十二届九年级中环杯决赛答案.pdf

第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动九年级决赛答案 1 8 第十第十二二届届 中环杯中环杯 中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 九九年级年级决赛决赛答案答案 一 填空题 1 答案 12 解答 只有下面这两种类型 第一类有 9 种 第二类种有 3 种 2 答案 4231 解答 前三个区域的周率依次等于正方形 圆 正三角形的周长与两点最远距离 之比 所以 1 2 2 2 3 3 第四个区域的周率可以转化为一个正六 边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比 所以 4 2 3 则 4231 3 答案 4a 解答 设函数的定义域 12 Dx x 值域是 12 y y 则正方形水平方向的边长等于 21 xx 竖直方向的边长等于 21 yy 因为 12 x x是方程 2 axbxc 0 的两根 所以 21 xx a 2 2 4bac a 因为 1 0y 2 2 4 4 acb y a 所以 21 yy 2 4 4 acb a 所以 22 2 44 4 bacacb aa 2 4aa 4a 4 答案 2ACABAD 解答 如图 过O点作OMAC 于M 交AD于N 联结OD 容易证明OD AC 从而OMOD 根据直角边小于斜边 可得 AMAN ODND 即 1 2 1 2 ACAN ABND 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动九年级决赛答案 2 8 故2ACABAD N A D B C O M 5 答案 13a 解答 2 2222 120 xbaxaxbxb 考虑到解集中的整数恰有3个 所以 2 101aa 或1a 考虑到01ba 所以1a 所以将不等式 转化为 222 120110axbxbaxbaxb 由于1a 所以 0 1 b a 故解集为 11 bb x aa 由于01ba 得01 1 b a 故另一 根满足32 1 b a 即2233aba 即13a 6 答案 1 3 c 或51c 解答 当1ab 时 抛物线为 2 32yxxc 且与x轴有公共点 对于方程 2 320 xxc 判别式4 120c 有 1 3 c 当 1 3 c 时 由方程 2 1 320 3 xx 解得 12 1 3 xx 此时抛物线为 2 1 32 3 yxx 与x轴只有一个公共点 1 0 3 满足要求 当 1 3 c 时 1 1x 时 1 1yc 2 1x 时 2 5yc 由已知11x 时 该抛物线与x轴有且只有一个公共点 考虑其对称轴为 1 3 x 应有 1 2 0 0 y y 即 10 50 c c 解得51c 综上 1 3 c 或51c 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动九年级决赛答案 3 8 7 答案 12 1117 5 2 xx 解答 由于 22 9180918036xxxxx 所以 2 2 251411168 2514117 251411 7 25141877 2519 251 9 2589 4 xxxx xxx xxx xxx xx xx xx x 所以最后变为 2 918 4 2 xx x 当34x 时 22 2 918918 4411260 22 xxxx xxxx 此时 的解为 1117 2 x 容易验证 此时 1 1117 2 x 满足我们的要求 当46x 时 22 2 918918 447100 22 xxxx xxxx 此时 的解为2x 或5 容易知道此时 2 5x 满足我们的要求 8 答案 1 解答 22 22 22 11111 1 ababab ababab axbybyaxab bxaya yaxb xby bxay 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动九年级决赛答案 4 8 9 答案 10 1 1 2 36 nn 解答 当3n 时 如图 分别用小写字母表示各顶点的数 则 121212 1 abcxxab yybc zzca 122112 2gxyxzyz 故 121212 2 2 xxyyzzabc 121212 62 2gxxyyzzabc 即 1 3 g 121212 110 3 12 33 fabcxxyyzzg 进一步可求得 4 5f 由上知 1 f中有3个数相加 2 f中有6个数相加 3 f中有10个数相加 4 f 中有 15 个数相加 设 1 f n 中有 1 1 n an 个数相加 可得 f n中有 1 1 n an 个数相加 且由 363331045 1 1 2 1 3 2 4 5 3 3333333 fffffff 可得 1 1 3 n f nf n 所以 1113 1 2 1 333333 nnnnn f nf nf nf 13211 1 2 333336 nn nn 10 答案 10571 解答 由 3 192 191a 可得由 3 192 1a 192 3 2 6 且 3 1 1 1 1 1 1 1 aaa aaa aa 因为 1 1a a 是奇数 所以 63 2 1a 等价于 6 2 1a 又因为3 1 1 aa a 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动九年级决赛答案 5 8 所以 3 3 1a 等价于3 1a 因此有192 1a 于是可得1921ak 又因为02012a 所以0 1k 10 因此 满足条件的所有可能的正整 数a的和为 11 1921 21010571 二 动手动脑题 1 证明 用反证法 假设 2 1abc 2 1bca 2 1cab 都是完全平 方数 由 于 比 2 a大 的 完 全 平 方 数 中 最 小 的 是 2 1a 所 以 2 2 112abcabca 同理可以得2cab 2abc 要使得不 等式组 2 2 2 bca cab abc 都成立 容易证明此时三个大于等于号必须都取等号 所以 2 2 2 bca cab abc 方程 1 减去方程 2 得到ab 从而可以推出abc 与已 知 a b c不全相等矛盾 得证 2 答案 101022 101022 223 103 10 221010 xxxx yyyy 一共四组解 解答 22 44 4422 432234 4322344 44 2222 22 1 15232 152232 154640 46416 2 220 2220 xy xyxyxy xyxyxxyy xx yx yxyy xx yx yxyyx xyx xyxxyx xyxxyxxyx 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动九年级决赛答案 6 8 所以2xyxyx 或23xyxyx 或 22 200 xyxxy 当yx 时 代入 22 22 22 1 22 22 xx xy yy 当3yx 时 代入 22 1010 1010 1 3 103 10 1010 xx xy yy 当0 xy 时 显然不是原方程组的根 所以舍弃 3 证明 作点B关于AC的对称点E 延长BC到点F 使得BFBA 容易知道BED 为等边三角形 所以BEEDBD 由于 2 AB BCBD 所以 2 BF BCBD BDCBFD 所 以 30 1 BFDBDC DBFB DCFD 其 次 由 于 6 06 0C B DA B DC B DA B D 而60EBD 所以 CBDEBDABDABDFBE 所 以 B AB F A B DF B EB D A B DB E BEF 所 以150BEFBDA 由 于60BED 所 以 360150FEDFEBBEDFEB 所以 FEFE FEBFEDFEB EBED FED 所以FBFD 代入 1 则DBDC 第十二届 中环杯 中小学生思维能力训练活动九年级决赛答案 7 8 F E D B C A 4 答案 4 6m n 解 答 先 将 方 程 转 化 为 32 216 n mm 将n用 带 余 除 法 表 示 为 303nqrr 则 3 228221 2 4 mod7 nq rqrr 而另一边 322 161160 1 3 5 6 mod7mmmm 所 以 21 mo d 7 r 考 虑 到 03r 所以0r 所以 3 3 222 nqq 是某一个数的立方 当4m 时 容易 证明 3 332 161mmmm 不是一个数的立方 所以4m 尝试一下就知 道4 6mn 满足条件 5 答案