高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法课件 北师大版选修22.ppt

1 4数学归纳法 数学归纳法 1 定义 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法 2 证明步骤 验证当n取第一个值n0 如n0 1或2等 时 命题成立 在假设当n k k n k n0 时命题成立的前提下 推出当n k 1时 命题成立 根据 可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立 3 证明依据 数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立 因为根据 验证了当n 1时命题成立 根据 可知 当n 1 1 2时命题成立 由于n 2时命题成立 再根据 可知 当n 2 1 3时命题也成立 这样递推下去 就可以知道当n 4 5 时命题成立 即命题对任意正整数n都成立 名师点拨应用数学归纳法的注意事项 1 数学归纳法的两个步骤缺一不可 步骤 是命题论证的基础 步骤 是判断命题的正确性能否递推下去的保证 这两个步骤缺一不可 若只有步骤 缺少步骤 则无法判断n k k n0 时命题是否成立 若只有步骤 缺少步骤 则假设就失去了成立的前提 步骤 就没有意义了 2 用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步 即n k 1时为什么成立 n k 1时成立是利用假设n k时成立 根据有关的定理 定义 公式 性质等数学结论推证出n k 1时成立 而不是直接代入 否则n k 1时也成假设了 命题并没有得到证明 做一做1 用数学归纳法证明3n n3 n 4 n n 第一步应验证 a n 1b n 2c n 3d n 4解析 由题意知n 4 n n 所以第一步应验证n 4 故选d 答案 d 做一做2 用数学归纳法证明1 3 5 2n 1 n 1 2 当n 1时 左边式子为 从k到k 1左端需增加的式子是 解析 当n 1时 左边 1 3 4 右边 1 1 2 4 左边式子是连续 n 1 个奇数相加 因此当n k时 左边式子为1 3 5 2k 1 当n k 1时 左边式子为1 3 5 2 k 1 1 1 3 5 2k 1 2k 3 故增加的式子是2k 3 答案 1 32k 3 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1 2 数学归纳法的两个步骤缺一不可 3 凸 n 1 边形的对角线比凸n边形的对角线多 n 1 条 4 用数学归纳法证明 2n n2 1对n n0的正整数n都成立 时 第一步证明的初始值n0应取2 5 所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用数学归纳法证明恒等式 等式左边 等式右边 所以等式成立 2 假设n k k n k 1 时等式成立 即有 探究一 探究二 探究三 思维辨析 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知对一切n n 等式都成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用数学归纳法证明问题的三个关键点 1 验证是基础 数学归纳法的原理表明 第一个步骤是要找一个数n0 n0 1 n n 这个n0就是要证明的命题对象对应的最小正整数 这个正整数并不一定是 1 2 递推是关键 数学归纳法的实质在于递推 所以从 k 到 k 1 的过程中 要正确分析式子项数的变化 关键是弄清等式两边的构成规律 弄清由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 3 利用假设是核心 在第二步证明n k 1成立时 一定要利用归纳假设 即必须把假设 n k时命题成立 作为条件来导出 n k 1时命题成立 在书写f k 1 时 一定要把包含f k 的式子写出来 尤其是f k 中的最后一项 这是数学归纳法的核心 不用归纳假设的证明不是数学归纳法 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 左边 1 1 2 右边 21 1 2 等式成立 2 假设当n k k 1 k n 时 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 2k 1 则当n k 1时 k 1 1 k 1 2 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2 2k 1 3 2k 1 2k 1 2k 1 1 3 2k 1 2 k 1 1 所以当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任意正整数n都成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用数学归纳法证明不等式 分析 此题用数学归纳法证明时 要注意n 2 故第 1 步应验证n 2时是否成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当n k 1时 不等式也成立 综合 1 和 2 知对任意n 2 n n 原不等式恒成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟用数学归纳法证明不等式的具体形式和关键 1 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求证明 二是给出两个式子 按照要求比较大小 对于第二种形式通常要先对n取前几个值的情况分别验证比较 再猜出从某个n值开始都成立的结论 最后用数学归纳法证明 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时成立 得n k 1时成立 要利用假设 并对照目标进行恰当的放缩 使问题简单化 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 所以当n k 1时 不等式也成立 由 1 和 2 知对一切大于1的正整数n 不等式都成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 用数学归纳法证明与数列有关的问题 分析 在研究数列问题时常用数学归纳法 对于数列的通项 前n项和的公式推导中 应注意由n k到n k 1时中间的过渡项是什么 由 1 和 2 可知等式对任何正整数n都成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟数列与数学归纳法有着非常密切的关系 数列是定义在n 或其有限子集 上的函数 这与数学归纳法运用的范围是一样的 并且数列的递推公式与归纳原理实质上也是一致的 因此数列中有不少问题都可以用数学归纳法证明 在证明过程中尤其要注意 由n k到n k 1时 中间的过渡项增加多少项 这是解决问题的关键 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3在数列 an 中 a1 a2 1 当n n 时 满足an 2 an 1 an 且设bn a4n 求证数列 bn 各项均为3的倍数 证明 1 a1 a2 1 a3 a2 a1 2 a4 a3 a2 3 b1 a4 3 当n 1时 b1能被3整除 2 假设n k时 bk a4k是3的倍数 则n k 1时 bk 1 a4 k 1 a4k 4 a4k 3 a4k 2 a4k 2 a4k 1 a4k 1 a4k 3a4k 1 2a4k由归纳假设 知a4k是3的倍数 故可知bk 1是3的倍数 n k 1时 命题成立 综合 1 和 2 可知对任意正整数n 数列 bn 的各项都是3的倍数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 应用数学归纳法证明时 不用归纳假设而致误 典例 用数学归纳法证明1 5 9 4n 3 2n 1 n 易错分析 本题的易错点是不利用归纳假设 而是直接利用等差数列的前n项和公式加以证明 这与数学归纳法不相符 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 1 1 等式成立 2 假设当n k k 1 k n 时 等式成立 即1 5 9 4k 3 k 2k 1 则当n k 1时 1 5 9 4k 3 4k 1 k 2k 1 4k 1 2k2 3k 1 2k 1 k 1 2 k 1 1 k 1 当n k 1时 等式成立 由 1 和 2 知对一切n n 等式成立 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得判断用数学归纳法证明数学问题是否正确 关键要看两个步骤是否完整 特别是第二步归纳假设是否被应用 如果没有用到归纳假设 那么就是不正确的 探究一 探究二 探究三 思维辨析 所以当n k 1时 不等式也成立 由 1 和 2 可知原不等式对一切n 2 n n 均成立 12345 1 某个与自然数n有关的命题 若当n k k n 时该命题成立 则可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时命题不成立 则可推得 a 当n 4时该命题不成立b 当n 6时该命题不成立c 当n 4时该命题成立d 当n 6时该命题成立答案 a 12345 中 验证当n 1时 等式左边应为 a 1b 1 ac 1 a a2d 1 a a2 a3解析 当n 1时 等式的左边 1 a a2 答案 c 12345 3 若f n 12 22 32 2n 2 n n 则f k 1 f k 解析 f k 1 12 22 33 2k 2 2k 1 2 2 k 1 2 f k 12 22 32 2k 2 f