【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第13章 空间向量与立体几何13．2空间向量在立体几何中的应用练习（含解析）苏教版.doc

课时作业60空间向量在立体几何中的应用1如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中点(1)求直线be和平面abb1a1所成的角的正弦值；(2)在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f平面a1be？证明你的结论2如图，在三棱柱abca1b1c1中，h是正方形aa1b1b的中心，aa12，c1h平面aa1b1b，且c1h.(1)求异面直线ac与a1b1所成角的余弦值；(2)求二面角aa1c1b1的正弦值；(3)设n为棱b1c1的中点，点m在平面aa1b1b内，且mn平面a1b1c1，求线段bm的长3如图，在长方体abcda1b1c1d1中，已知ab4，ad3，aa12，e，f分别是棱ab，bc上的点，且ebfb1.(1)求异面直线ec1与fd1所成角的余弦值；(2)试在面a1b1c1d1上确定一点g，使dg平面d1ef.4(2012江苏泰州第一学期期末)如图，在三棱锥pabc中，平面abc平面apc，abbcappc，abcapc90.(1)求直线pa与平面pbc所成角的正弦值；(2)若动点m在底面三角形abc上，二面角mpac的余弦值为，求bm的最小值参考答案 1解：设正方体的棱长为1.如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得b(1,0,0)，e，a(0，0,0)，d(0,1,0)，所以，(0,1,0)在正方体abcda1b1c1d1中，因为ad平面abb1a1，所以a是平面abb1a1的一个法向量设直线be和平面abb1a1所成的角为，则sin ，即直线be和平面abb1a1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得a1(0,0,1)，(1,0,1)，.设n(x，y，z)是平面a1be的一个法向量，则由n0，n0，得所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设f是棱c1d1上的点，则f(t,1,1)(0t1)又b1(1,0,1)，所以(t1,1,0)而b1f 平面a1be，于是b1f平面a1ben0(t1,1,0)(2,1，2)02(t1)10tf为c1d1的中点这说明在棱c1d1上存在点f(c1d1的中点)，使b1f平面a1be.2解：如图所示，建立空间直角坐标系，点b为坐标原点依题意得a(2，0,0)，b(0,0,0)，c(，)，a1(2，2，0)，b1(0，2，0)，c1(，)(1)易得(，)，(2，0,0)，于是cos，所以异面直线ac与a1b1所成角的余弦值为.(2)易知(0,2，0)，(，)设平面aa1c1的法向量m(x，y，z)，则即不妨令x，可得m(，0，)同样地，设平面a1b1c1的法向量n(x，y，z)，则即不妨令y，可得n(0，)，于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角aa1c1b1的正弦值为.(3)由n为棱b1c1的中点，得n.设m(a，b,0)，则.由mn平面a1b1c1，得即解得故m.因此，所以线段bm的长|.3解：(1)以d为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有d(0,0,0)，d1(0,0,2)，c1(0,4,2)，e(3,3,0)，f(2,4,0)，于是(3,1,2)，(2，4,2)设ec1与fd1所成角为，则cos .所以异面直线ec1与fd1所成角的余弦值为.(2)因点g在平面a1b1c1d1上，故可设g(x，y,2).(x，y,2)，(2，4,2)，(1,1,0)由得解得故当点g在面a1b1c1d1上，且到a1d1，c1d1距离均为时，dg平面d1ef.4解：如图，取ac中点o.因为abbc，所以oboc.因为平面abc平面apc，平面abc平面apcac，所以ob平面pac，所以obop.以o为坐标原点，ob，oc，op分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系因为abbcpa，所以obocop1，从而o(0,0,0)，b(1,0,0)，a(0，1,0)，c(0，1,0)，p(0,0,1)，所以(1,1,0)，(1,0，1)，(0,1,1)设平面pbc的一个法向量n1(x，y，z)，则n10，n10，所以取x1，则n1(1,1,1)，所以cos，n1，所以直线pa与平面pbc所成角的正弦值为.(2)由题意知，平面pac的一个法向量n2(1,0,0)，设平面pam的法向量为n3(x，y，z)，m(m，n