【志鸿全优设计】高中数学 第三章3.4 生活中的优化问题举例讲解与例题 新人教A版选修11.docVIP

1 3 43 4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 问题导学问题导学 一 面积 容积的最大值 最小值问题 活动与探究 1 请你设计一个包装盒 如图所示 abcd是边长为 60 cm 的正方形硬纸片 切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直角三角形 再沿虚线折起 使得a b c d四个点重合于图中 的点p 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 e f在ab上 是被切去的一个等腰直角三 角形斜边的两个端点 设ae fb x cm 1 某广告商要求包装盒的侧面积s cm2 最大 试问x应取何值 2 某厂商要求包装盒的容积v cm3 最大 试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值 迁移与应用 1 要做一个圆锥形漏斗 其母线长为 20 cm 要使其体积最大 则其高应为 a cm b 100 cm 20 3 3 c 20 cm d cm 20 3 2 将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆 问如何截可使 正方形与圆面积之和最小 利用导数解决几何问题 往往是求体积 面积的最值 首先看清题意 分析几何图形的 特征 设出变量 列出目标函数式 注明定义域 再转化为用导数求最值 若在定义域内只 有一个极值 则这个极值便为最值 二 费用最省 用料最省 利润最大问题 活动与探究 2 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单 位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中 3 x 6 a为常数 已知销售价格为 a x 3 5 元 千克时 每日可售出该商品11 千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为 3 元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获 得的利润最大 迁移与应用 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢 建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每年 的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设f x 为隔热层建造费 k 3x 5 用与 20 年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 2 经济中优化问题的解法 经济生活中 要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢 以 产量或单价为自变量很容易建立函数关系 从而可以利用导数来分析 研究 指导生产活 动 正确表示出函数解析式 然后利用导数求最值 其中把实际问题转化为数学问题 正确 列出解析式是解题的关键 答案 答案 课前课前 预习导学预习导学 预习导引 1 利润最大 用料最省 效率最高 预习交流预习交流 提示 提示 1 函数建模 细致分析实际问题中各个量之间的关系 正确设定所 求最大值或最小值的变量y与自变量x 把实际问题转化为数学问题 即列出函数关系式 y f x 2 确定定义域 一定要从问题的实际意义去考察 舍去没有实际意义的变量的范围 3 求最值 此处尽量使用导数法求出函数的最值 4 下结论 回扣题目 给出完整的答案 课堂课堂 合作探究合作探究 问题导学 活动与探究活动与探究 1 思路分析 思路分析 用x表示出包装盒的底边长 高 再运用数学知识求最值 解 解 设包装盒的高为h cm 底面边长为a cm 由已知得a x h 30 x 0 x 30 2 60 2x 22 1 s 4ah 8x 30 x 8 x 15 2 1 800 所以当x 15 时 s取得最大值 2 v a2h 2 x3 30 x2 v 6x 20 x 22 由v 0 得x 0 舍 或x 20 当x 0 20 时 v 0 当x 20 30 时 v 0 所以当x 20 时 v取得极大值 也是最大值 此时 即包装盒的高与底面边长的比值为 h a 1 2 1 2 迁移与应用迁移与应用 1 a 解析 解析 设高为x cm 则底面半径为 cm 400 x2 圆锥体积v 400 x2 x cm3 1 3 400 x x3 3 v 令v 0 400 3x2 3 得x 或x 舍去 经判断可得x cm 时 v最大 20 3 3 20 3 3 20 3 3 2 解 解 设弯成圆的一段长为x cm 另一段长为 100 x cm 记正方形与圆的面积之 和为s 则s 2 2 0 x 100 则s 100 x x 2 100 x 4 x 2 1 8 令s 0 则x 100 4 由于在 0 100 内函数只有一个导数为零的点 问题中面积之和最小值显然存在 故当 x 时 面积之和最小 100 4 故当截得弯成圆的一段长为 cm 时 两种图形面积之和最小 100 4 活动与探究活动与探究 2 思路分析 思路分析 1 把x 5 y 11 代入关系式中即可求a 2 计算出每件 的利润 求出总利润函数关系式 运用导数求最值 解 解 1 因为x 5 时 y 11 所以 10 11 a 2 a 2 3 2 由 1 可知 该商品每日的销售量y 10 x 6 2 2 x 3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f x x 3 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 2 x 3 10 x 6 2 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 3 4 4 4 6 f x 0 f x 单调递增a 极大值 42 单调递减a 由上表可得 x 4 是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4 时 函数f x 取得最大值 且最大值等于 42 答 当销售价格为 4 元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 迁移与应用迁移与应用 解 解 1 设隔热层厚度为x cm 由题设 每年能源消耗费用为c x k 3x 5 再由c 0 8 得k 40 因此c x 40 3x 5 而建造费用为c1 x 6x 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为f x 20c x c1 x 20 6x 6x 0 x 10 40 3x 5 800 3x 5 2 f x 6 2 400 3x 5 2 令f x 0 即 6 2 400 3x 5 2 解得x 5 或x 舍去 25 3 当 0 x 5 时 f x 0 当 5 x 10 时 f x 0 故x 5 是f x 的最小值点 对应的最小值为f 5 6 5 70 800 15 5 当隔热层修建 5 cm 厚时 总费用达到最小值 70 万元 当堂检测当堂检测 1 以长为 10 的线段ab为直径作半圆 则它的内接矩形面积的最大值为 a 10 b 15 c 25 d 50 答案 答案 c 解析 解析 设内接矩形的长为x 则宽为 2 25 4 x s2 x2 y 2 25 4 x y 50 x x3 令y 0 得x2 50 x 0 舍去 s2 625 即s 25 2 某工厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场 一边可以利用原有的墙壁 其 他三边需要砌新的墙壁 若使砌壁所用的材料最省 堆料场的长和宽应分别为 单位 米 a 32 16 b 30 15 c 40 20 d 36 18 4 答案 答案 a 解析 解析 要使材料最省 则要求新砌的墙壁的总长最短 设场地宽为x米 则 长为米 512 x 因此新墙总长l 2x x 0 则l 2 512 x 2 512 x 令l 0 得x 16 或x 16 舍去 此时长为 32 米 可使l最小 512 16 3 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 1 3 a 13 万件 b 11 万件 c 9 万件 d 7 万件 答案 答案 c 解析 解析 y x2 81 令y 0 解得x 9 或x 9 舍去 当 0 x 9 时 y 0 当x 9 时 y 0 所以当x 9 时 y取得最大值 4 某箱子的容积与底面边长x的关系为 0 x 60 则当箱子的容 2 60 2 x v xx 积最大时 箱子的底面边长为 答案 答案 40 解析 解析 v x v x x2 60 x 23 60 2 xx 3 2 令v x 0 得x 40 0 x 40 时 v x 0 40 x 60 时 v x 0 x 40 时 v x 最大 5 设底面为等边三角形的直棱柱的体积为v 则其表面积最小时 底面边长为