【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第十一章概率与统计11．6离散型随机变量的数字特征、正态分布教学案 新人教B版.doc

11.6离散型随机变量的数字特征、正态分布1理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题2借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值：称e(x)_为随机变量x的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的_(2)方差：称d(x)_为随机变量x的方差，它刻画了随机变量x与其均值e(x)的_，其算术平方根为随机变量x的_2均值与方差的性质(1)e(axb)_；(2)d(axb)_(a，b为实数)3两点分布和二项分布的均值和方差若随机变量x服从参数为p的两点分布，则e(x)_，d(x)_.若随机变量x服从参数为n，p的二项分布，即xb(n，p)，则e(x)_，d(x)_.4正态分布(1)正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)，xr.其中，是参数，且0，.式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差数学期望为、标准差为的正态分布通常记作n(，2)正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线(2)正态分布的性质：曲线在_轴的上方，并且关于直线_对称；曲线在x时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；曲线的形状由参数确定，越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“高瘦”从理论上可以证明，正态变量在区间(，)，(2，2)，(3，3)内，取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%.1某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为()a10% b20% c30% d40%2随机变量的分布列如下：101pabc其中a，b，c成等差数列，若e()，则d()的值是_一、离散型随机变量的均值【例1】 已知随机变量x的分布列为：x21012pm(1)求e(x)；(2)若y2x3，求e(y)方法提炼1求数学期望(均值)的关键是求出其分布列若已知离散型随机变量的分布列，可直接套用公式e(x)x1p1x2p2xnpn求其均值随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找准随机变量及其相应的概率即可计算2若x是随机变量，且yaxb，其中a，b为常数，则y也是随机变量，且e(y)ae(x)b.请做演练巩固提升2二、离散型随机变量的方差【例2】 袋中有20个大小相同的球，其中标号为0号的有10个，标号为n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，x表示所取球的标号(1)求x的分布列、期望和方差；(2)若axb，e()1，d()11，试求a，b的值方法提炼均值仅体现了随机变量取值的平均水平如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围的变化，方差或标准差大，说明随机变量取值较分散；方差或标准差小，说明取值较集中请做演练巩固提升3三、二项分布的均值与方差【例3】 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望e()3，标准差为.(1)求n，p的值并写出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率方法提炼1若x服从两点分布，则e(x)p，d(x)p(1p)；2若xb(n，p)，则e(x)np，d(x)np(1p)请做演练巩固提升4四、正态分布及其应用【例41】 已知随机变量服从正态分布n(2，2)，p(4)0.84，则p(0)()a0.16 b0.32 c0.68 d0.84【例42】 已知三个正态分布密度函数i(x)(xr，i1,2,3)的图象如图所示，则()a123，123b123，123c123，123d123，123方法提炼1若连续型随机变量服从正态分布，即n(，2)，则e()，d()2，这里，的意义是数学期望和标准差在正态分布曲线中确定曲线的位置，而确定曲线的形状如果给出两条正态分布曲线，我们可以根据正态分布曲线的位置和形状判别相应的和的大小关系2正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上的概率相等正态曲线与x轴之间的面积为1.请做演练巩固提升1正态分布性质的正确理解【典例】 已知随机变量服从正态分布n(0，2)，若p(2)0.023，则p(22)等于()a0.477 b0.628c0.954 d0.977解析：p(22)12p(2)10.0460.954.答案：c答题指导：1本题易在以下两点出错：(1)找不到p(2)与p(22)之间的关系(2)对正态分布定义及性质理解不到位2在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数，求出，然后确定三个区间(范围)：(，(2，2，(3，3与已知概率值进行联系求解1设两个正态分布n(1，)(10)和n(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()a12，12b12，12c12，12d12，122(2012福建厦门质检)2011年7月以来，持续的高温少雨天气导致西南五省市部分地区发生较为严重的旱情，为此，某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车，分配到附近的a，b，c，d四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车若这五辆消防车中去a村的辆数为随机变量，则e()的值为()a bc1 d3袋中有同样的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量的概率分布；(2)随机变量的数学期望与方差4在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设4名考生选做每一道题的概率均为.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布列及数学期望参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)x1p1x2p2xipixnpn数学期望平均水平(2)(xie(x)2pi平均偏离程度标准差2(1)ae(x)b(2)a2d(x)3pp(1p)npnp(1p)4(2)xx基础自测1d解析：由题意可知，120分以上的人数也占10%，故90分至120分之间的考生人数所占百分比约为40%.2.解析：a，b，c成等差数列，2bac，又abc1，e()1a1cca.所以a，b，c，d()(1)222.考点探究突破【例1】 解：(1)由离散型随机变量分布列的性质，得m1，解得m，e(x)(2)(1)012.(2)方法一：由公式e(axb)ae(x)b，得e(y)e(2x3)2e(x)32()3.方法二：由于y2x3，所以y的分布列如下：y75311pe(y)(7)(5)(3)(1)1.【例2】 解：(1)x的分布列是x01234pe(x)012341.5，d(x)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由d()a2d(x)，得a22.7511，即a2.又e()ae(x)b，当a2时，由121.5b，得b2；当a2时，由121.5b，得b4.或【例3】 解：(1)由e()np3，d()np(1p)，得1p，从而n6，p.的分布列为0123456p(2)记“需要补种沙柳”为事件a，则p(a)p(3)，得p(a)，或p(a)1p(3)1.【例41】 a解析：由正态分布的特征得p(0)1p(4)10.840.16.【例42】 d解析：是曲线的对称轴越小，曲线越瘦高；越大，曲线越矮胖演练巩固提升1a解析：正态分布曲线关于直线x对称，它是在x处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线越“矮胖”；反过来，越小，曲线越“瘦高”2d解析：由题意知，随机变量的取值是1,2，“2”是指“有两辆消防车同时去a村”，则p(2)，所以p(1).所以e()12.3解：(1)随机变量可取的值为2,3,4，p(2)；p(3)；p(4)，所以随机变量的概率分布列为x234p(x)(2)随机变量的数学期望e()234；随机变量的方差d()(22.5)2(32.5)2(