2，求数列cn的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】分类讨论；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（i）利用递推关系即可得出；（ii）bn=log2=2n1， =（2n1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（i）a1+2a2+nan=2，当n=1时，a1=当n2时，a1+2a2+（n1）an1=2，可得nan=，即an=当n=1时也满足上式，an=（ii）bn=log2=2n1， =（2n1）2n数列cn的前n项和tn=2+322+523+（2n1）2n+（2n3）2n+（2n1）2n+1tn=2+222+22n（2n1）2n+1=2（2n1）2n+1=（32n）2n+16tn=（2n3）2n+1+6【点评】本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20某超市销售某种小商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=80x，其中1x4，a为常数，已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件若该商品的进价为1元/件，当销售价格x为何值时，超市每日销售该商品所获得的利润最大【考点】函数模型的选择与应用【专题】应用题；函数思想；函数的性质及应用【分析】由销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件，建立方程，求出a，可得f（x）的解析式；商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值【解答】解：由题意，销售价格为3元/件时，每日可售出该商品11件，11=+109803，解得a=158，故y=+10x280x（1x4）；商场每日销售该商品所获得的利润为g（x）=（x1）f（x）=（160x158）+（x1）（10x280x）（1x4），g（x）=30（x4）（x2）列表得x，y，y的变化情况： x（1，2）2（2，4）g（x）+0g（x） 单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x=2是函数f（x）在区间（1，4）内的极大值点，也是最大值点，此时g（x）=42元【点评】本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题21已知函数f（x）=x31的导函数为f（x），g（x）=emx+f（x）（）若f（2）=11，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）证明函数g（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；（）若对任意x1，x21，1，都