高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修11.ppt

2 3 2抛物线的简单几何性质 新知探求 课堂探究 新知探求素养养成 知识点一 问题1 类比椭圆 双曲线的几何性质 你认为可以讨论抛物线哪些几何性质 答案 可以讨论抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 问题2 与椭圆 双曲线相比较 抛物线的几何性质有哪些不同 答案 抛物线只有一条对称轴 一个顶点 它没有对称中心 抛物线的离心率是常数1 抛物线的几何性质 梳理 0 0 y 0 x 0 1 知识点二 梳理已知ab是抛物线y2 2px p 0 的焦点弦 且a x1 y1 b x2 y2 点f是抛物线的焦点 如图 则有 抛物线的焦点弦 梳理设直线方程为y kx b 抛物线方程为y2 2px p 0 两方程联立并消去y得k2x2 2 kb p x b2 0 1 当k 0时 直线与抛物线的对称轴平行 b 0时重合 直线与抛物线有一个交点 2 当k 0时 若 0 直线与抛物线有两个不同的交点 若 0 直线与抛物线相切 有一个公共点 若 0 直线与抛物线相离 没有公共点 知识点三 直线与抛物线的位置关系 名师点津 抛物线的几何性质 只要与椭圆 双曲线加以对照 很容易把握 但由于抛物线的离心率等于1 题型一 抛物线的几何性质 课堂探究素养提升 例1 已知正三角形aob的一个顶点o位于坐标原点 另外两个顶点a b在抛物线y2 2px p 0 上 求这个三角形的边长 方法技巧若等腰三角形的顶点是抛物线的顶点 另外两个顶点在抛物线上 则这两个顶点关于抛物线的对称轴对称 即时训练1 等腰rt abo内接于抛物线y2 2px p 0 o为抛物线的顶点 oa ob 则 abo的面积是 a 8p2 b 4p2 c 2p2 d p2 题型二 直线与抛物线的位置关系 例2 已知直线l y k x 1 与抛物线c y2 4x 问 k为何值时 直线l与抛物线c有两个交点 一个交点 无交点 方法技巧探究直线和抛物线的位置关系时 由于消元后所得的方程中含参数 因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论 然后再对判别式 进行讨论 题型三 抛物线的焦点弦 例3 2018 包头高二检测 已知抛物线c y2 4x f是抛物线c的焦点 过点f的直线l与c相交于a b两点 o为坐标原点 1 如果l的斜率为1 求以ab为直径的圆的方程 2 设 fa 2 bf 求直线l的方程 方法技巧有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 ab x1 x2 p 焦点在x轴正半轴 若不过焦点 则必须用弦长公式 即时训练2 2018 河北高二质检 如图所示 o为坐标原点 过点p 2 0 且斜率为k的直线l交抛物线y2 2x于m x1 y1 n x2 y2 两点 1 求x1x2与y1y2的值 2 求证 om on 题型四 抛物线中的定点 定值问题 例4 2018 长春高二检测 已知动圆过定点a 4 0 且在y轴上截得弦mn的长为8 1 求动圆圆心的轨迹c的方程 2 已知点b 1 0 设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p q 若x轴是 pbq的角平分线 证明直线l过定点 方法技巧 1 圆锥曲线中定点问题的两种解法 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 2 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 求代数式为定值 依题意设条件 得出与代数式参数有关的等式 代入代数式 化简即可得出定值 求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 再利用题设条件化简 变形求得 求某线段长度为定值 利用长度公式求得解析式 再依据条件对解析式进行化简 变形即可求得 备用例2 设抛物线c y2 4x f为c的焦点 过f的直线l与c相交于a b两点 1 设l的斜率为1 求 ab 的大小 题型五 易错辨析 对直线与抛物线的公共点认识不清致误 错解 选a纠错 只考虑斜率存在的情况 忽视斜率不存在及直线平行于抛物线对称轴时的两种情形 正解 易知过点 0 1 斜率不存在的直线为x 0 满足与抛物线y2 4x只有一个公共点 当斜率存在时 设直线方程为y kx 1 再与y2 4x联立整理得k2x2 2k 4 x 1 0 当k 0时 方程是一次方程 有一个解 满足一个交点 当k 0时 由 0可得k值有一个 即有一个公共点 所以满足题意的直线有3条 故选c 例5 过点 0 1 且与抛物线y2 4x只有一个公共点的直线有 a 1条 b 2条 c 3条 d 0条 学霸经验分享区直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略 1 求线段长度和线段之积 和 的最值 可依据直线与抛物线相交 依据弦长公式 求出弦长或弦长关于某个量的函数 然后利用基本不等式或利用函数的知识 求函数的最值 也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到