高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性课件 理.ppt

第二节导数与函数的单调性 总纲目录 教材研读 函数的导数与单调性的关系 考点突破 考点二利用导数求函数的单调区间 考点一利用导数判断或证明函数的单调性 考点三已知函数的单调性求参数的范围 函数的导数与单调性的关系函数y f x 在某个区间内可导 1 若f x 0在该区间内恒成立 则f x 在这个区间内 单调递增 2 若f x 0在该区间内恒成立 则f x 在这个区间内 单调递减 3 若f x 0在该区间内恒成立 则f x 在这个区间内是 常数函数 教材研读 1 函数f x cosx x在 0 上的单调性是 a 先增后减b 先减后增c 单调递增d 单调递减 答案d 在 0 上 f x sinx 1 0 f x 在 0 上单调递减 故选d d 2 若函数f x x sin2x asinx在 单调递增 则a的取值范围是 a 1 1 b c d c 答案cf x 1 cos2x acosx 1 2cos2x 1 acosx cos2x acosx f x 在r上单调递增 则f x 0在r上恒成立 令cosx t 则t 1 1 则 t2 at 0在 1 1 上恒成立 即4t2 3at 5 0在 1 1 上恒成立 令g t 4t2 3at 5 则解得 a 故选c 3 2016北京东城期中 已知定义在r上的函数f x 的图象如图所示 则x f x 0的解集为 a 0 1 2 b 1 2 c 1 d 1 2 a 答案a不等式x f x 0等价于当x 0时 f x 0 即x 0时 函数f x 递增 则1 x 2 或当x 0时 f x 0 即x 0时 函数f x 递减 则x 0 综上 不等式的解集为 0 1 2 故选a 4 函数y x2 lnx的单调递减区间为 0 1 答案 0 1 解析由题意知函数的定义域为 0 由y x 0 x 0 解得0 x 1 所以函数的单调递减区间为 0 1 5 已知f x x3 ax在 1 上是增函数 则a的最大值是3 答案3 解析f x 3x2 a 由题意知在 1 上 f x 0 即a 3x2 又x 1 时 3x2 3 a 3 即a的最大值是3 考点一利用导数判断或证明函数的单调性典例1已知函数f x x 2 ex a x 1 2 讨论f x 的单调性 考点突破 解析f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 1 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 2 设a 0 由f x 0得x 1或x ln 2a 若a 则f x x 1 ex e 所以f x 在 单调递增 若a 则ln 2a 0 当x ln 2a 1 时 f x 1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 单调递增 在 1 ln 2a 单调递减 方法技巧用导数法判断函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 求f x 确定f x 在 a b 内的符号 作出结论 依据是f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 提醒研究含参数的函数的单调性时 需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 1 1已知函数f x ax3 x2 a r 在x 处取得极值 1 确定a的值 2 若g x f x ex 讨论g x 的单调性 解析 1 对f x 求导得f x 3ax2 2x 因为f x 在x 处取得极值 所以f 0 即3a 2 0 解得a 2 由 1 得g x ex 故g x ex ex ex x x 1 x 4 ex 令g x 0 解得x 0或x 1或x 4 当x0 故g x 为增函数 当 10时 g x 0 故g x 为增函数 综上知g x 在 4 和 1 0 内为减函数 在 4 1 和 0 内为增函数 典例2 2017北京顺义二模 18 已知函数f x pe x x 1 p r 1 当实数p e时 求曲线y f x 在x 1处的切线方程 2 求函数f x 的单调区间 3 当p 1时 若直线y mx 1与曲线y f x 没有公共点 求实数m的取值范围 考点二利用导数求函数的单调区间 解析 1 当p e时 f x e x 1 x 1 f x e x 1 1 f 1 3 f 1 0 曲线y f x 在x 1处的切线方程为y 3 2 f x pe x x 1 f x pe x 1 当p 0时 f x 0 函数f x 的单调递增区间为 当p 0时 令f x 0 得ex p 解得x lnp 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当p 0时 f x 的单调递增区间为 lnp 单调递减区间为 lnp 3 当p 1时 f x e x x 1 直线y mx 1与曲线y f x 没有公共点等价于关于x的方程mx 1 e x x 1在 上没有实数解 即关于x的方程 m 1 x e x 在 上没有实数解 当m 1时 方程 化为e x 0 显然在 上没有实数解 当m 1时 方程 化为xex 令g x xex 则有g x 1 x ex 令g x 0 得x 1 则当x变化时 g x g x 的变化情况如下表 当x 1时 g x min 当x趋近于 时 g x 趋近于 从而g x 的值域为 所以当 即1 e m 1时 方程 无实数解 综合 可知 实数m的取值范围是 1 e 1 方法技巧利用导数求函数的单调区间的两个方法方法一 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 3 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递增区间 4 解不等式f x 0 解集在定义域内的部分为单调递减区间 提醒写单调区间时 同增 减 区间不能用 连接 方法二 1 确定函数y f x 的定义域 2 求导数y f x 令f x 0 解此方程 求出在定义域内的一切根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 和上面所求的各根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义域分成若干个小区间 4 确定f x 在各个区间内的符号 根据符号判定函数在每个区间内的单调性 2 1 2018北京朝阳高三期中 18 已知函数f x x2 ax a e x a r 1 求函数f x 的单调区间 2 设g x f x 其中f x 为函数f x 的导函数 判断g x 在定义域内是否是单调函数 并说明理由 解析 1 函数f x 的定义域为 x x r f x x 2 x a e x 当a2 此时f x 为减函数 令f x 0 解得a2时 令f x a 此时函数f x 为减函数 令f x 0 解得22时 f x 的单调递减区间为 2 a 单调递增区间为 2 a 2 g x 在定义域内不是单调函数 理由如下 g x f x x2 a 4 x 3a 2 e x 记h x x2 a 4 x 3a 2 则函数h x 的图象为开口向上的抛物线 方程h x 0的判别式 a2 4a 8 a 2 2 4 0恒成立 所以h x 有正有负 从而g x 有正有负 故g x 在定义域内不是单调函数 考点三已知函数的单调性求参数的范围 典例3设函数f x x3 x2 bx c 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 1 求b c的值 2 若a 0 求函数f x 的单调区间 3 设函数g x f x 2x 且g x 在区间 2 1 内存在单调递减区间 求实数a的取值范围 解析 1 f x x2 ax b 由题意得即 2 由 1 得f x x2 ax x x a 结合a 0知 当x 0 时 f x 0 当x 0 a 时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 单调递减区间为 0 a 3 g x x2 ax 2 依题意 存在x 2 1 使不等式g x x2 ax 2 0成立 即x 2 1 时 a 2 当且仅当x 即x 时等号成立 所以满足要求的a的取值范围是 2 方法技巧利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 1 由可导函数f x 在区间 a b 上单调递增 减 可知f x 0 f x 0 在区间 a b 上恒成立 进而列出不等式 2 利用分离参数法求解恒成立问题 3 对等号是否成立进行单独检验 检验参数的取值能否使f x 在整个区间上 或该区间的子区间上 恒等于0 若f x 恒等于0 则参数的这个值应舍去 若只有在个别点 有限点 处有f x 0 则参数可取这个值 3 1 2017北京朝阳期中改编 已知函数f x ex x2 a a r 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 若函数f x 在 3 0 上单调递减 试求a的取值范围 解析由题意可知f x ex x2 2x a 1 因为a 1 所以f 0 1 f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 x 0