【志鸿全优设计】高中数学 第一章1.2.2 函数的表示法讲解与例题 新人教A版必修1.doc

1.2.2函数的表示法1函数的表示法(1)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式比如，计划建成的京沪高速铁路总长约1 305 km，设计时速300350 km/h建成后，若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x时后，路程为y km，则y是x的函数，可以用y300x来表示，其中y300x叫做该函数的解析式(2)图象法以自变量x的值为横坐标，与之对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点(x，f(x)，这些点组成的图形称为函数f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比)与天数之间的函数关系(3)列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量取的值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法比如，某水库的存水量q与水库最深处的水深h的关系如下表所示：水深h/m5101520253035存水量q/104m3254285164275437650从表中可以看出，每一深度h都对应唯一的一个存水量q，这个表给出了h与q之间的对应关系，也就是函数关系(4)函数的三种表示法的优缺点比较：优点缺点联系解析法简明，全面地概括了变量间的关系通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示出自变量取较少的有限值的对应关系图象法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值，而且有时误差较大【例11】已知函数f(x)的定义域ax|0x2，值域by|1y2，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是()解析：根据函数的定义，观察图象，对于选项a，b，值域为y|0y2，不满足题意，而c中当0x2时，一个自变量x对应两个不同的y，不是函数故选d答案：d【例12】购买某种饮料x听，所需钱数是y元若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x1,2,3,4)的函数，并指出函数的值域分析：购买x听，需钱数2x元，但需注意函数的定义域是1,2,3,4，只有4个元素解：(解析法)y2x，x1,2,3,4(列表法)x1234y2468(图象法)2分段函数(1)定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段谈重点 学习分段函数两要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成几个函数分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是自变量x的不同取值范围的并集，值域是每段的函数值y的取值范围的并集(2)常见的分段函数类型举例含有绝对值符号的函数f(x)|x1|自定义函数f(x)取整函数f(x)x(x表示不大于x的最大整数)符号函数f(x)(1)x(xn)【例21】下列给出的式子是分段函数的是()f(x)f(x)f(x)f(x)a bc d解析：对于，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系对于，当x2时，f(2)3或4，故不是函数对于，当x1时，f(1)5或1，故不是函数对于，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系答案：b谈重点 分段函数的判断不能从形式上判断一个式子是否为分段函数，关键看其是否符合函数的定义【例22】如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为_，值域为_解析：由图象可知，第一段的定义域为1,0)，值域为0,1)；第二段的定义域为0,2，值域为1,0因此该分段函数的定义域为1,0)0,21,2，值域为0,1)1,01,1)答案：1,21,1)【例23】已知函数f(x)求f(2)，f(3)的值解：20，f(2)22430，f(3)0点技巧 处理分段函数问题有技巧(1)处理分段函数问题时，首先要明确自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系；(2)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集3映射(1)映射的定义一般地，设a，b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射谈重点 对映射的理解(1)映射中的两个集合a和b可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，a到b的映射与b到a的映射往往是不相同的；(3)映射要求对集合a中的每一个元素在集合b中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合a中元素的任意性和在集合b中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合b中存在元素在集合a中没有元素与之对应；(5)映射允许集合a中不同的元素在集合b中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”(2)映射与函数的联系【例31】下列对应是a到b上的映射的是()aan*，bn*f：x|x3|ban*，b1,1，2f：x(1)xcaz，bqf：xdan*，brf：xx的平方根解析：对于a项，a中的元素3在b中没有与之对应的元素，故不符合对于b项，对任意正整数，(1)x为1或1，在b中都有唯一的1或1与之对应，故符合对于c项，a中的0在f作用下无意义，故不符合对于d项，正整数在实数集r中有两个平方根与之对应，故不符合答案：b【例32】已知集合a1,2,3，9，br，从集合a到集合b的映射f：x(1)与a中元素1相对应的b中的元素是什么？(2)与b中元素相对应的a中的元素是什么？分析：已知对应关系，分别代入求值即可解：(1)a中元素1，即x1，代入对应关系得，即与a中元素1相对应的b中的元素是(2)b中元素，即，解得x4，因此与b中元素相对应的a中的元素是44函数解析式的求法求函数的解析式的常用方法有：(1)代入法：如已知f(x)x21，求f(xx2)时，有f(xx2)(x2x)21(2)待定系数法：已知f(x)的函数类型，要求f(x)的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可例如，一次函数可以设为f(x)kxb(k0)；二次函数可以设为f(x)ax2bxc(a0)等(3)拼凑法：已知f(g(x)的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x)的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可(4)换元法：令tg(x)，再求出f(t)的解析式，然后用x代替f(g(x)解析式中所有的t即可(5)方程组法：已知f(x)与f(g(x)满足的关系式，要求f(x)时，可用g(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(g(x)的方程组解之即可得出f(x)；例如，已知f(x)2f(x)4x2x，求f(x)的解析式解：以x代替x可得：f(x)2f(x)4x2x，联立方程组：解得f(x)x(6)赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围_【例4】求下列函数的解析式(1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)；(2)已知f(1)x，求f(x)；(3)已知f(x)x(x0)，求f(x)；(4)已知对任意实数x，y都有f(xy)2f(y)x22xyy23x3y，求f(x)分析：(1)已知f(x)是二次函数，可用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件求出待定系数即可；(2)可用换元法求解，令1t；也可用拼凑法，将x拼凑成关于1的式子；(3)用x替换，构造关于f(x)与的方程组，解方程组求出f(x)；(4)利用赋值法，令xy0，求出f(0)的值，再令y0，求得f(x)，也可令x0，求出f(y)，进而可得f(x)解：(1)设所求的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，f(0)1，c1，则f(x)ax2bx1又f(x1)f(x)2x对任意xr成立，a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x由恒等式性质，得所求二次函数为f(x)x2x1(2)(方法一)令1t，则t1，即x(t1)2，则f(t)(t1)22(t1)t21故f(x)x21(x1)(方法二)(1)2x1，x(1)21f(1)(1)21，其中11f(x)x22，x1(3) f(x)x，将原式中的x替换为，得2f(x)于是得关于f(x)与的方程组解得f(x)(x0)(4)(方法一)f(xy)2f(y)x22xyy23x3y对任意x，yr都成立，故可令xy0，得f(0)2f(0)0，即f(0)0再令y0，得f(x)2f(0)x23x，f(x)x23x(方法二)令x0，得f(y)2f(y)y23y，即f(y)y23y因此f(y)y23y故f(x)x23x点技巧 解含有两个变量的解析式的方法赋值法所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，可以根据函数特征来定5函数图象的作法(1)作函数图象的常用方法：描点法：描点法是作函数图象的基本方法根据函数解析式，列出函数中x与y的一些对应值的表，然后分别以它们为横、纵坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象，即“列表描点连线”利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象有：常数函数的图象，例如f(x)1的图象为平行于x轴的一条直线；一次函数的图象，例如f(x)3x1的图象是一条经过一、二、四象限的直线；二次函数的图象，例如f(x)2x2x1的图象是一条抛物线；反比例函数的图象，f(x)(k0，且k为常数)，当k0时，其图象是在一、三象限内，以原点为对称中心的双曲线；当k0时，其图象是在二、四象限内，以原点为对称中心的双曲线变换作图法：1平移：yf(x)yf(xa)yf(x)yf(xa)yf(x)yf(x)byf(x)yf(x)b2对称：yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)y|f(x)|；yf(x)yf(|x|)(2)分段函数图象的作法画分段函数y(d1，d2，两两交集是空集)的图象步骤是：画函数yf1(x)的图象，再取其在区间d1上的图象，其他部分删去不要；画函数yf2(x)的图象，再取其在区间d2上的图象，其他部分删去不要；依次画下去；将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象注意：在作每一段的图象时，先不管自变量的限制条件，作出其图象，再保留自变量限制条件内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，若端点包含在内，则用实点表示；若端点不包含在内，则用虚点表示，要保证不重不漏_【例51】作出下列函数的图象：(1)y1x，xz；(2)yx22x，x0,3)解：(1)函数y1x，xz的图象由一些点组成，这些点都在直线y1x上，如图所示；(2)因为0x3，所以函数yx22x，x0,3)的图象是抛物线yx22x位于0x3之间的一部分，如图所示图图辨误区 作函数图象三注意(1)函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，例如函数y1x，xz的图象就是一些离散的点；(2)画函数的图象时要注意函数的定义域，例如函数yx22x，x0,3)的定义域为区间0,3)，故其图象不是整条抛物线，而应是抛物线的一部分；(3)一般用描点法作图象，作图时要先找出关键点，再连线例如本题画函数yx22x，x0,3)的图象时，要先描出两个端点及顶点，再依据二次函数的图象特征作出函数图象，注意3不在定义域内，从而点(3,3)处用空心点【例52】作下列各函数的图象(1)(2)y|x1|；(3)y|x|1解：(1)这个函数的图象由两部分组成：当0x1时，为双曲线的一段；当x1时，为直线yx的一段，如图图图(2)(方法一)所给函数可写成是端点为(1,0)的两条射线，如图(方法二)可以先画函数yx1的图象，然后把其在x轴下方的图象对称到上方如图图图图(3)(方法一)所给函数可写成如图(方法二)可以先画出函数y|x|1在y轴右侧，即yx1(x0)的图象，然后按照关于y轴对称作出函数y|x|1在y轴左侧的图象即可如图【例53】作出下列函数的图象(1)y|x2|x5|；(2)y|x5|x3|分析：要画图象，先化简解析式，据x不同的取值范围去掉绝对值符号解：(1)其图象如图a图a图b(2)其图象如图b点技巧 含绝对值的函数图象的作法含有绝对值的函数，可以根据去绝对值的法则去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式画出图象6与分段函数有关的问题(1)已知自变量的取值，求函数值已知分段函数f(x)的解析式，求f(a)时，首先要根据a所在的范围来确定函数的对应关系，再将xa代入相应的对应关系即可，如：已知f(x)求f(1)因为10，此时f(x)0，所以f(1)0(2)已知函数值，求自变量的取值f(x)是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能取值范围逐段进行讨论即：设分段函数f(x)已知f(x0)a，求x0步骤如下：当x0i1时，由f1(x0)a，求出x0；验证x0是否属于i1，若是则留下，反之则舍去；当x0i2时，由f2(x0)a，求出x0，判断x0是否属于i2，方法同上；写出结论(3)已知f(x)，解不等式f(x)a在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围(即解不等式)的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的某段上，然后相应求出在这段定义域上自变量的取值范围，再与这段定义域求交集即可即对于分段函数f(x)f(x)a等价于或其他分段函数仿照解决【例61】已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，的值；(2)若f(a)3，求实数a的值解：(1)由5(，2，(2,2)，(，2知，f(5)514，f()()22()3，1，(2,2)，(2)当a2时，f(a)a1，即a13，a22，不合题意，舍去；当2a2时，f(a)a22a，即a22a3，a22a30，解得a1，或a31(2,2)，3(2,2)，a1符合题意；当a2时，f(a)2a1，即2a13，a2，符合题意综上可得，当f(a)3时，a1，或a2【例62】已知f(x)若f(x)2，求x的取值范围解：当x2时，f(x)x2，由f(x)2，得x22，解得x0，故x0；当x2时，f(x)x2，由f(x)2，得x22，解得x4，故x4综上可得，x0或x4辨误区 求解分段函数问题三注意(1)求f(f(a)的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止(2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验例如本题(2)易忽略对所得值的验证而得到三个解，解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算(3)已知f(x)，解关于f(x)的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集例如【例62】中，在x2时，由x22，解得x0后，需与x2求交集，得x0；当x2时，由x22，得x4，与x2求交集，得x4然后求x0与x4的并集得最后结果7函数图象的简单应用函数图象可以直观地显示函数的变化规律，使抽象的问题变得更加形象图形与数的结合(数形结合)是解决数学问题的一件利器函数图象的应用主要体现在以下几个方面：(1)由图象确定解析式解决“已知函数图象，求函数的解析式”的问题关键在于充分挖掘图形信息，也就是曲线的形状如何(据此设定相应的函数解析式的类型定性)，图象有关特征点坐标如何(据此确定解析式的系数定量)例如，若函数yf(x)的图象如图所示，则其表达式f(x)为_解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别在各区间内写出其函数表达式答案：f(x)(2)根据具体问题所表示的函数关系判断函数的图象解决此类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，把它转化为曲线的变化情况，问题即可解决(3)利用函数的图象，求函数的值域或最值解决这类问题的关键在于能正确作出函数的图象例如，若xr，f(x)是y2x2，yx这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为()a2b1c1 d无最大值解析：由题目可获取的信息是：两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；f(x)是两个函数中的较小者解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出f(x)的图象，再求其最大值在同一坐标系中画出函数y2x2，yx的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图象故x1时，f(x)max1，应选b答案：b(4)研究函数图象的交点个数解决这类问题的关键是正确画出函数的图象，结合图象分析【例71】已知函数yf(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式解：题图中给定的图象实际上是一个分段函数的图象，对各段对应的函数解析式进行求解时，一定要注意其区间的端点根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为ykxb(x1)点(1,1)，(0,2)在射线上，解得左侧射线对应的函数的解析式为yx2(x1)同理，x3时，函数的解析式为yx2(x3)再设抛物线对应的二次函数解析式为ya(x2)22(1x3，a0)点(1,1)在抛物线上，a21，a11x3时，函数的解析式为yx24x2(1x3)综上可知，函数的解析式为y点技巧 分段函数解析式的写法如果所求的解析式是分段函数，则应综合在一起，写成分段形式，且各段的自变量的取值范围写在各段后的括号内【例72】如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()a1个b2个c3个d4个解析：对于一个选择题而言，求出每一个图中水面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两个图作定性分析，即充分利用数形结合对于第一个图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二个图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此高度变化趋势愈加平缓，正确；同理可分析第三个图、第四个图都是正确的故只有第一个图不正确，因此选a答案：a【例73】设xr，求函数y2|x1|3|x|的值域分析：解：当x1时，y2(x1)3xx2当0x1时，y2(x1)3x5x2当x0时，y2(x1)3xx2因此y其图象如下图由图象可知，该函数的值域为(，2【例74】当m为何值时，ym和yx24|x|5的图象有四个交点？_解：画出yx24|x|5的图象，如图再画出ym的图象，由图象可以看出：当1m5时，两个函数图